Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5)

Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5) Übung

• Beschreibe, wie die Länge der fehlenden Kathete berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse.

  Die Gegenkathete eines spitzen Winkels liegt diesem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt diesem Winkel an.

  Lösung

  In diesem rechtwinkligen Dreieck ist ein spitzer Winkel bekannt. Übrigens: Auch den anderen kann man berechnen, indem man den bekannten Winkel von $90^\circ$ subtrahiert.

  Die diesem Winkel anliegende Kathete hat die Länge $16~cm$. Berechnet werden soll die Länge der Gegenkathete.

  Hierfür wird der Tangens verwendet. Dieser ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Man erhält somit

  $\tan(36,87^\circ)=\frac GA$.

  Durch Eingabe in den Taschenrechner kann

  $\tan(36,87^\circ)=0,75$

  berechnet werden. Nun kann die bekannte Länge der Ankathete eingesetzt werden und man erhält die Gleichung

  $0,75=\frac x{16}$,

  wobei $x$ die unbekannte Länge der Gegenkathete ist.

• Berechne die Länge der Gegenkathete, indem du $\tan(36,87^\circ)=0,75$ verwendest.

  Tipps

  Bestimmt hilft es dir, die Dezimalzahl $0,75$ als Bruch auszudrücken.

  Die Gleichung, welche du lösen musst, lautet

  $\tan(36,87^\circ)=\frac x{16}$,

  wobei $x$ die gesuchte Länge ist.

  Forme diese Gleichung nach $x$ um.

  Lösung

  Zum einen ist $\tan(36,87^\circ)=0,75$ und zum anderen

  $\tan(36,87^\circ)=\frac x{16}$,

  wobei $x$ die Länge der unbekannten Seite ist. Um diese Länge zu erhalten, wird mit $16$ multipliziert:

  $\begin{align} 0,75&=\frac x{16}&|&\cdot 16\\ 0,75\cdot 16&=x\\ 12&=x. \end{align}$

  Die gesuchte Kathete hat die Länge $12~cm$.

• Bestimme jeweils die Seitenverhältnisse, die den Tangens definieren.

  Tipps

  Der Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

  Die Seite in dem rechtwinkligen Dreieck, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

  In Bezug auf einen spitzen Winkel bezeichnet man die gegenüberliegende Kathete als Gegenkathete und die anliegende als Ankathete.

  Jede Gleichung, in welcher die Hypotenuse vorkommt, kannst du ausschließen.

  Lösung

  Die beiden Katheten in diesem Dreieck sind die grüne und die blaue Seite. Im Bezug auf den Winkel $\alpha$ ist die grüne die Gegen- und die blaue die Ankathete – entsprechend umgekehrt für den Winkel $\beta$.

  Der Tangens ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

  Also erhält man von links nach rechts:

  • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$ und die Ankathete $k$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac lk$.
  • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $k$ und die Ankathete $m$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac km$.
  • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $m$ und die Ankathete $l$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac ml$.
  • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$ und die Ankathete $m$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac lm$.

• Ermittle die Länge der fehlenden Kathete, indem du $\tan(30,96^\circ)=0,6$ verwendest.

  Tipps

  Der Tangens ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zu der Ankathete.

  Bekannt ist die Ankathete und gesucht die Gegenkathete.

  Du musst mit der bekannten Länge der Ankathete multiplizieren.

  Lösung

  Dadurch, dass der Tangenswert des spitzen Winkels $30,96^\circ$ bekannt ist, kann man eine Gleichung mithilfe der Definition des Tangens aufstellen. Es gilt

  $\tan(30,96^\circ)= \frac x{15}$.

  Mit dem bekannten Tangenswert $\tan(30,96^\circ)=0,6$ ist also die folgende Gleichung zu lösen

  $\begin{align} 0,6&=\frac x{15}&|&\cdot 15\\ 0,6\cdot 15&=x\\ 9&=x. \end{align}$

  Dies ist die gesuchte Länge der Gegenkathete: $9~cm$.

• Gib das Seitenverhältnis an, welches den Tangens beschreibt.

  Tipps

  Bei den Definitionen von Sinus und Kosinus steht immer die Hypotenuse im Nenner.

  Es gibt auch den Kotangens. Dieser ist definiert als das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

  Der Tangens des spitzen Winkels $37^\circ$ entspricht der Steigung der gelben Strecke.

  Lösung

  Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta$ zu sehen.

  • Die rote Seite ist die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
  • Die grüne Seite ist die Gegenkathete (Ankathete) von $\alpha$ ($\beta$).
  • Die blaue Seite ist die Gegenkathete (Ankathete) von $\beta$ ($\alpha$).

  In einem rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens eines spitzen Winkels wie folgt definiert.

  $\mathbf{\sin(\alpha)}$$=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}$

  $\mathbf{\cos(\alpha)}$$=\frac{\text{Ankathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}$

  $\mathbf{\tan(\alpha)}$$=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Ankathete von }\alpha}$

• Wende die Definition des Tangens an, um die jeweiligen Höhen zu berechnen.

  Tipps

  Dies sind die Tangenswerte, welche du verwendest solltest:

  • $\tan(28^\circ) \approx 0,5317$
  • $\tan(32^\circ) \approx 0,6249$
  • $\tan(8^\circ) \approx 0,1405$
  • $\tan(48^\circ) \approx 1,1106$

  Fertige dir eine Skizze an.

  Für die verschiedenen Gebäude musst du jeweils sowohl den Abstand und den Winkel eintragen.

  Überlege dir, ob der bekannte Abstand die An- oder Gegenkathete ist.

  Lösung

  Es ist sehr sinnvoll zum besseren Verständnis der Aufgabe eine Skizze anzufertigen.

  Diese könnte so wie hier zu sehen aussehen.

  Darin ist zu erkennen, dass bei jeder der zu berechnenden Höhen die folgende Gleichung zu lösen ist

  $\tan($Winkel$)=\frac{\text{Höhe}}{\text{Entfernung}}$.

  Durch Multiplikation mit der bekannten Entfernung erhält man eine Formel zur Berechnung der Höhe

  Höhe$=\tan($Winkel$)\cdot$ Entfernung.

  Nun können die jeweils bekannten Größen eingesetzt werden:

  • Die Höhe des Kirchturms beträgt $\tan(28^\circ)\cdot 100\approx 53,17$, also ungefähr $53$ Meter.
  • Die Höhe des Rathauses beträgt $\tan(32^\circ)\cdot 50\approx 31,24$, also ungefähr $31$ Meter.
  • Die Höhe des Mastes beträgt $\tan(8^\circ)\cdot 120\approx 16,85$, also ungefähr $17$ Meter.
  • Die Höhe des Hauses beträgt $\tan(48^\circ)\cdot 8\approx 8,88$, also ungefähr $9$ Meter.