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Rechnen mit Längeneinheiten

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Team Digital
Rechnen mit Längeneinheiten
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Rechnen mit Längeneinheiten

Inhalt

Einführung: Rechnen mit Längen

Längeneinheiten begegnen uns im Alltag ständig: Wir können sie zum Beispiel verwenden, wenn wir die Länge unserer Haare bestimmen wollen. Wenn sich die Haarlänge verändert, müssen wir mit Längen rechnen. Dies schauen wir uns zusammen an:

Umrechnen von Längeneinheiten

Für das Rechnen mit Längen in Mathe ist es wichtig, dass wir Längeneinheiten umrechnen können. Es gilt:

  • $10~\text{mm}$ sind $1~\text{cm}$.
  • $10~\text{cm}$ sind $1~\text{dm}$.
  • $10~\text{dm}$ sind $1~\text{m}$.
  • $1 000~\text{m}$ sind $1~\text{km}$.

Die Einheitentafel

Zum Umrechnen von Längeneinheiten können wir die Einheitentafel verwenden:

km m dm cm mm

Eintragen von Längen in die Einheitentafel

Beim Eintragen von Längen in die Einheitentafel darf in jedes Kästchen nur eine Ziffer eingetragen werden. Leere Kästchen dürfen wir mit Nullen auffüllen.

Wir tragen $45~\text{mm}$ in die Einheitentafel ein. Dazu orientieren wir uns an der Einerstelle, also der $5$, und tragen diese in die $\text{mm}$-Spalte ein:

km m dm cm mm
4 5

Wir können nun die Länge in anderen Einheiten ablesen, indem wir Nullen auffüllen:

km m dm cm mm
0 0 4 5

$45~\text{mm}$ sind also $4,5~\text{cm}$ oder auch $0,045~\text{m}$.

Wenn wir $1,925017~\text{km}$ in die Einheitentafel eintragen wollen, betrachten wir die Einerstelle der Angabe, dies ist eine $1$. Sie kommt in die $\text{km}$-Spalte:

km m dm cm mm
1 9 2 5 0 1 7

$1,925017~\text{km}$ sind also zum Beispiel $1 925,017~\text{m}$

Aber wie rechnet man mit Längen? Dies schauen wir uns nun gemeinsam an:

Addition und Subtraktion von Längenangaben

Zum Rechnen mit Längeneinheiten gehen wir beim Addieren und Subtrahieren wie folgt vor:

  1. Wir bringen die Längen mithilfe der Einheitentafel auf eine gemeinsame Einheit.
  2. Wir schreiben diese Zahlen stellengerecht untereinander und addieren/subtrahieren schriftlich.
  3. Die Einheit übernehmen wir für das Ergebnis.

Wir schauen uns zur Berechnung von Längen noch einige Beispiele an:

Beispiel zum Addieren von Längen

Wir wollen $45~\text{mm}$ und $0,59~\text{m}$ addieren. Wir tragen die beiden Zahlen in die Einheitentafel ein und wählen als gemeinsame Einheit Zentimeter. Wir addieren also $4,5~\text{cm}$ und $59,0~\text{cm}$:

Addieren von Längeneinheiten

Nach dem Rechnen mit den Längen behalten wir die Einheit bei. Wir erhalten das Ergebnis $63,5~\text{cm}$.

Beispiel zum Subtrahieren von Längen

Wir wollen $6 894~\text{mm}$ von $1,025017~\text{km}$ subtrahieren. Wir tragen die beiden Zahlen in die Einheitentafel ein und wählen als gemeinsame Einheit Meter. Wir subtrahieren also $6,894~\text{m}$ von $1 025,017~\text{m}$:

Subtrahieren von Längeneinheiten

Wir erhalten das Ergebnis $1 918,123~\text{m}$.

Multiplikation und Division von Längenangaben

Beim Vervielfachen von Längeneinheiten – also beim Multiplizieren von Längen mit einer natürlichen Zahl – bleibt die Einheit so, wie sie ist. Das Gleiche gilt für das Aufteilen von Längen – also für das Dividieren von Längen durch eine natürliche Zahl.

Zum Rechnen mit Längen betrachten wir noch zwei Übungen:

Beispiel zum Multiplizieren von Längenangaben mit einer natürlichen Zahl

Wir berechnen $5 \cdot 3,6~\text{dm}$. Dazu behalten wir die Einheit $\text{dm}$ bei:

$5 \cdot 3,6~\text{dm}=18,0~\text{dm}$

Beispiel zum Dividieren von Längenangaben durch eine natürliche Zahl

Wir berechnen $18~\text{dm}:2$. Dazu behalten wir die Einheit $\text{dm}$ bei:

$18~\text{dm}:2 = 9~\text{dm}$

Zusammenfassung: Rechnen mit Längeneinheiten

In diesem Video zum Rechnen mit Längen wiederholen wir zunächst das Umrechnen von Längeneinheiten mithilfe der Einheitentafel. Aber wie rechnet man mit Längen? Dazu betrachten wir zunächst das Vorgehen beim Addieren und Subtrahieren von Längen an Beispielen. Anschließend wird das Multiplizieren und Dividieren von Längen erläutert. Auch dabei betrachten wir einfache Aufgaben zum Rechnen mit Längen.

Somit wird das Rechnen mit Längen einfach erklärt. Weitere Übungsaufgaben und Arbeitsblätter zum Rechnen mit Längen findest du hier bei sofatutor.

Transkript Rechnen mit Längeneinheiten

Morten blättert durch sein Fotoalbum. Wie gern hätte er wieder solch herrliche Haarpracht! Er besorgt sich einige Haarwuchsmittel mit unterschiedlichen Längenversprechungen. Was wohl passiert, wenn er die miteinander kombiniert? Lass uns mit diesen Längen rechnen, also die verschiedenen Längenangaben addieren, subtrahieren, vervielfachen und aufteilen. Am besten kennst du dich dafür schon ein wenig mit dem Umrechnen von Längeneinheiten aus. Wir machen das in diesem Video mit der Einheitentafel. In diese besondere Tabelle kannst du Längenangaben eintragen und in verschiedenen Einheiten ablesen. Achte dabei aber immer auf die richtige Anzahl an Spalten! Erinnerst du dich? 10 Millimeter sind 1 Zentimeter. Die Null ist beim Umrechnen der Einheit irrelevant geworden. 1000 Meter hingegen sind 1 Kilometer. Und 100 Zentimeter – 1 Meter oder auch 0,001 Kilometer. In jedes Kästchen darf immer nur eine Stelle und du musst immer bereit sein, ein paar Nullen zu ergänzen. Nun fragst du dich vielleicht, was diese Einheiten mit Mortens vermengten Haarwuchsmitteln zu tun haben. - Es ist so: Das Produkt MagicMaxx verspricht ein baldiges Haarwachstum von 45 Millimetern und das Produkt FairyHair ein Wachstum von 0,59 Metern. Jetzt möchte Morten beide Produkte kombinieren und vorher noch herausfinden, wie LANG seine Haare dann wachsen dürften. Er will also 45 Millimeter und 0,59 Meter addieren. Merke dir: Um Längeneinheiten zu addieren oder zu subtrahieren, musst du sie immer erst auf eine gemeinsame Einheit bringen! Also los mit 45 Millimetern: Wir orientieren uns stets an der Einer-Stelle – hier also an der 5. Sie muss in die Millimeter-Spalte. Nun können wir unsere Länge in den anderen Einheiten ablesen: 45 Millimeter sind auch 4,5 Zentimeter oder 0,45 Dezimeter oder auch 0,045 Meter. Und die 0,59 Meter? Wir orientieren uns wieder an der Einer-Stelle – die ist diesmal Null. Sie gehört in die Meter-Spalte. Wir sehen so, dass 0,59 umgerechnet 5,9 Dezimeter sind, beziehungsweise 59 Zentimeter oder auch 590 Millimeter. Zur Addition der beiden Längen wählen wir die Einheit Zentimeter und rechnen stellengerecht untereinander 4,5 Zentimeter plus 59 Zentimeter. Die Einheit können wir beim Addieren einfach übernehmen. So erhalten wir 63,5 Zentimeter Haarwachstum – mit so viel Haar wäre Morten vollkommen zufrieden. Lass uns zur Verfestigung ein weiteres Beispiel ausrechnen. Diesmal subtrahieren wir von 1,925017 Kilometern 6894 Millimeter. Bei der Kilometerangabe steht an der Einer-Stelle eine 1 – die kommt in die Kilometer-Spalte. Bei der Millimeterangabe ist die Einer-Ziffer eine 4 und kommt natürlich in die Millimeter-Spalte. Welche gemeinsame Einheit wollen wir zum Subtrahieren verwenden? Lass es uns mit Metern versuchen! Wir haben dann 1925,017 Meter 6,894 Meter. Jetzt wird subtrahiert. Dabei erhält das Ergebnis dieselbe Einheit, es sind 1918,123 Meter! Welche Einheit sinnvoll ist, hängt immer von der Größe der Zahl und von dem Kontext ab, in dem sie gebraucht wird. Die Entfernung zwischen Städten geben wir zum Beispiel in Kilometern an, unsere Körpergröße dagegen in Metern oder Zentimetern. Was passiert aber, wenn wir eine Längenangabe vervielfachen – also zum Beispiel eine Haarlänge von 3,6 Dezimeter verfünffachen wollen? Das Vervielfachen ist die Multiplikation der Längenangabe mit einer Anzahl – hier ist das "fünfmal die Länge von 3,6 Dezimetern". Die Längeneinheit bleibt beim Vervielfachen einfach sie selbst. Durch Multiplikation der Zahlen erhalten wir 18 Dezimeter. Ebenso können wir Längen auch aufteilen: Zum Beispiel unsere 18 Dezimeter halbieren, also durch 2 teilen. Wir übernehmen für unser Ergebnis einfach die Einheit und berechnen unsere Zahl. So erhalten wir 9 Dezimeter. Lass uns zusammenfassen: Möchtest du zwei Längenangaben mit unterschiedlichen Längeneinheiten subtrahieren oder addieren, so entscheidest du dich zuerst für eine gemeinsame Einheit. Zur Umrechnung kannst du die Zahlen in eine Einheiten-Tabelle eintragen. Vielleicht hat dir dein Lehrer aber auch andere Methoden gezeigt. Diese sind natürlich genauso gut. Aus der Tabelle liest du die Zahlen in der gewählten Einheit ab. Die Summe hat dann die gleiche Einheit wie die miteinander verrechneten Längen, die Differenz natürlich auch. Bei dem Vervielfachen sowie beim Aufteilen einer Länge musst du immer nur die Zahlen multiplizieren beziehungsweise dividieren. Die Längeneinheit kannst du einfach übernehmen. Und Morten? Der hat sich wohl um Längen verrechnet.

84 Kommentare

84 Kommentare
  1. Toller Sprecher

    Von Hohlfeld, vor 27 Tagen
  2. Was geht ihr Chicken Wings:
    einfach bestes Video

    Von Seif , vor 3 Monaten
  3. Ich finde das Ende super 👍

    Von Lilly Katharina Glöser, vor 5 Monaten
  4. Mir hat es auch geholfen

    Von Lilli , vor 6 Monaten
  5. Moin moin

    Von Lilli , vor 6 Monaten
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Rechnen mit Längeneinheiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechnen mit Längeneinheiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Maßeinheiten an.

    Tipps

    Trage die verschiedenen Längenangaben in eine Einheitentafel ein, um sie zu vergleichen.

    Willst Du Angaben in $\text{km}$ und Angaben in $\text{m}$ zusammenrechnen, so kannst Du z. B. für beide Angaben die Einheit $\text{m}$ wählen.

    $13~\text{mm}$ und $4,5~\text{cm}$ ergeben hintereinander gelegt $58~\text{mm}$, denn $4,5~\text{cm} = 45\text{mm}$ und $45 + 13 =58$.

    Lösung

    Morten hat zwei verschiedene Haarwuchsmittel zur Auswahl: "Magic Max" verspricht ein baldiges Haarwachstum um $45~\text{mm}$, das sind umgerechnet $4,5~\text{cm}$. Das Produkt "Fairy Hair" lässt ein Wachstum um $0,59~\text{m}$ erwarten, das ist dasselbe wie $5,9~\text{dm}$ oder auch $59~\text{cm}$. Morten will diese Längen addieren. Dazu muss er sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

    Um sich einen Überblick zu verschaffen, trägt Morten die Längenangaben in die Einheitentafel ein. Bei jeder Angabe orientiert er sich an der Einerstelle. Diese trägt er in die Spalte der jeweiligen Einheit ein.

    Bei $45~\text{mm}$ ist die relevante Stelle die $5$, diese trägt er in die $\text{mm}$-Spalte ein. Bei $0,59~\text{m}$ orientiert Morten sich an der $0$ und trägt sie in die $\text{m}$-Spalte ein.

    Nun kann er die Längenangaben in $\text{cm}$ umrechnen und addieren. Er rechnet:

    $4,5~\text{cm} + 59~\text{cm} = 63,5~\text{cm}$.

  • Gib an, wie man die Längeneinheiten umrechnet.

    Tipps

    In der Einheitentafel steht die $2$ von $2,34~\text{km}$ in der $\text{km}$-Spalte.

    Die Hälfte von $2,34~\text{km}$ sind $1,17~\text{km}$.

    Um Längenangaben in verschiedenen Einheiten zu addieren oder zu subtrahieren, musst du sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

    Lösung

    Folgende Sätze hat sich Morten richtig gemerkt:

    • „$59~\text{cm}$ ist dasselbe wie $0,59~\text{m}$.“
    • „Beim Aufteilen einer Länge bleibt die Einheit erhalten, nur die Zahl wird geteilt.“
    • „Das Fünffache von $3,6~\text{km}$ sind $18~\text{km}$.“
    • „Zieht man von $1,925017~\text{km}$ noch $6.894~\text{mm}$ ab, so bleiben noch $1.918,123~\text{m}$ übrig.“
    Bei diesen Merksätzen liegt Morten falsch:

    • „Zum Eintragen von Längenangaben in die Einheitentafel orientiert man sich an der kleinsten Stelle.“ Tatsächlich orientiert man sich immer an der Einerstelle und trägt diese in die Spalte der jeweiligen Einheit ein.
    • „Das Doppelte von $9~\text{dm}$ sind $18~\text{dm}^2$.“ Die Maßzahl stimmt, aber die Einheit nicht: Korrekt wäre $18~\text{dm}$.
    • „$1,925017~\text{km}$ sind dasselbe wie $1.925,017~\text{dm}$.“ Hier steht das Komma an der falschen Stelle. Ein Blick in die Einheitentafel zeigt: Der $\text{km}$-Angabe entsprechen $1.925,017~\text{m}$ oder $19.250,17~\text{dm}$.
  • Erschließe die Längen und Maßeinheiten.

    Tipps

    Bringe die Längenangaben zuerst auf eine gemeinsame Einheit, bevor du sie miteinander verrechnest.

    $65,4~\text{dm}$ sind $1028~\text{mm}$ weniger als $756,8~\text{cm}$, denn $654~\text{dm} = 65.400~\text{mm}$ und $756,8~\text{cm} = 7568~\text{mm}$.

    Beim Verfielfachen oder Aufteilen einer Länge ändert sich die Maßeinheit nicht.

    Lösung

    Morten hat mit seinen Haaren viel zu rechnen:

    Addition und Subtraktion:

    Die Summe der Längen der beiden ersten Zöpfe beträgt:

    $6,84~\text{dm} + 7,02~\text{dm} = 13,86~\text{dm}$

    Für den zweiten und dritten kommt Morten auf:

    $70,2~\text{cm} + 51,1~\text{cm} =121,3~\text{cm}$.

    Die Längendifferenz zwischen dem ersten und dritten Zopf beträgt:

    $6,84~\text{dm} - 5,11~\text{dm} = 1,73~\text{dm}$.

    Zwischen dem zweiten und dem ersten Zopf liegen:

    $702~\text{mm} - 684~\text{mm} = 18~\text{mm}$

    Der zweite Zopf ist länger als der dritte, und zwar um die folgende Länge:

    $702~\text{mm} - 511~\text{mm} = 191~\text{mm}$

    Um auszurechnen, wieviel der dritte kürzer ist als die beiden ersten zusammen, subtrahieren wir:

    $13,86~\text{dm} - 5,11~\text{dm} = 8,75~\text{dm}$

    Division:

    Morten teilt die aktuelle Länge von $12,6~\text{dm}$ in sechs gleiche Teile :

    $12,6~\text{cm} : 6 = 2,1~\text{dm} = 21~\text{cm}$.

    Jeden dieser Abschnitte teilt er noch einmal in drei gleich lange Teile:

    $21~\text{cm} : 3 = 7~\text{cm} = 70~\text{mm}$

    Multiplikation:

    In drei Wochen verkauft Morten das Dreifache der Pferdeschwanzlänge einer Woche:

    $3 \cdot 11,7~\text{dm} = 3 \cdot 117~\text{cm} =351~\text{cm}$

    Innerhalb eines Quartals verkauft er viermal so viel wie in drei Wochen oder zwölfmal so viel wie in einer Woche:

    $4 \cdot 351~\text{cm} = 12 \cdot 117~\text{cm} = 1.404~\text{cm} = 14,04~\text{m}$

  • Vergleiche die Längen.

    Tipps

    Trage die Zahlen in eine Einheitentafel ein und führe dann die Additionen und Subtraktionen durch.

    $87,654~\text{dm} - 123,4~\text{cm}$ ist dasselbe wie:

    $876,54~\text{cm} - 123,4~\text{cm} = 751,4\text{cm} = 7,514~\text{m}$

    Lösung

    Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Additionen und Subtraktionen mittels einer Einheitentafel durchführen. Du kommst dann auf folgende Zuordnung:

    $\begin{align} 123,45~\text{cm} &= 1200~\text{mm} + 0,345\text{dm} \\ &= 1,034~\text{m} + 2,005~\text{dm} \\ &= 1,89~\text{m} - 655,5~\text{mm} \end{align}$

    $\,$

    $\begin{align} 1.234,5~\text{cm} &= 189,45~\text{dm} - 6,6~\text{m} \\ &= 21,354~\text{m} - 900,9~\text{cm} \\ &= 103,4~\text{dm} + 2.005~\text{mm} \end{align}$

    $\,$

    $\begin{align} 56,789~\text{dm} &= 9,9999~\text{m} - 4321~\text{mm} \\ &= 5,0709~\text{m} + 608~\text{mm} \\ &= 6809~\text{mm} - 113,01~\text{cm} \end{align}$

    $\,$

    $\begin{align} 0,56789~\text{km} &= 628,69~\text{m} - 608~\text{dm} \\ &= 99.999~\text{cm} - 4321~\text{dm}\\ &= 68.090~\text{cm} - 1.130,1~\text{dm} \end{align}$

  • Berechne die Längen.

    Tipps

    Das $\text{k}$ in $\text{km}$ steht für Tausend.

    Ein Zentimeter ist der Hundertste Teil eines Meters.

    $10~\text{cm}$ sind dasselbe wie $1~\text{dm}$.

    Lösung

    Zum Umrechnen der Einheiten ist die Einheitentafel nützlich. Indem du die angegebenen Größen dort einträgst, kannst du die Umrechnung direkt ablesen. Beim Eintragen musst du dich immer an der Einerstelle orientieren: Sie gehört in die Spalte der angegebenen Einheit.

    Du erhältst dann folgende Zuordnung:

    • $10~\text{mm} = 1~\text{cm}$
    • $10~\text{dm} = 1~\text{m}$
    • $10~\text{km} = 10.000~\text{m}$
    • $100~\text{mm} = 1~\text{dm}$
    • $100~\text{dm} = 1.000~\text{cm}$
  • Analysiere die Längenangaben.

    Tipps

    Rechne die verschiedenen Größen genau nach und vergleiche sie. Dazu musst Du die Längenangaben in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

    Lösung

    Diese Beschreibungen sind richtig:

    • Claudia hat je sieben Hin- und Rückfahrten zum See, das macht $14 \cdot 0,328~\text{km} = 4,592~\text{km}$. Hinzu kommen je drei Hin- und Rückfahrten zu ihren Großeltern, also $6 \cdot 0,5812~\text{km} = 3,4872~\text{km}$. Zusammen mit der Rundfahrt kommt sie auf $4,592~\text{km} + 3,4872~\text{km} + 12,06~\text{km} = 20,1392~\text{km}$.
    • Erkan, Samuel und Dimitri addieren ihre Körpergrößen. Als Vergleichsgröße dient Samuel: Das Dreifache von Samuels $133~\text{cm}$ sind $399\text{cm}$. Hinzukommen die $78~\text{mm} = 7,8~\text{cm}$, die Dimitri größer ist als Samuel, abzüglich der $7~\text{cm}$, die Erkan kleiner ist als Samuel. Das macht dann $399~\text{cm} + 7,8~\text{cm} - 7~\text{cm} = 399,8~\text{cm}$, also fast $4~\text{m}$.
    Die nachfolgenden Beschreibungen sind falsch:

    • Paula misst für den Schulweg $740 \cdot 67~\text{cm} = 49.580~\text{cm} = 495,8~\text{m}$. Fred braucht für dieselbe Strecke $49580~\text{cm} : 74~\text{cm} = 670$ Schritte.
    • Die Länge eines Spinnenbeins beträgt $110,4~\text{mm}:8 = 13,8~\text{mm}$. Die Gesamtlänge $11,4~\text{cm}$ der jeweils sechs Beine von zwei Ameisen muss Rahel durch $2 \cdot 6 = 12$ teilen, um die Länge eines Ameisenbeines zu bestimmen: $11,4~\text{cm} : 12 = 9,5~\text{mm}$. Damit sind die Ameisenbeine deutlich kürzer als die Spinnenbeine.
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