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Schrägbild des Prismas 03:15 min

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Transkript Schrägbild des Prismas

Wir befinden uns in einem Raumschiff, das fremde Planeten erforscht weit, weit in den Tiefen des Universums. Oh, das ist ja ein interessanter Planet. Und auf ihm sehen wir ganz viele verschiedene Prismen. Von diesen können wir Schrägbilder zeichnen. Ein gerades Prisma ist ein Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Schauen wir uns doch einmal dieses fünfseitige Prisma an. Betrachten wir es von vorne, so sehen wir die fünfeckige Grundfläche. Betrachten wir es von der Seite oder von oben, so erkennen wir die Mantelfläche des Prismas. Wir sehen also immer nur einen bestimmten Teil des Prismas. Nur aus der schrägen Perspektive können wir das Prisma auf der ebenen Fläche des Bildschirms räumlich wahrnehmen. Eine solche Ansicht bezeichnet man als „Schrägbild“. Und genau so ein Schrägbild werden wir jetzt konstruieren. Wir nehmen uns dazu kariertes Papier zur Hilfe und wollen ein fünfseitiges Prisma konstruieren. Alle Seiten des Prismas haben eine Länge von 2 cm und die Höhe des Prismas ist 6cm. Und zeichnen zunächst die Vorderfläche, hier also das Fünfeck, dann zeichnen wir die Kanten, die nach hinten laufen. Diese müssen wir schräg und verkürzt zeichnen. Wir nehmen dazu einen 45 Grad Winkel. Für 1cm Seitenlänge zeichnet man eine Kästchendiagonale. Die nicht sichtbare Kante wird gestrichelt. All diese Kanten sind gleich lang. Zum Zeichnen der Rückseite werden die Endpunkte der schräg nach hinten verlaufenden Kanten verbunden. Die nicht sichtbaren Kanten werden auch hier gestrichelt gezeichnet. Was für Eigenschaften hat das Schrägbild denn nun? Parallele Körperkanten sind auch im Schrägbild parallel. Gegenüberliegende Körperkanten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang. Die Körperkanten, die nach hinten laufen, sind im Schrägbild verkürzt, um einen räumlichen Eindruck zu erwecken. Trotzdem werden die Originalmaße bei der Beschriftung angegeben. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt gezeichnet. Dasselbe können wir nun für andere Arten von Prismen machen, wie zum Beispiel einem dreiseitigen Prisma. Wir zeichnen also zunächst die Grundfläche. Dann zeichnen wir die Kanten, die nach hinten laufen schräg und verkürzt. Für 1cm Seitenlänge zeichnet man eine Kästchendiagonale. Die nicht sichtbare Kante wird gestrichelt. Zum Zeichnen der Rückseite werden die Endpunkte der schräg nach hinten verlaufenden Kanten verbunden. Die nicht sichtbaren Kanten werden auch hier gestrichelt gezeichnet. Fassen wir nochmal die Konstruktionsschritte für das Zeichnen des Schrägbilds eines Prismas zusammen. Als erstes wird die Vorderfläche gezeichnet. Dann die nach hinten laufenden Kanten. Diese werden schräg und verkürzt gezeichnet. Dann verbindet man nur noch die Endpunkte. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt gezeichnet. Hier gibt es nichts mehr zu entdecken. Auf zum nächsten Planeten!

Schrägbild des Prismas Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrägbild des Prismas kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib wieder, wie man das Schrägbild eines Prismas zeichnen kann.

    Tipps

    Wir beginnen beim Zeichnen eines Schrägbildes eines Prismas immer vorn und arbeiten uns nach hinten vor.

    Hier siehst du ein korrekt gezeichnetes Schrägbild eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche.

    Lösung

    Prismen können verschiedene Grundflächen haben, wie zum Beispiel Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke. Die Schrägbilder werden aber immer auf dieselbe Art und Weise gezeichnet.

    1. Als erstes wird die Vorderfläche gezeichnet. Diese könnte zum Beispiel ein Dreieck oder Fünfeck sein.
    2. Von den Eckpunkten der Vorderfläche werden die nach hinten laufenden Kanten eingezeichnet. Diese werden in einem Winkel von $45^\circ$ und verkürzt dargestellt. Bei der Verkürzung entspricht $1 \text{ cm}$ einer Kästchendiagonalen.
    3. Für die hintere Fläche verbindet man die Eckpunkte der nach hinten laufenden Kanten. Diese entspricht genau der Vorderfläche, sie wurde nur etwas verschoben.
    4. Im letzten Schritt werden nicht sichtbare Kanten gestrichelt. Das sind Kanten, die bei der Sicht auf das Prisma durch zum Beispiel die Vorder- oder Seitenfläche verdeckt sind.
  • Bestimme die Schrägbilder von Prismen.

    Tipps

    Überprüfe zunächst, ob es sich um ein Prisma handelt. Begutachte dann die Eigenschaften eines Schrägbildes.

    Ein Prisma kann sowohl eine dreieckige als auch eine fünfeckige Grundfläche haben.

    Kanten, die durch andere Flächen verdeckt sind, werden im Schrägbild gestrichelt.

    Lösung

    Die wichtigsten Schritte beim Zeichnen eines Prismas sind:

    1. Vorderfläche zeichnen.
    2. Von den Eckpunkten der Vorderfläche aus die nach hinten laufenden Kanten verkürzt und schräg zeichnen.
    3. Für die hintere Fläche die Eckpunkte der nach hinten laufenden Kanten verbinden. Diese entspricht genau der Vorderfläche und ist etwas verschoben.
    4. Im letzten Schritt nicht sichtbare Kanten gestrichelt darstellen.
    Die folgenden Bilder sind korrekt:

    • Bild 1
    Hier sieht man ein korrekt gezeichnetes Prisma mit einem Fünfeck als Grundfläche. Die Punkte 1. bis 4. wurden eingehalten.
    • Bild 2
    Hier sieht man ein korrekt gezeichnetes Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche. Die Punkte 1. bis 4. wurden eingehalten.

    Die folgenden Bilder sind falsch:

    • Bild 3
    Hier ist zwar ein Prisma zu sehen, aber kein gezeichnetes Schrägbild.
    • Bild 4
    Dieses Schrägbild ist zwar grundsätzlich korrekt, zeigt aber eine Pyramide und kein Prisma.
    • Bild 5
    Bei diesem Schrägbild wurde der 4. Punkt nicht eingehalten, die nicht sichtbaren Kanten wurden nicht gestrichelt.
  • Prüfe, ob bei den Schrägbildern Fehler gemacht wurden.

    Tipps

    Gegenüberliegende Kanten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang.

    Verdeckte Kanten werden im Schrägbild gestrichelt eingetragen.

    Die parallelen Kanten des Originalprismas sind auch im Schrägbild parallel.

    Lösung

    Bei dem Schrägbild eines Prismas solltest du Folgendes beachten:

    1. Gegenüberliegende Kanten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang.
    2. Die parallelen Kanten des Originalprismas sind auch im Schrägbild parallel.
    3. Nach hinten laufende Kanten werden verkürzt dargestellt.
    4. Verdeckte Kanten werden im Schrägbild gestrichelt eingetragen.
    Daher können wir zu den Bildern Folgendes sagen:
    • Bild 1: kein Fehler
    Das Schrägbild ist korrekt.

    • Bild 2: unsichtbare Linien
    Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt eingetragen. Hier müssten die drei hinteren Kanten, die von der Vorder- und Seitenfläche verdeckt werden, gestrichelt werden.

    • Bild 3: parallele Kanten
    Die parallelen Kanten des Originalprismas sind auch im Schrägbild parallel. Hier sind die nach hinten laufenden Kanten nicht parallel.

    • Bild 4: runde Grundfläche
    Die Grundfläche eines Prismas ist ein Vieleck, also zum Beispiel ein Drei-, Vier- oder Fünfeck. Ein Kreis ist aber kein Vieleck.

  • Entscheide, welche Schrägbilder zu den Maßen passen.

    Tipps

    Miss erst die Seitenlängen des regelmäßigen Vielecks.

    $h$ ist die Höhe, die nach hinten verläuft. Sie wird verkürzt dargestellt. Zähle daher hier die Kästchendiagonalen um die Länge zu ermitteln.

    Lösung

    Wichtig ist hierbei die Umrechnung. Die Kästchen sind $0,5 \text{ cm}$ breit und hoch, hier entspricht $1 \text{ cm}$ $2$ Kästchen. Diese Maße brauchst du für die Vorderfläche. Da die Seiten nach hinten verkürzt dargestellt werden, entspricht bei der Höhe $h$ $1 \text{ cm}$ im Original einer Kästchendiagonale im Schrägbild.

    Somit gilt:

    • $a=3\text{ cm}$ und $h=7\text{ cm}$
    Das dreiseitige Prisma mit der Grundseite, die $3\text{ cm}$ (also $6$ Kästchen) lang ist und dessen nach hinten laufende Kanten $7\text{ cm}$ (also $7$ Kästchendiagonalen) lang sind, passt zu diesen Maßen.

    • $a=2\text{ cm}$ und $h=6\text{ cm}$
    Das fünfseitige Prisma (fünfeckige Grundfläche) mit der Grundseite, die $2\text{ cm}$ (also $4$ Kästchen) lang ist und dessen nach hinten laufende Kanten $6\text{ cm}$ (also $6$ Kästchendiagonalen) lang sind, passt zu diesen Maßen.

    • $a=2\text{ cm}$ und $h=7\text{ cm}$
    Das dreiseitige Prisma mit der Grundseite, die $2\text{ cm}$ (also $4$ Kästchen) lang ist und dessen nach hinten laufende Kanten $7\text{ cm}$ (also $7$ Kästchendiagonalen) lang sind, passt zu diesen Maßen.

    • $a=3\text{ cm}$ und $h=6\text{ cm}$
    Das fünfseitige Prisma (fünfeckige Grundfläche) mit der Grundseite, die $3\text{ cm}$ (also $6$ Kästchen) lang ist und dessen nach hinten laufende Kanten $6\text{ cm}$ (also $6$ Kästchendiagonalen) lang sind, passt zu diesen Maßen.

  • Vervollständige die Eigenschaften von Schrägbildern.

    Tipps

    An diesem Prisma kannst du die Eigenschaften sehr gut erkennen.

    Kanten, die du nicht nicht sehen kannst, zeichnest du nicht durchgezogen.

    Bei nach hinten laufenden Kanten entspricht ein Zentimeter einer Kästchendiagonale.

    Lösung
    1. Gegenüberliegende Kanten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang. Bei nicht gegenüberliegenden Kanten ist das nicht immer der Fall, da die nach hinten laufenden Kanten verkürzt dargestellt werden. Liegen sie sich gegenüber, werden entweder beide oder keine verkürzt dargestellt.
    2. Parallele Kanten im Schrägbild sind auch am Originalprisma parallel. Es gilt: Genau die parallelen Kanten am Originalprisma sind auch im Schrägbild parallel. Das siehst du zum Beispiel an den Kanten der Vorderfläche oder auch bei den nach hinten laufenden Kanten.
    3. Nach hinten laufende Kanten werden verkürzt dargestellt. Auf kariertem Papier entspricht ein Zentimeter einer Kästchendiagonalen.
    4. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt eingetragen. So kannst du besser erkennen, welche Seiten vorne sind.
  • Ermittle die richtige Reihenfolge für das Schrägbild.

    Tipps

    Beginne immer mit der Vorderfläche, diese ist beim Würfel ein Quadrat.

    Lösung

    So kannst du vorgehen:

    1. Als erstes wird die quadratische Vorderfläche gezeichnet. Die Seiten sollen $3\text{ cm}$ lang sein, das sind $6$ Kästchen.
    2. Von den Eckpunkten aus werden die nach hinten laufenden Kanten gezeichnet. Diese werden in einem Winkel von $45^\circ$ und verkürzt dargestellt. Bei der Verkürzung entspricht $1 \text{ cm}$ einer Kästchendiagonalen. Das heißt, die nach hinten laufenden Kanten sind $3$ Kästchendiagonalen lang.
    3. Für die hintere Fläche verbindet man die Endpunkte der nach hinten laufenden Kanten. Diese entspricht genau der Vorderfläche, sie ist nur etwas verschoben und zwar um genau die drei Kästchendiagonalen der nach hinten laufenden Kanten.
    4. Im letzten Schritt werden nicht sichtbare Kanten gestrichelt. Das sind die drei hinteren Kanten, die bei der Sicht auf den Würfel durch zum Beispiel die Vorder- oder Seitenflächen verdeckt sind.