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Rationale Zahlen – Multiplikation und Division 11:21 min

Textversion des Videos

Transkript Rationale Zahlen – Multiplikation und Division

Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. In diesem Video geht es wieder um rationale Zahlen. Heute erkläre ich dir das richtige Vervielfachen und Teilen und du lernst die Regeln für die Multiplikation und Division rationaler Zahlen. Du solltest die Rechenregeln für die Multiplikation und Division natürlicher Zahlen kennen. So ist die Multiplikation eine andere Schreibweise für das Addieren gleicher Summanden. Die Multiplikation mit Null ergibt immer Null. Und die Division durch Null ist nicht definiert. So etwas darf man niemals rechnen. Auch heute begleiten uns Friedrich und Lisa. Sie erklären uns zunächst das Problem mit der Multiplikation. Hier siehst du Lisa und sie borgt sich bei Friedrich fünf Euro. Lisa möchte sich viele Wünsche erfüllen, hat aber leider zu wenig Taschengeld. Deshalb borgt sie sich noch einmal fünf Euro bei Friedrich. Und ein bisschen später noch einmal fünf Euro. Lisa hat nun bei Friedrich drei mal fünf Euro Schulden. Du weißt bereits, dass in der Mathematik Schulden mit negativen, rationalen Zahlen beschrieben werden. Lisas Schulden bei Friedrich werden also mit der Zahl minus fünf ausgedrückt. 3•(-5) ist also drei mal hintereinander minus fünf addiert. Das ergibt -15. Lisa hat 15 Euro Schulden bei Friedrich. Schauen wir uns die Multiplikation rationaler Zahlen nun einmal mit zwei verschiedenen Multiplikationsreihen an. Du siehst hier die beiden Aufgaben 3•4=12 und 3•(-4)=-12. Diese beiden Aufgaben kann man durch die Addition gleicher Summanden erklären. 3•4 ist dasselbe wie 4+4+4. Und 3•(-4) ist dasselbe wie (-4)+(-4)+(-4). Nun verringern wir in jeder Multiplikationsreihe den ersten Faktor um den Betrag eins. In unserer ersten Reihe verringert sich dadurch das Ergebnis jeweils um vier. In unserer zweiten Reihe multiplizieren wir mit minus vier. Auch hier ändert sich das Ergebnis. Allerdings wird es hier jeweils um den Betrag vier größer. Die Multiplikation mit Null ergibt in beiden Reihen wieder Null. Wir verringern weiter den ersten Faktor und haben jetzt die Aufgabe (-1)•4. Wenn du dir die Ergebnisse weiter oben anschaust, dann siehst du die logische Reihenfolge. In jedem Rechenschritt gehen wir um vier rückwärts. Das müssen wir bei (-1)•4 natürlich auch tun und kommen zum Ergebnis -4. (-2)•4 ergibt dann logischerweise -8. Das Ergebnis -8 haben wir in der anderen Multiplikationsreihe doch auch schon mal. Sieh dir die beiden Aufgaben an. Was fällt dir auf? Richtig. In der einen Reihe ist der erste Faktor die negative Zahl. In der anderen Reihe ist der zweite Faktor die negative Zahl. Das Ergebnis ist jedoch gleich. Unsere Multiplikationsreihe mit der vier können wir nun immer weiter so fortsetzen. Sehen wir uns an, was in der Multiplikationsreihe mit minus vier passiert. Auch hier haben wir den ersten Faktor jeweils um den Betrag eins verringert und sind nun bei (-1)•(-4) angekommen. Die Ergebnisse dieser Reihe werden jeweils um den Betrag vier größer. Von minus zwölf über minus acht und minus vier sind wir bis zur Null gekommen. Wenn sich die Ergebnisse weiter so erhöhen, dann müsste jetzt als Ergebnis vier kommen. Als nächste Aufgabe in dieser Reihe folgt (-2)•(-4) und hier müsste als Ergebnis logischerweise acht herauskommen. Auch dieses Ergebnis haben wir schon einmal in unserer anderen Multiplikationsreihe. Allerdings ist es hier das Ergebnis von zwei völlig anderen Zahlen. Wir haben einmal die Multiplikation (-2)•(-4) und in der anderen Reihe die positiven Zahlen 2•4. Wenn du dir unsere beiden Multiplikationsreihen genau ansiehst, dann wirst du feststellen, immer wenn die beiden Faktoren gleiche Vorzeichen haben, also zwei positive oder zwei negative Zahlen multipliziert werden, dann sind die Ergebnisse positiv. Anders, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Hier sind die Ergebnisse immer negativ. Du kannst dir also merken: Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multipliziert, so ist das Ergebnis immer positiv. Egal, ob du zwei positive Zahlen miteinander multiplizierst, wie 4•9 oder 2•8, oder ob du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst, wie (-7)•(-2) oder (-20)•(-6), das Ergebnis ist in jedem Fall positiv. Werden rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multipliziert, so ist das Ergebnis immer negativ. Dabei ist es egal, ob der erste oder zweite Faktor eine negative rationale Zahl ist. Das Ergebnis ist auf jeden Fall negativ. Kommen wir zu Lisa und Friedrich zurück. Friedrich möchte irgendwann natürlich seine 15 Euro von Lisa wieder haben. Da Lisa aber immer ein bisschen knapp bei Kasse ist, einigt sie sich mit Friedrich darauf, ihm das Geld in drei Raten zurückzuzahlen. Mathematisch bedeutet das, wir müssen die rationale Zahl -15 durch drei teilen. Die 15 Euro Schulden gehen also in drei Raten zu jeweils fünf Euro an Friedrich zurück. Rechnerisch heißt das: (-15)/3=-5. Die minus fünf beschreibt die jeweils fünf Euro Schulden. Vom Rechnen mit natürlichen Zahlen weißt du, die Division ist die zur Multiplikation entgegengesetzte Rechenoperation. (-15)/3=-5, weil (-5)•3=-15 ist. Das wissen wir ja von unseren Regeln der Multiplikation. Doch wie sieht es aus, wenn ich zwei negative Zahlen dividieren möchte, wie zum Beispiel (-35)/(-7)? Was kommt da wohl heraus? Ich muss eine Zahl suchen, die mit minus sieben multipliziert als Ergebnis -35 hat. Du weißt, dass bei der Multiplikation rationaler Zahlen ein negatives Ergebnis immer herauskommt, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Der eine Faktor ist unsere Zahl minus sieben. Der andere Faktor muss also positiv sein und deshalb kann es nur die fünf sein, denn 5•7=35. Und 5•(-7) demzufolge -35. Das Ergebnis unserer Divisionsaufgabe mit zwei negativen Zahlen ist also eine positive Zahl. -35/(-7)=5, denn 5•(-7)=-35. Auch für die Division rationaler Zahlen können wir uns also eine Regel notieren: Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen dividiert, so ist das Ergebnis immer positiv. Werden rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen dividiert, so ist das Ergebnis immer negativ. Dabei ist es ganz egal, ob der Dividend oder der Divisor die negative Zahl ist. Doch Achtung: Die Division durch Null ist auch bei rationalen Zahlen nicht definiert. Zum Schluss wie immer eine kurze Zusammenfassung: Du hast heute gelernt, dass man rationale Zahlen vervielfachen und teilen kann. Für die Multiplikation und Division gilt: Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv. Bei verschiedenen Vorzeichen ist das Ergebnis immer negativ. Die Multiplikation mit Null ergibt auch bei rationalen Zahlen immer Null. Vorsicht bei der Division durch Null. Die Division durch Null ist nicht definiert. So etwas darf man niemals rechnen. Na, alles verstanden? Dann tschüss, bis zum nächsten Mal!

64 Kommentare
  1. Machst das toll aber es dauert lange das erklären . 👌

    Von Leo L., vor 4 Monaten
  2. Die Erklärung ist okay gewesen

    Von Sarahherborth, vor 5 Monaten
  3. gut erklert

    Von Barth Man, vor 6 Monaten
  4. Die Übungen waren net ganz hilfreich

    Von Patrick 26, vor 6 Monaten
  5. Gut , die selben Sachen wurden aber manchmal ganz oft erklärt

    Von V Rignall, vor 10 Monaten
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Rationale Zahlen – Multiplikation und Division Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Multiplikation und Division kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, welches Vorzeichen das Ergebnis bei der Multiplikation oder Division von rationalen Zahlen hat.

    Tipps

    Weißt du, was das Vorzeichen einer Zahl ist?

    • Das Vorzeichen von $3$ ist $+$. Dieses Vorzeichen wird üblicherweise nicht aufgeschrieben.
    • Das Vorzeichen von $-5$ ist $-$.
    • Die Zahl $0$ stellt eine Ausnahme dar und hat kein Vorzeichen.

    Schau dir die folgenden Beispiele an:

    • $8\cdot 4=32$
    • $-8\cdot 4=-32$

    Hier siehst du ein Beispiel für die Multiplikation von zwei negativen Zahlen:

    $(-3)\cdot (-2)=6$

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Multiplikation und Division von rationalen Zahlen.

    Wenn du zwei Zahlen multiplizierst oder dividierst, kannst du wie folgt vorgehen:

    • Multipliziere oder dividiere die Beträge der Zahlen. Hinweis: Der Betrag einer Zahl ist immer positiv. Beispielsweise ist der Betrag von $-3$ ebenso wie der Betrag von $3$ gleich $3$.
    • Das Vorzeichen des Ergebnisses ist $+$, wenn beide Zahlen positiv oder negativ sind.
    • Das Vorzeichen des Ergebnisses ist $-$, wenn beide Zahlen verschiedene Vorzeichen haben.
    Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multipliziert oder dividiert, so ist das Ergebnis immer positiv.

    Werden rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multipliziert oder dividiert, so ist das Ergebnis immer negativ.

  • Berechne das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Werden rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multipliziert oder dividiert, so ist das Ergebnis immer positiv.

    Werden rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multipliziert oder dividiert, so ist das Ergebnis immer negativ.

    Schau dir zu jedem der Fälle ein Beispiel an:

    • $16\cdot 4=64$
    • $(-16)\cdot 4=-64$
    • $16\cdot (-4)=-64$
    • $(-16)\cdot (-4)=64$
    • $16: 4=4$
    • $(-16): 4=-4$
    • $16: (-4)=-4$
    • $(-16): (-4)=4$
    Lösung

    Wenn du rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multiplizierst oder dividierst, ist das Ergebnis immer positiv. Hier siehst du die Lösungen aus der Aufgabe:

    1. Aufgabe: $(-2)\cdot (-4)$

    Beide Zahlen haben das Vorzeichen $-$, also ist $(-2)\cdot (-4)=8$.

    2. Aufgabe: $(-35):(-7)$

    Wenn du Schwierigkeiten mit dieser Division hast, rechne $35:7=5$. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist positiv, also ist $(-35):(-7)=5$.

    Wenn du rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multiplizierst oder dividierst, ist das Ergebnis immer negativ. Hier siehst du die entsprechenden Lösungen aus der Aufgabe:

    3. Aufgabe: $(-2)\cdot 4=-8$

    4. Aufgabe: $(-15):3=-5$

  • Entscheide, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.

    Tipps

    Beachte: Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multiplizierst, ist das Ergebnis $0$.

    Haben beide Zahlen, die du multiplizierst (oder dividierst), das gleiche Vorzeichen, so ist das Vorzeichen des Ergebnisses positiv. Ansonsten ist es negativ.

    Schau dir ein paar Beispiele mit mindestens einer negativen Zahl an:

    • $(-3)\cdot 4=-12$
    • $6:(-4)=-1,5$
    • $(-1,2)\cdot (-5)=6$
    Lösung

    In dieser Aufgabe übst du den Zusammenhang zwischen den Vorzeichen der Zahlen in der Aufgabe und dem Vorzeichen der Lösung.

    Lass uns mit den positiven Ergebnissen beginnen:

    Man erhält ein positives Ergebnis...

    • ...bei der Multiplikation zweier positiver Zahlen
    • ...bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen wie beispielsweise $(-3)\cdot (-6)=18$.
    • ...bei der Division zweier positiver Zahlen wie beispielsweise $12:1,2=10$.
    • ...bei der Division zweier negativer Zahlen.
    Kommen wir nun zu den negativen Ergebnissen. Ein solches erhältst du...

    • ...bei der Multiplikation zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen.
    • ...bei der Division zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen wie zum Beispiel $(-3):6=-0,5$ oder $3,5: (-5)=-0,7$.
    Hier kannst du erkennen, dass es egal ist, ob der Dividend oder der Divisor die negative Zahl ist.

    Wenn du eine Zahl mit $0$ multiplizierst oder $0$ durch eine Zahl dividierst, die nicht $0$ ist, erhältst du als Ergebnis immer die $0$. Das bedeutet, dass alle übrigen Aufgaben zu dem Ergebnis $0$ führen. Die $0$ ist weder positiv noch negativ.

    Beachte, dass die Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

  • Ermittle das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Beachte, dass jede negative Zahl kleiner ist als jede positive Zahl.

    Beispielsweise gilt $-4<2$.

    • Wenn beide Zahlen, die du multiplizierst oder dividierst, positiv oder negativ sind, ist auch das Ergebnis positiv.
    • Wenn die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben, ist das Ergebnis negativ.

    Möchtest du zwei negative Zahlen vergleichen, so ist die negative Zahl mit dem größeren Betrag kleiner.

    Es gilt zum Beispiel: $-10<-5$

    Lösung

    In dieser Aufgabe übst du das Rechnen mit rationalen Zahlen.

    Die folgenden Ergebnisse sind negativ:

    • Paul: $(-40):2=-20$
    • Lisa: $3\cdot (-6)=-18$
    • Luke: $(-9):3=-3$
    Die nun folgenden Ergebnisse sind positiv:

    • Camilla: $(-10):(-5)=2$
    • Jan: $2\cdot 3=6$
    • Leon: $(-24):(-3)=8$
    Das bedeutet, dass Camilla, Jan und Leon bei dem Matheclub mitmachen dürfen.

    Zum Glück bekommt Annas Mutter das Spiel mit und erlaubt den Kindern, das Wohnzimmer zu nutzen. So haben alle die Möglichkeit, am Club teilzunehmen.

  • Ergänze die Erklärung, wie $(-35):(-7)$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Umkehraufgabe einer Strichrechnung ist ebenfalls eine Strichrechnung.

    Das gleiche gilt für Punktrechnungen.

    Es gilt $15:3=5$, denn umgekehrt ist $5\cdot 3=15$.

    Es ist $35:7=5$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du zwei negative Zahlen dividieren: $(-35):(-7)$.

    Weißt du noch, dass $-$ mal $-$ gleich $+$ ist? Das gilt nicht nur für die Multiplikation, sondern auch für die Division. Du kannst dir auch merken, dass die Punktrechnung (Multiplikation oder Division) zweier negativer Zahlen immer zu einem positiven Ergebnis führt. Dann kannst du die entsprechende Rechnung auch mit den Beträgen durchführen.

    Die Division ist die zur Multiplikation entgegengesetzte Rechenoperation.

    Wenn wir also $(-35):(-7)$ berechnen wollen, dann suchen wir als Ergebnis die Zahl, die mit $-7$ multipliziert das Ergebnis $-35$ hat.

    • Ein negatives Ergebnis kann bei der Multiplikation nur herauskommen, wenn die Faktoren verschiedene Vorzeichen haben.
    • Da $-7$ bereits negativ ist, muss der andere Faktor positiv sein.
    • Das bedeutet, dass der andere Faktor $5$ ist.
    Nun erhalten wir insgesamt $(-7)\cdot 5=-35$. Umgekehrt ist also $(-35):(-7)=5$.

  • Berechne das Ergebnis der Multiplikations- und Divisionsaufgaben.

    Tipps

    Wenn zwei Zahlen miteinander multipliziert oder dividiert werden und verschiedene Vorzeichen haben, so ist das Ergebnis negativ.

    Du kannst jeweils mit den Beträgen der Zahlen rechnen und, falls nötig, das Vorzeichen ergänzen.

    Hinweis: Der Betrag einer Zahl ist einfach die Zahl selbst und immer positiv.

    Beispiel

    Der Betrag von $-5$ und der Betrag von $5$ ist $5$.

    Schau dir für die Rechnung mit Beträgen ein Beispiel an: $(-12,4):(-4)$

    • Rechne $12,4:4=3,1$, da umgekehrt $3,1\cdot 4=12,4$ ist.
    • Da sowohl Dividend als auch Divisor negativ sind, also das gleiche Vorzeichen haben, ist das Ergebnis positiv.
    Damit ist $(-12,4):(-4)=3,1$

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du die Multiplikationen und Divisionen mit rationalen Zahlen selbstständig berechnen.

    Hinweis: Der Betrag einer Zahl ist die Zahl selbst und immer positiv. Beispielsweise ist der Betrag von $-10$ und $10$ ebenfalls $10$.

    Du kannst bei jedem der Beispiele jeweils mit den Beträgen der Zahlen rechnen und am Ende, sofern dies nötig ist, das Vorzeichen ergänzen.

    1. Die Aufgabe lautet $1,2\cdot 6$. Das Ergebnis ist positiv. Du erhältst $7,2$.
    2. Die Rechnung lautet $(-2)\cdot 4,2$. Das Ergebnis ist negativ, da die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. Rechne $2\cdot 4,2=8,4$ und schreibe vor dieses Ergebnis das Vorzeichen $-$. Du erhältst $-8,4$.
    3. Die Aufgabe lautet $1,5\cdot (-6)$. Auch hier ist das Ergebnis negativ. Es ist $1,5\cdot 6=9$ und damit ist das gesuchte Ergebnis $-9$.
    4. Rechne $7,2:(-3)$. Wieder erhältst du ein negatives Ergebnis. Rechne $7,2:3=2,4$. Damit ist das Ergebnis $-2,4$.
    5. Berechne $(-18,5):(-5)$. Hier erhältst du ein positives Ergebnis. Wir rechnen $18,5:5=3,7$.