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Schrägbild des Kegels 02:35 min

Textversion des Videos

Transkript Schrägbild des Kegels

Wir befinden uns in einem Raumschiff, das fremde Planeten erforscht weit, weit in den Tiefen des Universums. Oh, das ist ja ein interessanter Planet. Und auf ihm befinden sich Bäume in der Form von Kegeln. Um diese nachzuzeichnen, müssen wir das Schrägbild des Kegels erstellen. Der Kegel hat verschiedene Ansichten: Die Vorderansicht, die Seitenansicht, die Draufsicht und die Ansicht von Unten. Hierbei siehst du immer nur einen Teil des Kegels. Nur aus der schrägen Perspektive nimmst du den Kegel auf der ebenen Fläche deines Bildschirms räumlich wahr. Eine solche Ansicht bezeichnet man als „Schrägbild“. Und genau so ein Schrägbild werden wir jetzt konstruieren. Wir nehmen uns dazu kariertes Papier zur Hilfe. Wir wollen einen Kegel mit einem Durchmesser von 6 cm und einer Höhe von 4 cm zeichnen. Dazu wollen wir zunächst die Grundfläche zeichnen. Wir tragen den Durchmesser des Kreises so ab und zeichnen dann vom Mittelpunkt im Winkel von 45° aus eine zweite Linie. Diese Linie stellt auch den Durchmesser dar, aber perspektivisch verkürzt. Hier verwenden wir für jeden Zentimeter des Durchmessers eine Kästchendiagonale. Dann verbinden wir die vier Endpunkte dieser beiden Linien zu einer Ellipse. Eine Ellipse ist so etwas wie ein gestauchter Kreis und sieht so aus. Hier stellt sie die perspektivisch verkürzte kreisförmige Grundfläche des Kegels dar. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir mit einer gestrichelten Linie, da sie in der Realität nicht sichtbar wäre, wenn wir von vorne auf den Zylinder schauen. Direkt senkrecht über dem Schnittpunkt der beiden Linien, die den Durchmesser der Grundfläche darstellen, liegt die Spitze des Kegels. Sie wird dann mit den Endpunkten des Durchmessers verbunden. Fassen wir das noch einmal zusammen. Zunächst zeichnet man die Grundfläche des Kegels als Ellipse. Die Spitze liegt senkrecht zu dem Mittelpunkt des Durchmessers. Verbindet man die Endpunkte des Durchmessers mit der Spitze, ist das Schrägbild fertig. Hier gibt es nichts mehr zu entdecken. Auf zum nächsten Planeten!

Schrägbild des Kegels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrägbild des Kegels kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib wieder, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest.

    Tipps

    Der Durchmesser eines Kreises ist die längste Sehne eines Kreises und läuft immer durch den Mittelpunkt des Kreises.

    Eine Ellipse ist eine Art gestauchter Kreis.

    Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.

    Lösung
    1. Ein Kegel hat in der Wirklichkeit einen Kreis als Grundfläche. Zeichne dessen Durchmesser als Strecke.
    2. Zeichne durch den Mittelpunkt der Strecke eine zweite, kürzere Linie im Winkel von $45^\circ$ so ein, dass sie sich jeweils mittig schneiden. Diese Linie stellt auch den Durchmesser dar, aber perspektivisch verkürzt.
    3. Verbinde die Anfangs- und Endpunkte der Strecken zu einer Ellipse. Eine Ellipse ist eine Art gestauchter Kreis. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.
    4. Markiere direkt über dem Schnittpunkt der beiden Linien die Spitze des Kegels im Abstand der Kegelhöhe.
    5. Diese wird dann mit dem Anfangs- und Endpunkt der ersten Strecke verbunden.
  • Zeige auf, welche Schrägbilder eines Kegels korrekt sind.

    Tipps

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, dieser wird im Schrägbild gestaucht.

    Nicht sichtbare Linien werden im Schrägbild gestrichelt.

    Lösung

    Die wichtigen Schritte beim Zeichnen eines Schrägbildes sind:

    1. Zeichne den Durchmesser der Grundfläche. Zeichne durch dessen Mittelpunkt eine zweite, kürzere Linie in einem Winkel von $45^\circ$. Diese schneiden sich jeweils mittig.
    2. Verbinde Anfangs- und Endpunkte der Durchmesser zu einer Ellipse. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt.
    3. Direkt über dem Schnittpunkt der beiden Durchmesser liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.
    4. Die Spitze wird dann mit den Endpunkten des ersten Durchmessers verbunden.
    Damit gilt für die Bilder:

    1. Bild

    Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar.

    2. Bild

    Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar. Die Farbe hat keinen Einfluss auf das Schrägbild.

    3. Bild

    Dies stellt kein korrektes Schrägbild eines Kegels dar, denn die hintere Hälfte der Ellipse müsste gestrichelt sein.

    4. Bild

    Dies stellt kein korrektes Schrägbild eines Kegels dar, sondern einen Zylinder.

    5. Bild

    Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar. Die Farbe hat keinen Einfluss auf das Schrägbild.

  • Bestimme, ob bei den Schrägbildern eines geraden Kegels ein Fehler passiert ist.

    Tipps

    Hier siehst du ein korrektes Schrägbild eines geraden Kegels.

    Das Dach des Turms entspricht einem Kegel, der Turm als gesamtes aber nicht.

    Lösung

    Die folgenden Fehler sind hier passiert:

    1. Bild: kein Kegel

    Hier sehen wir einen zusammengesetzten Körper. Er besteht aus einem Kegel und einem Zylinder.

    2. Bild: kein Fehler

    Dieses Schrägbild ist korrekt.

    3. Bild: keine Ellipse

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Allerdings muss sie im Schrägbild gestaucht, also als Ellipse dargestellt sein.

    4. Bild: unsichtbare Linie

    Linien, die verdeckt sind, müssen gestrichelt gezeichnet werden. Hier betrifft das die hintere Hälfte der Ellipse

    5. Bild: schräge Höhe

    Senkrecht wird vom Mittelpunkt aus die Höhe abgetragen. Das Ende der Höhe heißt Spitze. Hier sieht man zwar das Schrägbild eines Kegels, dieser ist aber nicht gerade, sondern verschoben.

  • Ermittle die passenden Schrägbilder.

    Tipps

    Miss den Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) in dem Schrägbild anhand der Kästchen aus.

    Direkt über dem Mittelpunkt liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.

    Lösung

    Beim Zeichnen des Schrägbildes eines Kegels gehst du so vor:

    1. Zeichne den Durchmesser der Grundfläche. Zeichne durch dessen Mittelpunkt eine zweite, kürzere Linie in einem Winkel von $45^\circ$. Diese schneiden sich jeweils mittig.
    2. Verbinde Anfangs- und Endpunkte der Durchmesser zu einer Ellipse. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt.
    3. Direkt über dem Schnittpunkt der beiden Durchmesser liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.
    4. Die Spitze wird dann mit den Endpunkten des ersten Durchmessers verbunden.
    Dementsprechend musst du hier die Längen des Durchmessers $d$ und der Höhe $h$ überprüfen. Damit gilt:

    • 1. Bild: $d=6\text{ cm}$ und $h=4\text{ cm}$
    Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $6\text{ cm}$, also $12$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $4\text{ cm}$, also $8$ Kästchen lang ist.

    • 2. Bild: $d=3\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$
    Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $3\text{ cm}$, also $6$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

    • 3. Bild: $d=2\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$
    Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

    • 4. Bild: $d=4\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$
    Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $4\text{ cm}$, also $8$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

    • Zu $d=2\text{ cm}$ und $h=3\text{ cm}$ passt kein Bild.
  • Beschrifte das Schrägbildes des Kegel.

    Tipps

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, im Schrägbild wird dieser gestaucht.

    Das Ende der Höhe nennen wir Spitze.

    Lösung

    Die wichtigen Merkmale bei einem Schrägbild eines Kegels sind:

    • Grundfläche
    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, im Schrägbild wird dieser gestaucht und ist daher eine Ellipse mit dem Durchmesser des Kreises an der breitesten Stelle.
    • Mittelpunkt
    Dort, wo sich die Strecke des Durchmessers und die des verkürzten Durchmesser in einem Winkel von $45^\circ$ schneiden, ist der Mittelpunkt.

    • Höhe und Spitze
    Senkrecht wird vom Mittelpunkt aus die Höhe abgetragen. Das Ende der Höhe heißt Spitze.
    • Unsichtbare Linie
    Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.
  • Bestimme das Volumen eines Kegels.

    Tipps

    Für die Fläche eines Kreises musst du den Radius quadrieren und das Quadrat mit $\pi$ multiplizieren.

    Die Werte für den Durchmesser $d$ und die Höhe $h$ kannst du in dem Schrägbild ablesen.

    Lösung

    Messen wir die Längen im Schrägbild, können wir auch andere Größen des Kegels bestimmen:

    Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:

    • $V=\frac13 \cdot G \cdot h$
    Dabei ist $G$ die kreisförmige Grundfläche und $h$ die Höhe. Die Grundfläche des Kegels ist in Wirklichkeit ein Kreis, auch wenn sie im Schrägbild wie eine Ellipse aussieht.

    Die Fläche eines Kreises berechnet man mit Hilfe des Radius $r$:

    $G=r^2\cdot \pi$

    Den Radius können wir einfach messen oder aus dem Durchmesser berechnen:

    • $r=\frac d 2$
    Nun bestimmen wir die Werte in unserem Bild und erhalten:

    • $d=6 \text{ cm}$ (längste Sehne der Ellipse)
    • $h=4 \text{ cm}$ (vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze)
    So gilt für den Radius: $r=\frac{6 \text{ cm}}2=3 \text{ cm}$

    Dann setzen wir die Werte in unsere Formel ein:

    $V=\frac13 \cdot G \cdot h=\frac13 \cdot r^2\cdot \pi \cdot h=\frac13 \cdot (3 \text{ cm})^2\cdot \pi \cdot 4 \text{ cm}= 12\pi\text{ cm}^3\approx 37,7\text{ cm}^3$