Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x Übung

• Beschreibe, wie die Euler'sche Zahl $e$ als Grenzwert bestimmt werden kann.

  Tipps

  $e$ ist der Anfangsbuchstabe des Mathematikers, der die ersten 200 Nachkommastellen berechnet hat.

  Eine irrationale Zahl

  • lässt sich nicht als Bruch darstellen,
  • ist eine Dezimalzahl, die weder endet noch periodisch ist.

  Berechne den angegebenen Grenzwert, indem du immer größer werdende $m$ einsetzt.

  Lösung

  Wenn man sich zum Beispiel die Zinsrechnung mit der Formel

  $K_n=K\cdot\left(1+\frac p{100}\right)^n$

  anschaut, gelangt man zu einer Exponentialfunktion. Das heißt, die Variable steht im Exponenten. Hier ist dies die Anzahl der Jahre $n$.

  Wenn man $1~€$ für 10 Jahre anlegen will, schaut man sich verschiedene Banken an. Das Kapital soll sich nach 10 Jahren verdoppeln, also um $100~\%$ erhöht haben. Die $100~\%$ werden auf 10 Jahre aufgeteilt: $\frac{100~\%}{10}=10~\%$.

  Wenn man sich dies für feinere Unterteilungen anschaut (jährlich, halbjährlich, ...), erhält man als Faktor

  $\left(1+\frac1m\right)^m$.

  Je höher das $m$ gewählt wird, desto näher kommt man der Euler'schen Zahl:

  $\lim\limits_{m\to\infty} \left(1+\frac1m\right)^m=e\approx 2,7183$.

  Die ersten Stellen dieser Zahl wurden von Jacob Bernoulli gefunden.

  Leonhard Euler berechnete die ersten 200 Nachkommastellen. Nach ihm ist die Zahl benannt.

  $e$ ist ebenso wie $\pi$ eine irrationale Zahl.

• Gib die Ableitungen sowie Stammfunktionen der Funktionen an.

  Tipps

  Ein Mathematiker-Witz:

  Es ist Wochenende und einige Funktionen feiern eine lustige Party. Alle haben Spaß. Nur die Exponentialfunktion $e^x$ sitzt etwas gelangweilt in der Ecke rum. Da kommt eine quadratische Funktion zu ihr und sagt 'Versuche doch mal dich zu integrieren!' 'Bringt ja auch nichts', sagt die Exponentialfunktion.

  Verwende zur Ableitung der Funktion $f(x)=e^{2x}$ die Kettenregel

  $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Hier ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion und die innere $2x$.

  Verwende zur Integration der Funktion $f(x)=e^{2x}$ die lineare Substitutionsregel der Integration

  $\int(f(ax+b))dx=\frac 1a\cdot F(ax+b)$.

  Lösung

  Das Schöne an der Funktion $f(x)=e^x$ ist, dass sie ihre Ableitung und Stammfunktion immer im Gepäck hat:

  • $f(x)=e^x$
  • $f'(x)=e^x$
  • $f''(x)=e^x$
  • ...
  • $F(x)=e^x+c$.

  Dies gilt jedoch nicht, wenn zum Beispiel der Exponent verändert wird:

  Mit der Kettenregel kann die Funkion $f(x)=e^{2x}$ abgeleitet werden:

  $f'(x)=2e^{2x}$.

  Auch bei der Stammfunktion muss man aufpassen. Es ist

  $F(x)=\frac12 e^{2x}+c$.

  Die Konstante $c$ bei den jeweiligen Stammfunktionen ist die sogenannte Integrationskonstante.

• Untersuche die Funktion $f(x)=e^{-x}$ auf ihre Grenzwerte.

  Tipps

  Beachte, dass du die Grenzwerte nicht aus dem Graphen abliest, sondern auf Grund der Grenzwerte weißt, wie der Graph der Funktion für große (gegen $\infty$) oder kleine (gegen $-\infty$) Werte für $x$ verläuft.

  Der Graph von $f(-x)$ entsteht aus dem zu $f(x)$ durch Spiegelung an der y-Achse.

  Es gilt für die natürliche e-Funktion $\large f(x)=e^x$:

  • $\lim\limits_{x\to \infty}e^x=\infty$ sowie
  • $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$.

  Lösung

  Ebenso wie bei den Ableitungen oder auch der Integration hat der Exponent eine Auswirkung auf die Grenzwerte. Man kann nicht immer davon ausgehen, dass für eine Exponentialfunktion für $x\to \infty$ auch die Funktionswerte gegen $\infty$ gehen.

  Es gilt

  • $\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}=0$ sowie
  • $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{-x}=\infty$.

  Dies kann man

  • entweder über Testeinsetzen
  • oder die Tatsache, dass der Graph zu $e^{-x}$ aus dem zu $e^x$ durch Spiegelung an der y-Achse entsteht,

  nachweisen.

• Leite die Funktion jeweils zweimal ab.

  Tipps

  Verwende

  • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
  • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Mache dir bei beiden Funktionen klar, welche Funktion die innere Funktion und welche die äußere ist.

  Merke dir einige Ableitungen:

  • $(e^{-x})'=-e^{-x}$
  • $(e^{ax})'=ae^{ax}$ für $a\in\mathbb{R}$.

  Lösung

  Exponentialfunktionen mit der Euler'schen Zahl $e$ als Basis werden abgeleitet, indem man

  • zum einen weiß, dass $(e^x)'=e^x$ ist, und
  • zum anderen Ableitungsregeln verwendet.

  Die hier verwendeten Ableitungsregeln sind

  • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
  • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Zunächst kann man die Funktion $f(x)=2e^{-x}$ ableiten. Hier ist die äußere Funktion $e^x$ und die innere $-x$. Hinzu kommt der Faktor $2$.

  Somit ergibt sich die erste Ableitung

  $f'(x)=2e^{-x}\cdot (-1)=-2e^{-x}$

  sowie die zweite Ableitung

  $f''(x)=2e^{-x}$.

  Nun kann die Funktion $g(x)=-e^{2x}$ ableitet werden. Hier ist die äußere Funktion $e^x$ und die innere $2x$. Hinzu kommt der Faktor $-1$.

  Somit ergibt sich die erste Ableitung

  $g'(x)=-e^{2x}\cdot 2=-2e^{2x}$

  sowie die zweite Ableitung

  $g''(x)=-4e^{2x}$.

• Bestimme die Grenzwerte der Funktion $f(x)=e^x$.

  Tipps

  Schau dir den obigen Verlauf der Funktion an.

  Erstelle dir eine Wertetabelle und ermittle die Grenzwerte durch Testeinsetzen.

  $e\approx 2,718$ ist ein irrationale Zahl, die größer ist als $1$. Diese wird potenziert. Was passiert, wenn der Exponent immer größer wird?

  Lösung

  Bei Kurvenuntersuchungen werden oft auch die Grenzwerte betrachtet:

  Wie verhält sich die Funktion an den Grenzen des Definitionsbereiches? Wenn der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, werden die Grenzwerte für $x$ gegen $\pm \infty$ betrachtet.

  Bei der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ gilt:

  $\lim\limits_{x\to \infty} e^x=\infty$

  sowie

  $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$.

• Ermittle die ersten beiden Ableitungen sowie die Stammfunktion der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Merke dir: Sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren bleibt der e-hoch-Term erhalten.

  Verwende

  • die Faktorregel $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ sowie
  • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration

  $\int(f(ax+b))dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$.

  Achte auf die Vorzeichen.

  Lösung

  Es soll die Funktion $f(x)=3e^{-2x+3}$

  • zum einen zweimal abgeleitet
  • sowie zum anderen integriert werden.

  Zu den Ableitungen:

  • $f'(x)=3e^{-2x+3}\cdot (-2)=-6e^{-2x+3}$
  • $f''(x)=-6e^{-2x+3}\cdot (-2)=12e^{-2x+3}$

  Zu der Stammfunktion:

  $F(x)=3\cdot\frac1{-2}\cdot e^{-2x+3}+c=-\frac32e^{-2x+3}+c=-1,5e^{-2x+3}+c$.