Volumen zusammengesetzter Körper

Volumen zusammengesetzter Körper Übung

• Ordne die Formel für den Rauminhalt bzw. das Volumen dem richtigen Körper zu.

  Tipps

  Welche Eigenschaften haben die Kanten eines Würfels?

  Für das Volumen braucht man Länge, Breite und Höhe eines Quaders.

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, musst du dich an die Eigenschaften von Quadern und Würfeln erinnern.

  Bei einem Quader entsprechen vier Kanten der Länge, vier Kanten der Breite und vier Kanten der Höhe. Diese werden mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Somit lautet die Formel für das Volumen von Quadern:

  $V=a \cdot b \cdot c$.

  Bei einem Würfel sind alle zwölf Kanten gleich lang. Alle Kanten werden mit $a$ bezeichnet. Das ergibt für die Volumenformel eines Würfels:

  $V=a \cdot a \cdot a=a^3$.

• Berechne den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  In beiden Fällen geht es darum, Kantenlängen miteinander zu multiplizieren.

  $V_W=a \cdot a \cdot a=a^3$

  $V_Q=a \cdot b \cdot c$

  Lösung

  Fangen wir bei dem Quader an. Um seinen Rauminhalt auszurechnen, benötigen wir seine Länge, Breite und Höhe, also diejenigen Kanten, die man auch mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet.

  Die Formel für den Rauminhalt bzw. das Volumen eines Quaders lautet:

  $V_Q=a \cdot b \cdot c$.

  Wir setzen ein: $V_Q=20~cm \cdot 3~cm \cdot 6~cm=360~cm^3$.

  Beim Würfel ist es ganz ähnlich, nur dass hier alle Kanten gleich lang sind, sodass wir so rechnen müssen:

  $V_W=a \cdot a \cdot a= a^3$.

  Wir setzen nun die gegebene Kantenlänge $a$ ein:

  $V_W=6~cm \cdot 6~cm \cdot 6~cm=(6~cm)^3=216~cm^3$.

  Das Volumen des zusammengesetzten Körpers ergibt sich aus der Summe der Rauminhalte, die wir gerade berechnet haben:

  $V_K=360~cm^3 + 216~cm^3=576~cm^3$.

• Bestimme die Rauminhalte beider Aquarien.

  Tipps

  Du kannst immer nur in einer Maßeinheit rechnen.

  Einheiten umrechnen:

  $1~m \hat{=} 10~dm \hat{=} 100~cm \hat{=} 1.000~mm$

  $1~dm^3 \hat{=} 1~Liter$

  Lösung

  Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst alle Maßangaben in eine Einheit umwandeln. Da am Ende ein Wert in $Litern$ gebraucht wird und das genau der Einheit $dm^3$ entspricht, entscheiden wir uns für $dm$.

  Damit hätten wir folgende Angaben:

  $Länge_{groß}=6~dm$

  $Breite_{groß}=300~mm=3~dm$

  $Höhe_{groß}=45~cm=4,5~dm$

  Um das Volumen des großen Aquariums (des Quaders) auszurechnen, benötigen wir folgende Formel:

  $V_Q= a \cdot b \cdot c$.

  Wir setzen ein:

  $V_{Qgroß}=6~dm \cdot 3~dm \cdot 4,5~dm=18~dm^2 \cdot 4,5~dm=81~dm^3$.

  Somit hätten wir den Rauminhalt des großen Aquariums berechnet. Das kleine Aquarium soll jeweils die Hälfte der Kantenlängen des großen besitzen. Daher schreiben wir:

  $Länge_{klein}=4,5~dm : 2 =2,25~dm$

  $Breite_{klein}=6~dm : 2 = 3~dm$

  $Höhe_{klein}=3~dm : 2 = 1,5~dm$

  Nun berechnen wir das Volumen dieses Quaders:

  $V_{Qklein}=2,25~dm \cdot 3~dm \cdot 1,5~dm=6,75~dm^2 \cdot 1,5~dm= 10,125~dm^3$.

  Es gibt aber auch eine Regel, mit der du das Volumen des kleinen Aquariums anders ausrechnen kannst.

  Merke: Wenn sich alle Kantenlängen eines Quaders halbieren, teilt sich sein Volumen durch acht. Umgekehrt: Wenn ich alle Kantenlängen eines Quaders verdopple, verachtfacht sich sein Volumen!

  Das kann man hier sehr gut sehen. Da wir alle Kanten halbieren, können wir nach der Regel auch einfach das Volumen durch acht teilen:

  $81~dm^3 : 8=10,125~dm^3 $.

  Nun müssen wir aber noch das Volumen des zusammengesetzten Körpers ausrechnen und addieren dazu beide bereits berechneten Rauminhalte:

  $V_{gesamt}=81~dm^3 + 10,125~dm^3=91,125~dm^3$.

  Da $1~dm^3$ genau $1~Liter$ entspricht, passen etwas mehr als $90~Liter$ Wasser in die beiden Aquarien.

• Ermittle das Gesamtvolumen dieses zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Nicht alle Werte, die du benötigst, sind direkt ablesbar. Versuche zunächst, zu jedem einzelnen der drei Quader die passenden Kantenlängen zu ermitteln.

  $V_Q= a \cdot b \cdot c$ oder Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

  Das obere ist das größte und das linke das kleinste Gebäude.

  Die Länge des rechten und linken Quaders ist gleich groß und beträgt nicht $70~m$.

  Lösung

  Zunächst muss man sich die Werte erschließen, die nicht direkt angegeben sind. In dem Bild sind sie rot markiert. Es handelt sich dabei um die Länge des linken und rechten Quaders. Außerdem sind die Gebäude für die Rechnung in grün durchnummeriert. Bei allen Rechnung wird außer beim Ergebnis der Übersicht halber auf Einheiten verzichtet.

  Bei allen drei Gebäuden handelt es sich um Quader mit einer Höhe von $22~m$. Fangen wir mit dem ersten, dem linken Gebäude an. Den Quader nennen wir $Q1$ und das Volumen entsprechend $V_{Q1}$.

  Es ist $70 - 18=52~m$ lang, $20~m$ breit und $22~m$ hoch. Wir rechnen:

  $V_{Q1}= a \cdot b \cdot c=52 \cdot 20 \cdot 22=1~040 \cdot 22= 20~800+2~080=22~880~m^3$

  Nun zum rechten Gebäude. Den Quader nennen wir $Q2$ und das Volumen entsprechend $V_{Q2}$.

  Es ist ebenfalls $52~m$ lang und $22~m$ hoch, aber $25~m$ breit. Wir rechnen:

  $V_{Q2}=52 \cdot 25 \cdot 22=1~300 \cdot 22 = 26~000+2~600=28~600~m^3$.

  Nun zum oberen Gebäude. Den Quader nennen wir $Q3$ und das Volumen entsprechend $V_{Q3}$.

  Es ist $20 + 55 + 25=100~m$ lang, $18~m$ breit und ebenfalls $22~m$ hoch.

  Wir rechnen:

  $V_{Q3}=100 \cdot 18 \cdot 22= 1~800 \cdot 22 = 36~000+3~600=39~600~m^3$. Es ist also das größte der drei Gebäude bzw. das Gebäude mit dem größten Volumen.

  Um den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers zu bestimmen, addieren wir die Rauminhalte der drei Gebäude:

  $V_{gesamt}= V_{Q1} + V_{Q2} + V_{Q3}= 22~880 + 28~600 + 39~600=91~080~m^3$.

  Das gesamt Schulgebäude besitzt also ein Volumen von $91~080~m^3$. Nun bist du dran. Kannst du das Volumen deines Schulgebäudes auch berechnen?

• Berechne den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Was passiert mit dem Volumen, wenn ich die Körper wieder zusammensetze?

  Lösung

  Da es sich um einen zusammengesetzten Körper handelt, braucht man zunächst die Rauminhalte bzw. Volumen der Teilkörper. Diese sind in der Aufgabe bereits angegeben.

  Wenn wir den Quader und den Würfel jetzt zu einem Körper zusammensetzen möchten, müssen wir dazu ihre Rauminhalte bzw. Volumen addieren. Wir rechnen:

  $V=V_Q+V_W=45~cm^3+27~cm^3=72~cm^3$.

• Gib die Anzahl der kleinen Würfel an.

  Tipps

  Bringe zuerst alle Maßangaben auf die gleiche Einheit.

  Wie viele kleine Würfel passen in den großen Quader? Berechne das Volumen des Quaders und eines Würfels.

  Zwei Möglichkeiten sind richtig.

  Lösung

  Um die Anzahl der kleinen Würfel herauszufinden, benötigen wir die Rauminhalte beider Körper.

  Fangen wir mit dem Quader an. Seine Länge, Breite und Höhe sind bereits angegeben, allerdings in verschiedenen Maßeinheiten. Wir passen an:

  $a=12~cm$

  $b=55~mm=5,5~cm$

  $c=0,8~dm=8~cm$

  (Du musst nicht in cm rechnen, du kannst auch alles in dm oder mm umwandeln, wichtig ist, dass alles einheitlich ist!)

  Nun berechnen wir den Rauminhalt des Quaders:

  $V_Q=a \cdot b \cdot c=12 \cdot 5,5 \cdot 8=12 \cdot 44=528~cm^3$.

  Das ist der Rauminhalt des Quaders. Nun zum Würfel. Da wir aber immer einheitlich rechnen, das heißt immer in gleichen Einheiten, müssen wir die Kantenlänge des Würfels noch anpassen:

  $a=20~mm=2~cm$.

  Jetzt können wir auch seinen Rauminhalt berechnen:

  $V_W=a^3=2^3=8~cm^3$.

  Nun, da wir beide Rauminhalte kennen, müssen wir nur noch $V_Q$ durch $V_W$ teilen, um zu erfahren, wie viele kleine Würfel in den Quader passen:

  $528~cm^3 : 8~cm^3=66$ Würfel.

  Es passen also $66$ Würfel in den großen Quader hinein.