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Terme mit Variablen aufstellen

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Team Digital
Terme mit Variablen aufstellen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Terme mit Variablen aufstellen

Inhalt

Wie stellt man einen Term mit einer Variablen auf? – Mathe

In diesem Text wird einfach erklärt, wie man Rechenausdrücke oder Terme mit Variablen aufstellt. Dabei werden zunächst die Begriffe Rechenausdruck und Variable noch einmal wiederholt. Die Kernfrage in dem Text lautet jedoch: Wie stelle ich für ein ganz bestimmtes mathematisches Problem, bei dem eine unbekannte Größe gesucht ist, den Rechenausdruck auf, der mich zum Ziel führt?

Variablen und Rechenausdrücke – Definition

Was verstehen wir unter den Begriffen Variable und Rechenausdruck?

  • Variablen in Rechenausdrücken sind Platzhalter für Zahlen oder Größen.

Aber was ist ein Platzhalter in der Mathematik?

  • Für den Platzhalter können Zahlen eingesetzt werden. Eine Variable steht für eine unbekannte Größe innerhalb einer Rechenvorschrift. Variablen werden meist als kleine Buchstaben, zum Beispiel als kleines $x$, notiert.

Was ist ein Rechenausdruck?

  • Der Rechenausdruck ist die Berechnungsvorschrift für eine bestimmte Größe. Rechenausdrücke werden in Mathe auch als Terme bezeichnet.

Betrachten wir folgendes Beispiel für einen Rechenausdruck mit einer Variablen:

$4 \cdot (x - 2) $

Setzt man eine Zahl für das $x$ ein, so kann der Rechenausdruck berechnet werden. Daraus ergibt sich der Wert des Terms, auch Termwert genannt. Wir können zum Beispiel eine $5$ für das $x$ einsetzen. Die Rechnung lautet dann:

$4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12 $

In diesem Beispiel ist der Termwert gleich $12$. Wie bei jedem Rechenausdruck mit einer Klammer muss die Klammer zuerst berechnet werden.

Rechenausdrücke mit Variablen können ebenso umgeformt werden wie Rechenausdrücke, die nur Zahlen enthalten. So können wir bei der oben stehenden Rechnung auch das Distributivgesetz anwenden. Die Rechnung lautet dann:

$4 \cdot (x - 2) = 4 \cdot x - 4 \cdot 2 = 4 \cdot x - 8$

Auch auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis $12$, wenn wir für $x$ die Zahl $5$ einsetzen.

$4 \cdot 5 - 8 = 20 - 8 = 12$

Es können auch andere Zahlen für $x$ eingesetzt werden. Die Variable ist also eine veränderliche Größe. Je nachdem welche Zahl eingesetzt wird, ändert sich der Wert des Terms.

Terme oder Rechenausdrücke aufstellen

Der Rechenausdruck, den wir betrachtet haben, war vorgegeben. In der Praxis kommt es häufig vor, dass du die Rechenausdrücke mit Variablen selbst aufstellen musst. Wie das geht, schauen wir uns im Folgenden an. Betrachten wir dafür ein Beispiel.

Farid benötigt ein neues Fahrrad. Eine wichtige Größe dabei ist die Rahmenhöhe. Farid möchte schließlich weder ein zu kleines noch ein zu großes Fahrrad haben. Welche Rahmenhöhe die richtige ist, hängt mit der Körpergröße zusammen. Gibt es also eine Rechenvorschrift für Rahmenhöhen? Ja, Farid findet im Internet den Hinweis:

$\text{Rahmenhöhe} = \text{Beinlänge} - 25\,\pu{cm}$

Für die Menschen, die den Rechenausdruck aufgestellt haben, ist die Beinlänge die unbekannte Größe. Sie wissen schließlich nicht, wer vor dem Computer sitzt. Bezeichnen wir diese unbekannte Größe also mit der Variablen $x$. Er könnte auch jeden anderen beliebigen Buchstaben wählen.

$x = \text{Beinlänge}$

Somit lautet der Rechenausdruck:

$\text{Rahmenhöhe in cm} = x \,\text{in cm} - 25\,\pu{cm}$

Damit haben wir für ein mathematisches Problem einen Rechenausdruck mit einer Variablen aufgestellt. Für die Variable können wir nun verschiedene Beinlängen einsetzen und somit die passenden Rahmengrößen ermitteln.

Die einzelnen Schritte können mit den folgenden Punkten zusammengefasst werden:

  • Welche Größe ist gesucht?
  • Wovon hängt die gesuchte Größe ab? Daraus ergibt sich die Variable $x$.
  • Wie wird die gesuchte Größe berechnet? Daraus ergibt sich der Rechenausdruck.
  • Variable einführen und festlegen
  • Rechenausdruck mit der Variablen aufschreiben

Terme mit Variablen aufstellen – Beispiel

Für sein neues Fahrrad muss Farid $200\,€$ bezahlen. Um das Geld zusammenzusparen, erstellt Farid einen Sparplan. Er hat bereits $120\,€$ gespart. Jeden Monat kann er weitere $15\,€$ zum Ersparten dazulegen. Wandeln wir diesen Plan in einen Rechenausdruck um. Dabei verwenden wir die oben eingeführten Schritte.

Welche Größe ist gesucht?

  • Wir wollen die angesparte Geldsumme ermitteln.

Wovon hängt diese Größe ab?

  • Die Geldsumme hängt davon ab, wie lange Farid schon gespart hat. Daraus ergibt sich, dass die Anzahl der Monate die unbekannte Variable ist.

Wie berechnet sich die gesuchte Größe?

  • Farid startet mit $120\,€$. Dann kommen pro Monat $15\,€$ hinzu. Die angesparte Summe ergibt sich also aus:

$\quad \text{angesparte Summe} = 120\,€ + (\text{Anzahl der Monate}) \cdot 15\,€$

Variable einführen und festlegen:

  • Die Variable ist die Anzahl der Monate. Wir nennen sie $x$.

$\quad \text{Anzahl der Monate} = x $

Rechenausdruck mit der Variablen aufschreiben:

  • Der Term lautet nun:

$\quad \text{angesparte Summe} = 120\,€ + x \cdot 15\,€$

Um zu wissen, wann Farid genug Geld für das Fahrrad gespart hat, erstellt er eine Tabelle. Dabei setzt er für $x$ nacheinander verschiedene Zahlen ein.

Anzahl der Monate Angespartes Geld in Euro Berechnung
$0$
$120$
$120\,€ + 0 \cdot 15\,€ = 120\,€$
$1$
$135$
$120\,€ + 1 \cdot 15\,€ = 135\,€$
$2$
$150$
$120\,€ + 2 \cdot 15\,€ = 150\,€$
$5$
$195$
$120\,€ + 5 \cdot 15\,€ = 195\,€$
$6$
$210$
$120\,€ + 6 \cdot 15\,€ = 210\,€$

Zu Beginn, also nach $0$ Monaten, hat Farid $120\,€$. Nach $2$ Monaten hat er bereits $150\,€$ angespart. Auch nach $5$ Monaten fehlt ihm noch ein wenig Geld. Aber nach $6$ Monaten hat er genügend Geld angespart, um sich das neue Fahrrad kaufen zu können.

Der Antwortsatz lautet also:

  • Nach $6$ Monaten hat Farid genügend Geld angespart.

Terme mit Variablen aufstellen – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zusammen, was du über das Aufstellen von Termen mit Variablen wissen solltest.

  • Variablen in Rechenausdrücken sind Platzhalter für Zahlen. Sie stehen für unbekannte Zahlen oder veränderliche Größen.
  • Der Rechenausdruck ist die Berechnungsvorschrift für eine bestimmte Größe.
  • Die Variable $x$ ist eine unbekannte Größe, von der der Rechenausdruck abhängt.
  • Für das Aufstellen des Terms geht man in $5$ Schritten vor:
    1. Welche Größe ist gesucht?
    2. Wovon hängt die gesuchte Größe ab? Daraus ergibt sich die Variable $x$.
    3. Wie wird die gesuchte Größe berechnet? Daraus ergibt sich der Rechenausdruck oder Term.
    4. Variable einführen und festlegen
    5. Term mit der Variablen aufschreiben

Mithilfe von Übungen und Arbeitsblättern kannst du hier auf der Seite dein Wissen zum Thema Terme mit Variablen aufstellen noch festigen.

Transkript Terme mit Variablen aufstellen

Endlich. Arvid der Abenteurer hat den Eingang zum Grab des berühmten Pharao Rechnaton gefunden. Um hineinzukommen muss er diese rätselhafte Inschrift lösen. Ob er an diesen beiden mysteriösen Wächterinnen vorbeikommt? Womöglich nur, wenn er „Terme mit Variablen aufstellen“ kann. Wir wissen bereits, was Variablen sind. Sie dienen als Platzhalter für Zahlen oder Größen. Meistens verwenden wir dazu Kleinbuchstaben, zum Beispiel x, y oder z. Zusammen mit Zahlen, Rechenzeichen und Klammern können sie einen Rechenausdruck, also einen Term bilden. Erst, wenn man eine Zahl für die Variable einsetzt, kann man diesen Term berechnen. Das ist der Wert des Terms, auch Termwert genannt. Die Variable ist also eine veränderliche Größe und wir können verschiedene Zahlen für sie einsetzen. Je nachdem welche Zahl man einsetzt, kann sich der Wert des Terms verändern. Und so einen Rechenausdruck muss Arvid jetzt auch aufstellen. Schauen wir uns dafür einmal das Rätsel genauer an. Die Inschrift lautet: Verdopple eine Zahl und addiere sieben. Ja, aber welche Zahl denn? Arvid weiß, dass man eine unbekannte Zahl mit einer Variablen darstellen kann. Da er nicht weiß, um welche Zahl es geht, schreibt er einfach x. Er könnte auch jeden anderen beliebigen Buchstaben nehmen. Diese unbekannte Zahl x soll also zuerst verdoppelt und danach mit sieben addiert werden. Um zu verdoppeln, müssen wir mit zwei multiplizieren. Und dann wird zu diesem Produkt noch sieben addiert. So, das ist der fertige Term. Schauen wir uns doch einmal an, welche Termwerte wir herausbekommen, wenn wir unterschiedliche Zahlen für die Variable x einsetzen. Fangen wir mit der null an. Null mal zwei sind null plus sieben sind sieben. Wenn wir also für x null einsetzen, erhalten wir sieben. Ob das die richtige Lösung ist? Oh, oh, das war wohl nicht die richtige Antwort. Probieren wir als Nächstes die Eins aus. Nun ist der Wert des Termes neun. Arvid versucht sein Glück erneut. Mist, das ist auch nicht die Lösung des Rätsels! Wir müssen also weiterrechnen. Wenn wir für x zwei einsetzen, erhalten wir elf. Diese Ergebnisse können wir nun schön übersichtlich in einer Tabelle notieren. Auf der linken Seite tragen wir die Zahlen ein, die wir für x eingesetzt haben, also null, eins und zwei. Und auf der rechten Seite tragen wir ein, welchen Termwert wir damit ausrechnen konnten. Für „x gleich null“ haben wir sieben ausgerechnet, für „x gleich eins“ neun und für „x gleich zwei“ elf. Für die Zahlen drei, vier und fünf kannst du ja schnell selbst die Berechnungen ausführen. Du erhältst die Werte dreizehn, fünfzehn und siebzehn. Arvid weiß immer noch nicht, welche Zahl er nun angeben soll, deshalb beschließt er, einfach den Term „zwei x plus sieben“ den Wächterinnen als Antwort anzubieten. Bevor wir erfahren, ob das eine gute Idee war, fassen wir noch schnell zusammen. Um Zahlenrätsel in die Sprache der Mathematik zu übersetzen, müssen wir einen Term aufstellen. Dafür sollten wir die Aufgabe zunächst sorgfältig lesen. Dann wählen wir für die unbekannte Zahl eine Variable. Anschließend werden nach und nach die Rechenoperationen des Zahlenrätsels notiert. Variablen stehen also für unbekannte Zahlen beziehungsweise veränderliche Größen. Je nachdem, welche Zahlen wir nun für die Variable einsetzen, erhalten wir unterschiedliche Termwerte. Um einen guten Überblick zu bekommen, kann man die eingesetzten Zahlen und die dazugehörigen Termwerte in einer Tabelle auflisten. Hat Arvid sich für die richtige Antwort entschieden? Dieses Mal muss es einfach klappen! Und tatsächlich. Da scheinen noch einige Aufgaben vor dem Abenteurer zu liegen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Warsehrhilfreich

    Von SB737, vor etwa 2 Stunden
  2. Cool

    Von Livia, vor 24 Tagen
  3. Cool!

    Von Hannah, vor etwa 2 Monaten
  4. Moin Meister

    Von Samuel/SecondPandaTV, vor etwa 2 Monaten
  5. S0000 süß sind die da t t Katzen sind meine Lieblings tiere
    und es ist cool das dass Video mit Katzen ist

    Von Honoka , vor 3 Monaten
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Terme mit Variablen aufstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme mit Variablen aufstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Begriffe Term und Variable.

    Tipps

    $y$ ist eine Variable.

    $2-(3y+5)$ ist ein Term.

    Beispiel: $3x+6$

    Wir setzten $x=1$ ein und berechnen:
    $3 \cdot 1 + 6 = 3+6=9 \quad$

    $\Rightarrow$ Der Wert des Terms für $x = 1$ ist $9$.

    Lösung

    Variablen sind Platzhalter für Zahlen oder Größen. Meistens verwenden wir als Variablen Kleinbuchstaben, z.B. $x$, $y$ oder $z$.

    Zusammen mit Zahlen, Rechenzeichen und Klammern können sie einen Rechenausdruck, auch Term genannt, bilden.

    Beispiel: $3x+6$

    Erst, wenn wir eine Zahl für die Variable einsetzen, können wir den Term berechnen. Das Ergebnis nennen wir Termwert.

    Beispiel: Wir berechnen den Termwert für $x=1$:
    $3 \cdot 1 + 6 = 3+6=9 \quad$

    Eine Variable ist eine veränderliche Größe, das heißt wir können verschiedene Zahlen für sie einsetzen. Je nachdem welche Zahl wir einsetzen, kann sich der Wert des Terms verändern.

    Beispiel: Wir setzen nun für $x=3$ ein:
    $3 \cdot 3+6=9+6=15 \quad$
    Wir sehen, dass sich der Termwert im Vergleich zu $x = 1$ verändert hat.

  • Gib den passenden Term an.

    Tipps

    Beispiel:

    Von $8$ wird das Dreifache einer Zahl subtrahiert.

    $8-3x$

    • addieren: $+$
    • subtrahieren: $-$
    • multiplizieren: $\cdot$
    • dividieren: $:$
    Lösung

    Um einen Term aufzustellen, müssen wir aus der Beschreibung mathematische Ausdrücke entwickeln. Um eine beliebige Zahl auszurücken, nutzen wir dabei Variablen. Häufig wird die Variable $x$ verwendet.

    Wir kennen bereits folgende Fachbegriffe:

    • addieren: $+$
    • subtrahieren: $-$
    • multiplizieren: $\cdot$
    • dividieren: $:$
    In unserem Beispiel können wir die einzelnen Elemente wie folgt mathematisch ausdrücken:

    eine Zahl: $x$
    das Doppelte einer Zahl: $2x$
    addiere $7$: $+7$

    Insgesamt ergibt sich also folgender Term:
    Verdopple eine Zahl und addiere $7$:

    $2x+7$

    Die übrigen Terme können folgendermaßen in Worte gefasst werden:

    • $7x+2 \quad$ Zum Siebenfachen einer Zahl wird $2$ addiert.
    • $7x \cdot 2 \quad$ Das Siebenfache einer Zahl wird mit $2$ multipliziert.
    • $2 \cdot x \cdot 7 \quad$ Das Doppelte einer Zahl wird mit $7$ multipliziert.
    • $2+x \cdot 7 \quad$ Zu $2$ wird das Siebenfache einer Zahl addiert.
    • $7+x \quad$ Zu $7$ wird eine Zahl addiert.
  • Bestimme den Termwert.

    Tipps

    Um den Termwert zu berechnen, setzt du die Zahl für die Variable ein und rechnest den Rechenausdruck aus.

    Beispiel: $3x+9$

    Für $x=2$ erhalten wir:

    $3 \cdot 2 + 9 = 6+9=15$

    Um den fehlenden Wert $x$ in der letzten Zeile zu bestimmen, kannst du versuchen verschiedene Zahlen für $x$ in den Term einzusetzen. Hast du einen Wert für $x$ gefunden, für den der Termwert $1$ ist, dann kannst du ihn in die Tabelle eintragen.

    Lösung

    In einem Term ist die Variable ein Platzhalter für jede beliebige Zahl. Wenn wir einen konkreten Zahlenwert gegeben haben, können wir diese Zahl für die Variable einsetzen und so den Termwert berechnen.

    Für unser Beispiel $25-3x$ rechnen wir wie folgt:

    $x=2$
    $25 - 3 \cdot 2 = 25 - 6 = 19$

    $x=3$
    $25 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16$

    $x=5$
    $25 - 3 \cdot 5 = 25 - 15 = 10$

    $x=7$
    $25 - 3 \cdot 7 = 25 - 21 = 4$

    In der letzten Zeile haben wir den Termwert gegeben und suchen nach der Zahl, die für $x$ eigesetzt wurde.
    Wir sehen, dass der Termwert kleiner ist als in der vorherigen Zeile. Da in dem Term $x$ subtrahiert wird, wird der Termwert geringer, wenn die Variable $x$ größer wird. Das erkennen wir auch, wenn wir die Termwerte, die wir bereits berechnet haben, miteinander vergleichen.
    Wir setzen daher einen größeren $x$-Wert ein. Wir probieren den nächsthöheren Wert $x=8$:

    $25 - 3 \cdot 8 = 25 - 24 = 1$

    Dies ist der passende Wert.

  • Stelle den passenden Term auf.

    Tipps

    Beispiel:

    Von $7$ wird das Fünffache einer Zahl subtrahiert.

    $7-5x$

    Du kannst als Variable einen beliebigen Kleinbuchstaben wählen, zum Beispiel: $x$, $y$, $z$ oder $a$.

    Lösung

    Um einen Term aufzustellen, müssen wir aus der Beschreibung mathematische Ausdrücke entwickeln. Um eine veränderliche Zahl auszurücken, verwenden wir dabei Variablen. Wir können jeweils einen beliebigen Kleinbuchstaben als Variable wählen.

    Wir kennen bereits folgende Fachbegriffe:

    • addieren: $+$
    • subtrahieren: $-$
    • multiplizieren: $\cdot$
    • dividieren: $:$
    • Summe: das Ergebnis einer Addition
    • Differenz: das Ergebnis einer Subtraktion
    • Produkt: das Ergebnis einer Multiplikation
    • Quotient: das Ergebnis einer Division
    Wir schreiben damit die folgenden Terme auf:

    Zum Vierfachen einer Zahl wird $6$ addiert: $\quad4y+6$
    Von $11$ wird das Doppelte einer Zahl subtrahiert: $\quad11-2x$
    Vom Sechsfachen einer Zahl wird $4$ subtrahiert: $\quad6a-4$
    Das Elffache einer Zahl wird durch das Doppelte der Zahl dividiert: $\quad11x:2x$
    Zum Produkt aus $10$ und $8$ wird das Dreifache einer Zahl addiert: $\quad10 \cdot 8 +3z$

  • Berechne den Termwert.

    Tipps

    Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multiplizierst, ist das Ergebnis $0$.

    Beispiel: $3x+9$

    Für $x=2$ erhalten wir:

    $3 \cdot 2 + 9 = 6+9=15$

    Lösung

    In einem Term ist die Variable ein Platzhalter für jede beliebige Zahl. Wenn wir einen konkreten Zahlenwert gegeben haben, können wir diese Zahl für die Variable einsetzen und so den Termwert berechnen.

    Wir setzen also in unseren Term $2x+7$ die jeweilige Zahl für die Variable $x$ ein und berechnen:

    $x=0$
    $2 \cdot 0 + 7 = 0 + 7 =7$

    $x=1$
    $2 \cdot 1 + 7 = 2 + 7 =9$

    $x=3$
    $2 \cdot 3 + 7 = 6 + 7 =13$

  • Stelle einen Term auf, der das Zahlenrätsel beschreibt und berechne den angegebenen Termwert.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge der Rechenoperationen. Du kannst Klammern verwenden, um die Reihenfolge mathematisch auszudrücken.

    Beispiel:

    Addiere zu einer Zahl $5$ und multipliziere das Ergebnis mit $6$:

    $(x+5) \cdot 6$

    Statt $3 \cdot x$ können wir auch kürzer schreiben: $3x$

    Lösung

    Um einen Term aufzustellen, müssen wir aus der Beschreibung mathematische Ausdrücke entwickeln. Wir gehen dabei Schritt für Schritt vor:

    Das Vierfache einer Zahl:
    $4x$
    Subtrahiere $8$ vom Vierfachen einer Zahl:
    $4x-8$
    Subtrahiere $8$ vom Vierfachen einer Zahl und dividiere das Ergebnis durch $2$:
    $(4x-8):2$

    Wir können nun den Termwert bestimmen. Dazu setzen wir für $x=3$ ein und berechnen:

    $(4\cdot 3-8):2 =(12-8):2=4:2=2$

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