Wahrscheinlichkeit – Einführung (2)

Wahrscheinlichkeit – Einführung (2) Übung

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen eines Gewinnloses.

  Tipps

  Gesucht ist der Anteil der Gewinnlose.

  Beachte, dass $\frac1{100}=0,01=1~\%$ ist.

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, muss jeweils der Anteil der Gewinnlose bestimmt werden:

  • In Losbude $A$ gibt es unter $100$ Losen fünf Gewinnlose. Die Wahrscheinlichkeit für ein Gewinnlos beträgt also $\frac5{100}=0,05=5~\%$.
  • In Losbude $B$ gibt es unter $150$ Losen drei Gewinnlose. Die Wahrscheinlichkeit für ein Gewinnlos beträgt also $\frac3{150}=\frac1{50}=\frac2{100}=0,02=2~\%$.

  Beachte, dass wir hier den Zusammenhang $\frac1{100}=0,01=1~\%$ genutzt haben.

• Gib an, wie groß die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf beim dreimaligen Münzwurf ist.

  Tipps

  Wie viele Kombinationen gibt es für Kopf? Wie viele Kombinationen gibt es insgesamt?

  Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf ist der Anteil der Kombinationen für zweimal Kopf.

  Lösung

  Beim dreifachen Münzwurf haben die folgenden drei Kombinationen zweimal Kopf:

  $(Z;K;K)$, $(K;Z;K)$ und $(K;K;Z)$

  Es gibt noch fünf weitere Kombinationen, die nicht zweimal Kopf zeigen:

  $(K;K;K)$, $(K;Z;Z)$, $(Z;K;Z)$, $(Z;Z;K)$ und $(Z;Z;Z)$

  Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf ist der Anteil der Kombinationen für zweimal Kopf: $\frac38$. Es sind nämlich drei Kombinationen von insgesamt acht Kombinationen.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit für ein rotes Herz.

  Tipps

  Überlege dir, ob die Wahrscheinlichkeit bei mehr Auswahlmöglichkeiten kleiner oder größer wird, wenn das Ergebnis, welches interessiert, immer gleich bleibt.

  In einer Gruppe mit $5$ Personen befindet sich ein Mädchen.

  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Mädchen ist?

  In einer Gruppe mit $10$ Personen befindet sich ein Mädchen.

  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Mädchen ist?

  Wahrscheinlichkeiten sind Anteile an einer Gesamtheit.

  Lösung

  Wie können Wahrscheinlichkeiten angegeben werden?

  Wahrscheinlichkeiten werden auf einer Skala von $0$ bis $1$ angeordnet:

  • $1$ bedeutet: absolut sicher und
  • $0$ bedeutet: absolut unmöglich.

  Wenn die Zahl der Karten sich ändert, können sich auch die Wahrscheinlichkeiten ändern. Wahrscheinlichkeiten sind Anteile an einer Gesamtheit:

  • Wenn nur ein Karte mit einem roten Herz vorhanden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein rotes Herz zieht, $1$.
  • Wenn man ein schwarzes Quadrat hinzufügt, wird die Wahrscheinlichkeit für ein rotes Herz kleiner und zwar $\frac12$.
  • Wenn eine weitere Karte mit einem schwarzen Quadrat hinzugefügt wird, wird die Wahrscheinlichkeit für das rote Herz noch kleiner, nämlich $\frac13$.
  • Eine weitere Karte, welche kein rotes Herz ist, führt zu der Wahrscheinlichkeit $\frac14$.

• Leite mögliche Wahrscheinlichkeiten her.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines Zufallsversuchs ist ein Grad für die Sicherheit des Eintretens dieses Ergebnisses.

  Da sich vier Augenzahlen auf dem Tetraeder befinden, kann man davon ausgehen, dass jede dieser Augenzahlen gleich wahrscheinlich ist.

  Wahrscheinlichkeiten sind Anteile an einer Gesamtheit.

  Du kannst Wahrscheinlichkeiten auch berechnen, indem du Einzelwahrscheinlichkeiten addierst.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses eines Zufallsversuchs ist ein Grad für die Sicherheit des Eintretens dieses Ergebnisses.

  Auf dem Tetraeder befinden sich die Augenzahlen von $1$ bis $4$. Dies sind die möglichen Ergebnisse.

  Man kann davon ausgehen, dass jedes dieser Ergebnisse gleich wahrscheinlich ist, also für jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $\frac14$ vorliegt.

  Wenn alle Zahlen größer oder gleich $2$ betrachtet werden, ist das eine Ereignis „größer oder gleich $2$“ und das andere, wenn eine $1$ gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeiten sind natürlich unterschiedlich, da zu „größer oder gleich $2$“ drei Seiten des Tetraeders gehören. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$.

  Ebenso kann man argumentieren, dass die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Augenzahl $\frac24=\frac12$ beträgt. Die möglichen ungeraden Augenzahlen sind $1$ und $3$.

• Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten beim dreifachen Münzwurf.

  Tipps

  Bei jedem Wurf hast du zwei Möglichkeiten, entweder Kopf oder Zahl.

  Wenn du also nur einmal wirfst, dann gibt es genau zwei Möglichkeiten.

  Wenn du also zweimal wirfst, dann gibt es genau $2\cdot 2=4$ Möglichkeiten.

  Lösung

  Bei jedem Wurf hast du zwei Möglichkeiten, entweder Kopf oder Zahl:

  • Wenn du also nur einmal wirfst, dann gibt es genau zwei Möglichkeiten.
  • Wenn du also zweimal wirfst, dann gibt es genau $2\cdot 2=4$ Möglichkeiten.
  • Wenn du also dreimal wirfst, dann gibt es genau $2\cdot 2\cdot 2=8$ Möglichkeiten.

  Zur Übersicht siehst du hier nochmals alle Kombinationen:

  $(K;K;K)$, $(Z;K;K)$, $(K;Z;K)$, $(K;K;Z)$ $(K;Z;Z)$, $(Z;K;Z)$, $(Z;Z;K)$ und $(Z;Z;Z)$

• Untersuche die folgenden Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines Zufallsexperimentes gibt die Chance für das Eintreten dieses Ergebnisses an.

  Es geht nicht darum festzustellen, ob Borussia Dortmund wirklich sein nächstes Heimspiel gewinnt, sondern darum, ob diese Aussage mathematisch korrekt ist.

  Lösung

  Was ist bei Wahrscheinlichkeiten zu beachten? Wahrscheinlichkeiten können

  • nicht größer als $1$ und
  • nicht kleiner als $0$

  sein.

  Also ist eine Aussage wie „mit an unendlich grenzender Wahrscheinlichkeit werde ich am Samstag nicht im Lotto gewinnen“ Unsinn. Es gibt keine unendliche Wahrscheinlichkeit. Es gibt ebenso keine „$200~\%$-ige Sicherheit, dass...“ oder Ähnliches. Wenn jemand so etwas sagt, möchte er lediglich ausdrücken, dass er sich sehr sicher ist.

  Man kann sich allerdings durchaus zu $100~\%$ sicher sein, dass Borussia Dortmund sein nächstes Heimspiel gewinnen wird. Das bedeutet nicht, dass die Borussia wirklich ihr Heimspiel gewinnen wird. Es geht bei der Aufgabe auch nur um mathematisch korrekte Aussagen.

  Im Allgemeinen kannst du dich an folgende Sätze erinnern:

  • Wenn die kleinste Wahrscheinlichkeit, nämlich $0$ oder $0~\%$, eintritt, spricht man von einem absolut unmöglichen Ergebnis,
  • wenn die größte Wahrscheinlichkeit, $1$ oder $100~\%$ eintritt, spricht man von einem absolut sicheren Ergebnis.

  Man muss beachten, dass der Begriff der Wahrscheinlichkeit im Sprachgebrauch oft für eine gefühlte (Un-)sicherheit verwendet wird. Dies entspricht nicht komplett dem mathematischen Begriff der Wahrscheinlichkeit.