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Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

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Die Autor*innen
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Martina Weil
Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

Hallo. Wir beschäftigen uns heute mit der natürlichen e- Funktion. Zunächst erkläre ich Dir, was es in der Mathematik mit dem mystischen Buchstaben e auf sich hat. Hierfür solltest du gewisse Grundkenntnisse der Grenzwertberechnung besitzen. Weiterhin wird die Funktion f(x)=ex mit dem dazugehörigen Funktionsgraphen vorgestellt sowie Ableitungen und eine Stammfunktion gebildet. Ich zeige Dir auch, welche berühmten Mathematiker sich mit der Zahl e beschäftigt haben. Viel Spaß!

Transkript Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

Hallo und herzlich willkommen bei sofatutor. Ich bin Martina und wir beschäftigen uns heute mit der natürliche e-Funktion f(x) ist gleich e hoch x. Dabei erkläre ich dir, was es in der Mathematik mit dem mystischen Buchstaben e auf sich hat. Wir werden den Funktionsgraphen der e-Funktion zeichnen und im nächsten Schritt anhand der Wertetabelle ihr Verhalten für x gegen plus/minus unendlich untersuchen. Auch die Ableitungen und die Stammfunktion dürfen wir an dieser Stelle nicht vergessen. Was ist e in der Mathematik? Stell dir vor, du willst einen Euro für zehn Jahre an einer Bank anlegen. Du kannst dich nicht entscheiden, welche Bank es werden soll, da alle mit verschiedenen Verzinsungen locken. So gibt es die jährliche Verzinsung, die halbjährliche und vierteljährliche Verzinsung. Wo rentiert es sich, das Geld anzulegen? Unser angelegtes Kapital K soll sich nach zehn Jahren verdoppeln. Damit erhöht sich unser Kapital um hundert Prozent durch zehn gleich zehn Prozent im Jahr. Wir nehmen an, dass die Kapitalerhöhung von zehn Prozent als Jahreszins unserem Kapital K hinzugefügt wird. Somit erhalten wir die Rechnung K von zehn Zeiträumen gleich K mal Klammer auf eins plus ein Zehntel Klammer zu hoch zehn, sprich 2,5937 mal K. Unser ein Euro wird nun mit 2,5937 multipliziert und wir erhalten nach zehn Jahren 2,5937 Euro. Was ist mit den anderen Banken? Legen wir uns einfach eine Tabelle an. Mit Zuschlag wird der Verzinsungszeitraum bezeichnet. Wir haben jährlich, halbjährlich, vierteljährlich und ach, machen wir uns noch einen Spaß daraus, und fügen eine monatliche, tägliche, stündliche und eine Verzinsung pro Sekunde an. In der zweiten Zeile werden die zehn Jahre in m gleiche Zeiträume unterteilt. Zu guter Letzt, unser Kapital K, unser ein Euro, nach der Verzinsung. Wie du sehen kannst, ist das Kapital bei einer stündlichen Verzinsung höher, als bei seinen Vorgängern. Doch was ist mit der Verzinsung pro Sekunde? Richtig: Sie ist, wenn wir auf vier Stellen nach dem Komma aufrunden, gleichbleibend. Je höher du das m wählst, desto mehr nähern wir uns der berühmten Zahl. Der Grenzwert, Limes von m gegen Unendlich, von eins plus eins durch m hoch m existiert und ist eine irrationale Zahl. Die Zahl heißt Eulersche Zahl und wird mit e bezeichnet. E entspricht also der Zahl 2,7183. Die ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli gefunden. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler fand die ersten 200 Nachkommastellen und die Zahl wurde als Eulersche Zahl bekannt. Im Jahr 2010 errechnete der Mathematiker Shigeru Kondo die eine billionste Nachkommastelle. E ist, genau wie Pi, eine irrationale Zahl. Betrachten wir nun die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) ist gleich e hoch x. Wir legen uns eine Wertetabelle an und zeichnen dazu ein Koordinatensystem, in der x von minus drei bis drei geht und y von minus eins bis 20. Hier kannst du auch in Fünferschritten zeichnen. Da e, genau wie Pi, eine der wichtigsten Zahlen ist, findest du sie auch auf deinem Taschenrechner. Wir setzen für x die jeweiligen Werte ein, runden auf zwei Stellen nach dem Komma und erhalten an der Stelle x gleich minus drei den Funktionswert 0,05; bei minus zwei: 0,14; bei minus 1: 0,38; bei null: eins. Bei eins erhalten wir unser e, runden aber dennoch auf zwei Stellen nach dem Komma, zu 2,72, auf. An der Stelle zwei erhalten wir den Funktionswert 7,39. Bei drei erhalten wir 20,09. Zeichne nun die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde die Punkte. Wie man am Graph erkennen kann, haben wir es mit einem exponentiellen Wachstum zu tun. Schauen wir uns jetzt das Verhalten der natürlichen e-Funktion im Unendlichen an. Du kannst dir noch eine Wertetabelle anlegen oder die von vorhin ergänzen. Dieses Mal setzten wir für x größere Werte ein. Nehmen wir mal -100.000, -10.000, -1.000, 10, 15, 20 und bestimmen die dazugehörigen Funktionswerte. Je kleiner unsere x-Werte sind, desto dichter kommen sie an die Null. Jedoch wird der Funktionsgraph niemals die x-Achse schneiden. Wir können dennoch sagen, dass der Limes, also der Grenzwert, f(x) für x gegen minus unendlich gleich null ist. Der Limes f(x) für x gegen plus unendlich ist unendlich. Jetzt zaubern wir ein wenig und wollen die Ableitungen sowie auch die Stammfunktion bilden. Die erste Ableitung unserer Funktion besitzt die Funktionsgleichung - tada - f’(x) ist gleich e hoch x. Die zweite Ableitung ist - na, errätst du’s? - genau, e hoch x. Die Funktion ist sich somit immer treu und stellt einen Sonderfall dar. Auf den Beweis wird hier verzichtet. Doch Vorsicht, ändert sich der Exponent, so ist diese Aussage nicht mehr gegeben und du musst die bekannten Ableitungsregeln anwenden. Nehmen wir das Beispiel f(x) ist gleich e hoch 2x. Die Ableitung hierzu lautet f’(x) ist gleich zwei mal e hoch 2x. Bei der Stammfunktion ist es ähnlich. Integrieren wir die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) gleich e hoch x, so lautet unsere Stammfunktion F(x) ist gleich e hoch x plus eine beliebige Konstante, nennen wir sie c. Aber pass auf, bezogen auf unser Beispiel f(x) gleich e hoch 2x lautet hier eine Stammfunktion F(x) gleich einhalb mal e hoch 2x plus c. Halten wir fest, was wir nun alles gelernt haben: Erstens: Du kennst nun die Eulersche Zahl und weißt, dass dies eine irrationale Zahl ist und ungefähr 2,7183 entspricht, zweitens: Die Funktionswerte der natürlichen e-Funktion laufen für x gegen plus unendlich gegen unendlich und für x gegen minus unendlich konvergieren sie gegen null, drittens: Die Exponentialfunktion f(x) gleich e hoch x hat die Ableitungsfunktion f’(x) gleich e hoch x, viertens: Eine Stammfunktion zu f(x) gleich e hoch x lautet F(x) gleich e hoch x + c. Ich hoffe, das Video hat dir gefallen und freue mich, dich das nächste Mal begrüßen zu können. Viel Spaß wünscht dir Martina.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Evarahimi:
    Diese Formel wird aus dem Beispiel abgeleitet. Da sich das Kapital in 10 Jahren verdoppeln soll, erhöht es sich in dieser Zeit um 100%, also jedes Jahr jeweils um 10%. Nun wird dienormale Zinsformel verwendet: (1+10%)=(1+1/10) ist der Wachstumsfaktor, der Exponent ist 10, da es um die Zeitspanne von 10 Jahren geht.
    Wenn man das nun verallgemeinert, ist m die ANzahl der gleichen Zeiträume, also zB m=10, wenn der Zeitraum immer ein Jahr ist, oder m=20, wenn die 10 Jahre in 20 halbe Jahre unterteilt werden.
    So entsteht die allgemeine Formel (1+1/m)^m.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor etwa 3 Jahren
  2. Sehr gut erklärt, mir fehlt jedoch eine zusätzliche Information, wie man
    bei der Berechnung der Zinsen, auf den Term (1+1/m)^m kommt? Könnt ihr mir helfen?

    Von Evarahimi, vor etwa 3 Jahren
  3. Sehr gut und verständlich erklärt

    Von Talina612, vor etwa 4 Jahren
  4. gut erklärt und nett vorgetragen

    Von Suskoenig, vor mehr als 7 Jahren
  5. Zackig erklärt, aber gut verständlich.

    Von Suessmann, vor mehr als 8 Jahren
Mehr Kommentare

Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die Euler'sche Zahl $e$ als Grenzwert bestimmt werden kann.

    Tipps

    $e$ ist der Anfangsbuchstabe des Mathematikers, der die ersten 200 Nachkommastellen berechnet hat.

    Eine irrationale Zahl

    • lässt sich nicht als Bruch darstellen,
    • ist eine Dezimalzahl, die weder endet noch periodisch ist.

    Berechne den angegebenen Grenzwert, indem du immer größer werdende $m$ einsetzt.

    Lösung

    Wenn man sich zum Beispiel die Zinsrechnung mit der Formel

    $K_n=K\cdot\left(1+\frac p{100}\right)^n$

    anschaut, gelangt man zu einer Exponentialfunktion. Das heißt, die Variable steht im Exponenten. Hier ist dies die Anzahl der Jahre $n$.

    Wenn man $1~€$ für 10 Jahre anlegen will, schaut man sich verschiedene Banken an. Das Kapital soll sich nach 10 Jahren verdoppeln, also um $100~\%$ erhöht haben. Die $100~\%$ werden auf 10 Jahre aufgeteilt: $\frac{100~\%}{10}=10~\%$.

    Wenn man sich dies für feinere Unterteilungen anschaut (jährlich, halbjährlich, ...), erhält man als Faktor

    $\left(1+\frac1m\right)^m$.

    Je höher das $m$ gewählt wird, desto näher kommt man der Euler'schen Zahl:

    $\lim\limits_{m\to\infty} \left(1+\frac1m\right)^m=e\approx 2,7183$.

    Die ersten Stellen dieser Zahl wurden von Jacob Bernoulli gefunden.

    Leonhard Euler berechnete die ersten 200 Nachkommastellen. Nach ihm ist die Zahl benannt.

    $e$ ist ebenso wie $\pi$ eine irrationale Zahl.

  • Gib die Ableitungen sowie Stammfunktionen der Funktionen an.

    Tipps

    Ein Mathematiker-Witz:

    Es ist Wochenende und einige Funktionen feiern eine lustige Party. Alle haben Spaß. Nur die Exponentialfunktion $e^x$ sitzt etwas gelangweilt in der Ecke rum. Da kommt eine quadratische Funktion zu ihr und sagt 'Versuche doch mal dich zu integrieren!' 'Bringt ja auch nichts', sagt die Exponentialfunktion.

    Verwende zur Ableitung der Funktion $f(x)=e^{2x}$ die Kettenregel

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Hier ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion und die innere $2x$.

    Verwende zur Integration der Funktion $f(x)=e^{2x}$ die lineare Substitutionsregel der Integration

    $\int(f(ax+b))dx=\frac 1a\cdot F(ax+b)$.

    Lösung

    Das Schöne an der Funktion $f(x)=e^x$ ist, dass sie ihre Ableitung und Stammfunktion immer im Gepäck hat:

    • $f(x)=e^x$
    • $f'(x)=e^x$
    • $f''(x)=e^x$
    • ...
    • $F(x)=e^x+c$.
    Dies gilt jedoch nicht, wenn zum Beispiel der Exponent verändert wird:

    Mit der Kettenregel kann die Funkion $f(x)=e^{2x}$ abgeleitet werden:

    $f'(x)=2e^{2x}$.

    Auch bei der Stammfunktion muss man aufpassen. Es ist

    $F(x)=\frac12 e^{2x}+c$.

    Die Konstante $c$ bei den jeweiligen Stammfunktionen ist die sogenannte Integrationskonstante.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=e^{-x}$ auf ihre Grenzwerte.

    Tipps

    Beachte, dass du die Grenzwerte nicht aus dem Graphen abliest, sondern auf Grund der Grenzwerte weißt, wie der Graph der Funktion für große (gegen $\infty$) oder kleine (gegen $-\infty$) Werte für $x$ verläuft.

    Der Graph von $f(-x)$ entsteht aus dem zu $f(x)$ durch Spiegelung an der y-Achse.

    Es gilt für die natürliche e-Funktion $\large f(x)=e^x$:

    • $\lim\limits_{x\to \infty}e^x=\infty$ sowie
    • $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$.

    Lösung

    Ebenso wie bei den Ableitungen oder auch der Integration hat der Exponent eine Auswirkung auf die Grenzwerte. Man kann nicht immer davon ausgehen, dass für eine Exponentialfunktion für $x\to \infty$ auch die Funktionswerte gegen $\infty$ gehen.

    Es gilt

    • $\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}=0$ sowie
    • $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{-x}=\infty$.
    Dies kann man
    • entweder über Testeinsetzen
    • oder die Tatsache, dass der Graph zu $e^{-x}$ aus dem zu $e^x$ durch Spiegelung an der y-Achse entsteht,
    nachweisen.

  • Leite die Funktion jeweils zweimal ab.

    Tipps

    Verwende

    • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
    • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Mache dir bei beiden Funktionen klar, welche Funktion die innere Funktion und welche die äußere ist.

    Merke dir einige Ableitungen:

    • $(e^{-x})'=-e^{-x}$
    • $(e^{ax})'=ae^{ax}$ für $a\in\mathbb{R}$.

    Lösung

    Exponentialfunktionen mit der Euler'schen Zahl $e$ als Basis werden abgeleitet, indem man

    • zum einen weiß, dass $(e^x)'=e^x$ ist, und
    • zum anderen Ableitungsregeln verwendet.
    Die hier verwendeten Ableitungsregeln sind
    • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
    • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
    Zunächst kann man die Funktion $f(x)=2e^{-x}$ ableiten. Hier ist die äußere Funktion $e^x$ und die innere $-x$. Hinzu kommt der Faktor $2$.

    Somit ergibt sich die erste Ableitung

    $f'(x)=2e^{-x}\cdot (-1)=-2e^{-x}$

    sowie die zweite Ableitung

    $f''(x)=2e^{-x}$.

    Nun kann die Funktion $g(x)=-e^{2x}$ ableitet werden. Hier ist die äußere Funktion $e^x$ und die innere $2x$. Hinzu kommt der Faktor $-1$.

    Somit ergibt sich die erste Ableitung

    $g'(x)=-e^{2x}\cdot 2=-2e^{2x}$

    sowie die zweite Ableitung

    $g''(x)=-4e^{2x}$.

  • Bestimme die Grenzwerte der Funktion $f(x)=e^x$.

    Tipps

    Schau dir den obigen Verlauf der Funktion an.

    Erstelle dir eine Wertetabelle und ermittle die Grenzwerte durch Testeinsetzen.

    $e\approx 2,718$ ist ein irrationale Zahl, die größer ist als $1$. Diese wird potenziert. Was passiert, wenn der Exponent immer größer wird?

    Lösung

    Bei Kurvenuntersuchungen werden oft auch die Grenzwerte betrachtet:

    Wie verhält sich die Funktion an den Grenzen des Definitionsbereiches? Wenn der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, werden die Grenzwerte für $x$ gegen $\pm \infty$ betrachtet.

    Bei der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ gilt:

    $\lim\limits_{x\to \infty} e^x=\infty$

    sowie

    $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$.

  • Ermittle die ersten beiden Ableitungen sowie die Stammfunktion der gegebenen Funktion.

    Tipps

    Merke dir: Sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren bleibt der e-hoch-Term erhalten.

    Verwende

    • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
    • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration

    $\int(f(ax+b))dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Es soll die Funktion $f(x)=3e^{-2x+3}$

    • zum einen zweimal abgeleitet
    • sowie zum anderen integriert werden.
    Zu den Ableitungen:
    • $f'(x)=3e^{-2x+3}\cdot (-2)=-6e^{-2x+3}$
    • $f''(x)=-6e^{-2x+3}\cdot (-2)=12e^{-2x+3}$
    Zu der Stammfunktion:

    $F(x)=3\cdot\frac1{-2}\cdot e^{-2x+3}+c=-\frac32e^{-2x+3}+c=-1,5e^{-2x+3}+c$.

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