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Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung

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Team Digital
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung

Inhalt

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen lösen

Um die Frage zu klären, was lineare Ungleichungen sind, ist es hilfreich, das Video Eigenschaften von Ungleichungen zu schauen. Dort werden lineare Ungleichungen einfach erklärt.

In diesem Text schauen wir uns an, wie man aus einer Textaufgabe ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen aufstellt. Zudem wird gezeigt, wie die Lösungsmenge grafisch ermittelt werden kann.

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen aufstellen und Lösung berechnen

Wie man ein System linearer Ungleichungen aufstellt, schauen wir uns anhand des folgenden Beispiels an:

Aufgabenstellung für ein System linearer Ungleichungen
Chris möchte ein Regal für seine Sneaker und Basecaps bauen. Dafür hat er $\it{150}$ Nägel und $\it{66}$ Bretter zur Verfügung. Ein Fach für ein Basecap benötigt $\it{5}$ Nägel und $\it{2}$ Bretter. Ein Sneaker-Fach benötigt $\it{5}$ Nägel und $\it{3}$ Bretter. Kann Chris ein Regal für $\it{10}$ Basecaps und $\it{15}$ Paar Sneaker bauen?

Ungleichungen aufstellen
Zunächst müssen wir Variablen festlegen. Als Variable für die Anzahl der Caps können wir $x$ wählen. Für die Anzahl der Sneaker können wir die Variable $y$ wählen.
Nicht alle Bretter und Nägel müssen benutzt werden, weshalb wir keine Gleichungen, sondern Ungleichungen aufstellen. Um eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen zu lösen, müssen wir ein Ungleichungssystem mit zwei Ungleichungen aufstellen.

Die erste Ungleichung beschreibt die Anzahl der Nägel. Chris benötigt $5$ Nägel für ein Basecap-Fach und $5$ Nägel für ein Sneaker-Fach. Insgesamt hat er $150$ Nägel zur Verfügung. Er kann auch weniger Nägel verwenden, aber maximal $150$. Die Gesamtzahl der Nägel muss also kleiner oder gleich $150$ sein. Die Ungleichung lautet demnach:

$\text{I} \quad 5\,x + 5\,y \leq 150$

Die zweite Ungleichung beschreibt die Anzahl der Bretter. Chris benötigt $2$ Bretter für ein Basecap-Fach und $3$ Bretter für ein Sneaker-Fach. Er kann maximal $66$ Bretter verwenden. Die Gesamtzahl der Bretter muss also kleiner oder gleich $66$ sein. Die zweite Ungleichung lautet damit:

$\text{II} \quad 2\,x + 3\,y \leq 66$

Das Ungleichungssystem kann nun geschrieben werden als:

$\begin{array}{rrl} \text{I} & 5\,x + 5\,y & \leq 150 \\ \text{II} & 2\,x + 3\,y & \leq 66 \\ \end{array}$

Lösung berechnen
Nun können wir überprüfen, ob seine Materialien für ein Regal für $10$ Basecaps und $15$ Paar Sneaker reichen. Dafür setzen wir in die Ungleichungen die Zahl $10$ für $x$ und die Zahl $15$ für $y$ ein.

$\begin{array}{rrl} \text{I} & 5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 & \leq 150 \\ \text{II} & 2 \cdot 10 + 3 \cdot 15 & \leq 66 \\ \end{array}$

Zunächst lösen wir auf:

$\begin{array}{rrl} \text{I} & 50 + 75 & \leq 150 \\ \text{II} & 20 + 45 & \leq 66 \\ \end{array}$

Im Anschluss addieren wir:

$\begin{array}{rrl} \text{I} & 125 & \leq 150 \\ \text{II} & 65 & \leq 66 \\ \end{array}$

Die Aussagen beider Ungleichungen sind wahr. Chris hat also genug Material für das Regal. Bei einer Sachaufgabe ist es immer wichtig, einen Antwortsatz zu schreiben.

Antwortsatz
Chris hat genug Materialien, um ein Regal für $\it{10}$ Basecaps und $\it{15}$ Paar Sneaker zu bauen.

Achtung
Wenn wir wissen wollen, ob die Materialien statt für $15$ Paar Sneaker auch für $20$ Paar reichen würden, gehen wir wie folgt vor: Wir setzen statt des obigen Zahlenpaars $\text{P}(10 \vert 15)$ das Zahlenpaar $\text{S}(10 \vert 20)$ ein und erhalten damit:

$\begin{array}{rrl} \text{I} & 150 & \leq 150 \\ \text{II} & 80 & \leq 66 \\ \end{array}$

Da die zweite Aussage falsch ist, ist das Wertepaar $\text{S}(10 \vert 20)$ kein Teil der Lösungsmenge des Ungleichungssystems. Für $20$ Paar Sneaker würden die vorhandenen Nägel und Bretter also nicht reichen.

Lösungen von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen grafisch ermitteln

Um die Ungleichungen grafisch darstellen zu können, müssen wir sie zunächst in ihre Normalform bringen. Dafür muss $y$ allein auf der linken Seite stehen, also isoliert.

$\begin{array}{rrll} \text{I} & 5\,x + 5\,y & \leq 150 & \vert -5\,x \\ \text{I} & 5\,y & \leq - 5\,x + 150 & \vert :5 \\ \text{I} & y & \leq - x + 30 & \\ \end{array}$

Die Variable $y$ steht nun isoliert auf der linken Seite der ersten Ungleichung. Das Gleiche wiederholen wir mit der zweiten Ungleichung.

$\begin{array}{rrll} \text{II} & 2\,x + 3\,y & \leq 66 & \vert -2\,x \\ \text{II} & 3\,y & \leq - 2\,x + 66 & \vert :3 \\ \text{II} & y & \leq - \dfrac{2}{3}\,x + 22 & \\ \end{array}$

Beide Ungleichungen liegen nun in der Normalform vor.

$\begin{array}{rrl} \text{I} & y & \leq - x + 30 \\ \text{II} & y & \leq - \dfrac{2}{3}\,x + 22 \\ \end{array}$

So lassen sie sich einfach ins Koordinatensystem zeichnen. Eine genaue Anleitung dazu findest du im Video Systeme linearer Ungleichungen grafisch lösen.

Der dunkelgrau markierte Bereich zeigt die Überschneidung der Lösungsmengen beider Ungleichungen. Alle Punkte, die von ihm abgedeckt werden, sind Teil der Lösungsmenge des Ungleichungssystems.

lineares Ungleichungen mit zwei Variablen

Betrachten wir die oben bereits untersuchten Wertepaare, sehen wir, dass der Punkt $\text{P}(10 \vert 15)$ Teil der Lösungsmenge ist. Der Punkt $\text{S}(10 \vert 20)$ hingegen ist zwar Teil der Lösungsmenge der ersten Ungleichung, jedoch nicht Teil der Lösungsmenge des gesamten Ungleichungssystems.

Zusammenfassung zu linearen Ungleichungen in Mathe

In diesem Text wird darauf eingegangen, wie man aus einer Sachaufgabe ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen aufstellen kann. Zudem wird gezeigt, wie man dieses grafisch lösen kann. Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite Aufgaben und Übungen zum Thema Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Transkript Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung

Chris ist total stolz auf seine Sammlung von Sneakern und Basecaps. Er möchte ein Regal bauen, um seine Schätze auszustellen. In der Garage findet er 150 Nägel und 66 Holzbretter. Ob Chris wohl genügend Material für den Bau eines Regals für alle seine Lieblinge hat? Das kannst du ganz leicht herausfinden. Du musst nur ein lineares Ungleichungssystem lösen. Chris weiß, dass er für ein Basecap-Fach 5 Nägel und 2 Bretter braucht. Nehmen wir "b" als Variable für die Anzahl der Caps. Für ein Sneaker-Fach braucht er 5 Nägel und 3 Bretter. Sagen wir, "s" steht für die Anzahl der Sneakerpaare. Auch wenn Chris 150 Nägel und 66 Holzbretter hat, muss er sie nicht alle benutzen. Lass und die beiden Ungleichungen aufschreiben. Chris benutzt 5 Nägel für ein Basecap-Fach, 5 Nägel für ein Sneaker-Fach. Die Gesamtzahl der Nägel muss kleiner-gleich 150 sein. Außerdem benutzt er 2 Bretter für jedes Basecap-Fach, 3 Bretter für jedes Sneaker-Fach und er kann 66 Bretter oder weniger benutzen, um das Regal zu bauen. Hat Chris genügend Material für ein Regal mit Platz für 10 Basecaps und 15 Paar Sneaker? Um das herauszufinden, setzen wir für "b" die Zahl 10 und für "s" die Zahl 15 ein. Wir lösen die Klammer auf und addieren dann. Da die Aussagen beider Ungleichungen wahr sind, hat Chris also genug Material für sein Regal. Wenn nur eine Aussage wahr wäre, hätte er von einem Material zu wenig, um das Regal zu bauen. Chris möchte wissen, ob er auch genug Material für 5 weitere Paar Schuhe hat. Anstatt 15 setzten wir die Zahl 20 in unser Ungleichungssystem ein. Er hat also genügend Nägel für sein Regal aber es fehlen ihm einige Bretter, um die zusätzlichen Fächer zu bauen. Wir können die Lösungen für das Ungleichungssystem auch graphisch bestimmen. Zur Vereinfachung tauschen wir die Variablen aus. "x" steht jetzt für die Anzahl der Basecaps und "y" steht für die Anzahl der Sneakerpaare. Jetzt müssen wir die Ungleichungen in die Normalform bringen. Dazu musst du "y" auf der linken Seite des Relationszeichens isolieren. Subtrahiere also den Term mit der Variablen x und dann teile beide Seiten durch den Koeffizienten 5. y ist jetzt auf der linken Seite isoliert. Das Gleiche machen wir bei der anderen Ungleichung und schon stehen beide in der Normalform. Nun lassen sie sich ganz einfach zeichnen. Die erste Ungleichung hat einen y-Achsenabschnitt von 30 und eine Steigung von -1. Alle Punkte auf der Geraden und im gelb markierten Bereich gehören zur Lösungsmenge. Für die zweite Ungleichung ist der y-Achsenabschnitt 22 und die Steigung -2/3. Hier gehören alle Punkte auf der Geraden und im rot markierten Bereich zur Lösungsmenge. Im orangenen Bereich überschneiden sich die Lösungsmengen. Dieser Bereich zeigt die möglichen Lösungen des Ungleichungssystems. Schau dir den Punkt P (10|15) an. Er liegt im orange-markierten Bereich und ist damit eine mögliche Lösung des Systems. Chris hat also genügend Nägel und Bretter, um Fächer für 10 Basecaps und 15 Paar Sneaker zu bauen. Andererseits liegt der Punkt S (10|20) nicht im orange-markierten Bereich. Der Graph zeigt uns, dass Chris zwar genügend Nägel hat, denn der Punkt liegt im gelben Bereich, ihm fehlen aber Bretter, denn der Punkt liegt außerhalb des roten Bereichs, um 10 Fächer für Basecaps und 20 für Sneaker zu bauen. Dies ist also keine Lösung. Chris hat also genügend Material aber leider auch zwei linke Hände. Das Regal sieht irgendwie ein bisschen wackelig aus. Aber ein Basecap wird ja wohl noch gehen ja, ja, nein.

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Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung der Ungleichungen.

    Tipps

    Da du weißt, wie viele Nägel er für jedes Basecap und jedes Paar Sneakers benötigt, ergibt es Sinn, hier die Anzahl an Basecaps $b$ und die Anzahl an Sneakerpaaren $s$ als Variablen zu verwenden.

    Mit den beiden Ungleichungen kannst du für jede mögliche Kombination an Basecaps und Sneakers berechnen, ob genügend Bretter und Nägel zur Verfügung stehen. Dafür setzt du die gegebenen Anzahlen in die Ungleichungen ein.

    Lösung

    Der Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:

    „(...) Die erste Ungleichung soll bestimmen, ob er genug Nägel zur Verfügung hat. Jedes Basecap $b$ und jedes Paar Sneakers $s$ benötigt jeweils $5$ Nägel. Außerdem hat er höchstens $150$ Nägel zur Verfügung. Die Ungleichung lautet also:

    $5s+5b\leq 150$ “.

    • Da du weißt, wie viele Nägel Chris für jedes Basecap und jedes Paar Sneaker benötigt, ergibt es Sinn, hier die Anzahl an Basecaps $b$ und die Anzahl der Sneakerpaare $s$ als Variablen zu verwenden.
    „Mit der zweiten Ungleichung möchte Chris ausrechnen, ob er genug Bretter zur Verfügung hat. Die Ungleichung hierfür lautet:

    $3s+2b\leq 66$. “

    • In der zweiten Ungleichung müssen die gleichen Variablen $b$ und $s$ vorkommen. Nur dann lässt sich das Ungleichungssystem sinnvoll lösen.
    „Chris besitzt genau $10$ Basecaps, also gilt $b=10$. Außerdem hat er $15$ Paar Sneaker, also gilt $s=15$. Das setzt er in die Ungleichungen ein und rechnet aus.“

    • Mit den beiden Ungleichungen kannst du für jede mögliche Kombination aus Basecaps und Sneakers berechnen, ob genügend Bretter und Nägel zur Verfügung stehen. Dafür setzt du die gegebenen Zahlen für $s$ und $b$ in die Ungleichungen ein.
    „(...) Ausgerechnet ergibt sich:

    (...) $125\leq 150 $ und (...) $65\leq66$. Damit sind beide Ungleichungen erfüllt.“

  • Beschrifte den Graphen des Ungleichungssystems.

    Tipps

    Die rote Fläche liegt unter der Geraden $y= -\frac{2}{3}x+22$, aber über $y= -x+30$.

    Der Punkt $S(10|20)$ liegt außerhalb der orangenen Fläche.

    Lösung

    So beschriftest du das Diagramm richtig:

    • Die Gerade, die die $y$-Achse bei $y=30$ schneidet, ist $y= -x+30$.
    • Die Gerade, die die $y$-Achse bei $y=22$ schneidet, ist $y= -\frac{2}{3}x+22$ .
    • Die gelbe Fläche liegt nur unter $y= -x+30$, aber über $y= -\frac{2}{3}x+22$. Sie ist somit ausschließlich Lösungsmenge der Gleichung $y\leq -x+30$.
    • Die rote Fläche liegt nur unter $y= -\frac{2}{3}x+22$, aber über $y= -x+30$ . Sie ist somit ausschließlich Lösungsmenge der Gleichung $y\leq -\frac{2}{3}x+22$.
    • Die orangene Fläche liegt unter beiden Gleichungen. Sie ist somit Lösungsmenge des Ungleichungssystems.
    • Der Punkt $S(10|20)$ liegt außerhalb der orangenen Fläche. Er ist somit keine mögliche Lösung des Ungleichungssystems.
  • Ermittle die ungeformten Ungleichungen.

    Tipps

    Achte darauf, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du die beiden Seiten der Ungleichung vertauschst:

    $3\leq5~\Leftrightarrow~ 5\geq3$.

    Das Ungleichheitszeichen dreht sich auch um, wenn du durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst.

    Um die Gleichungen auf Normalform zu bringen, formst du sie so lange um, bis sie in der Form

    $y\leq mx+c$ oder

    $y\geq mx+c$

    stehen.

    Lösung

    Durch Umformen erhältst du für die erste Ungleichung:

    $\begin{array}{llll} 6x+3y &\leq 2 &\vert -6x\\ 3y &\leq -6x+ 2 &\vert :3 \\ y &\leq -2x +\frac{2}{3} \\ \end{array}$

    Achte bei der zweiten Ungleichung darauf, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du die beiden Seiten der Ungleichung vertauschst:

    $\begin{array}{llll} 10x-5y&\geq 15 &\vert +5y\\ 10x &\geq 5y +15 &\vert -15 \\ 10x-15 &\geq 5y &\vert :5\\ 2x-3 &\geq y\\ y &\leq 2x-3 \end{array}$

    Die beiden anderen Ungleichungen kannst du analog umformen. Dann erhältst du:

    • $-3x-6y\geq9~\Leftrightarrow~ y\leq -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2}$
    • $8x+2y\leq4 ~\Leftrightarrow~ y\leq -4x+2$
  • Untersuche, ob die Ungleichungssysteme erfüllt sind.

    Tipps

    Du kannst durch das Einsetzen der Variablen bestimmen, ob die jeweiligen Ungleichungen erfüllt sind.

    Lösung

    Du kannst durch das Einsetzen der Variablen bestimmen, ob die jeweiligen Ungleichungen erfüllt sind.

    Diese Systeme sind nicht erfüllt:

    • $2b\geq4a-3$ und $3a\leq15b+8$ für $a=2$, $b=2$
    Wenn du die Werte für $a$ und $b$ in die erste Ungleichung einsetzt, ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} 2\cdot 2 &\geq 4 \cdot 2 -3 \\ 4&\geq 5 \\ \end{array}$

    Diese Ungleichung ist nicht erfüllt. Somit ist das Ungleichungssystem für $a=2$ und $b=2$ nicht erfüllt.

    • $5x-3y\geq22$ und $3x+4y\geq30$ für $x=2$, $y=8$
    Auch dieses System ist nicht erfüllt, denn die erste Ungleichung wird mit eingesetzten Variablen zu:

    $-14\geq22$.

    Das ist eindeutig keine wahre Aussage.

    Diese Systeme sind erfüllt:

    • $8x+3y\geq30$ und $3x+5y\leq20$ für $x=3$, $y=2$ ergibt:
    $30\geq30$ und $19\leq20$

    • $-3a-8b\leq-30$ und $2a+5b\geq20$ für $a=4$, $yb=3$ ergibt:
    $-36\leq-30$ und $23\geq 20$.

    Beachte hierbei, dass negative Zahlen immer kleiner werden, je größer ihr Betrag wird. Es ist also von zwei Zahlen immer diejenige kleiner, die weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt. Beispielsweise gilt $-5\leq -3$ oder eben $-36 \leq -30$.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Ungleichungen.

    Tipps

    Du kannst auf zwei verschiedenen Wegen überprüfen, ob ein Wertepaar ein Ungleichungssystem erfüllt.

    Ungleichungen geben Größenverhältnisse an. Geben die Ungleichungen falsche Verhältnisse an, z. B.

    $3\leq1$,

    dann ist die Ungleichung nicht erfüllt. Denn $1$ ist nicht größer als oder gleich $3$!

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    • „Damit ein Ungleichungssystem erfüllt ist, reicht es, wenn eine der Ungleichungen wahr ist.“
    Beide Ungleichungen müssen erfüllt sein; nur dann ist auch das komplette Ungleichungssystem erfüllt.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Du kannst durch Einsetzen überprüfen, ob ein Ungleichungssystem für ein Wertepaar erfüllt ist.“
    • „Du kannst dir durch eine Zeichnung veranschaulichen, ob ein Ungleichungssystem für ein Wertepaar erfüllt ist.“
    Wenn du ein Wertepaar einsetzt, ausrechnest und am Ende zwei wahre Aussagen erhältst, dann ist das Ungleichungssystem erfüllt. Beim Zeichnen kannst du das daran erkennen, ob der Punkt, den das Wertepaar bildet, in der Lösungsmenge liegt.

    • „Eine Ungleichung ist wahr, wenn sie nach dem Vereinfachen und Ausrechnen einen korrekten Zusammenhang wiedergibt. Zum Beispiel: $2\leq 3$. “
    • „Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems ist die Menge, für die beide Ungleichungen erfüllt sind.“
  • Erarbeite die Berechnung von Betragsungleichungen.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl oder eines Terms ist immer positiv. Ist der Term schon positiv, passiert deshalb nichts. Ist er jedoch negativ, wird der Term durch ein zusätzliches Minuszeichen positiv gemacht.

    Lösung

    „(...) Er führt also eine Fallunterscheidung durch. Ist der Term $a\geq0$, kann er den Term ohne Betragsstriche schreiben. Gilt jedoch $a<0$, muss er ein Minuszeichen vor $a$ schreiben.

    • Der Betrag einer Zahl oder eines Terms ist immer positiv. Ist der Term schon positiv, passiert deshalb nichts. Ist er jedoch negativ, wird der Term durch ein zusätzliches Minuszeichen positiv gemacht.
    „(...) Zuerst löst er den Betrag auf der linken Seite der Ungleichung auf. (...) Jetzt bestimmt er, für welche $x$ der Term $x-3$ größer, gleich oder kleiner als $0$ ist.“

    „Im ersten Fall gilt:

    $x-3\geq0$.

    Das formt er um zu:

    $x\geq3$.

    Aus dem zweiten Fall $x-3<0$ ergibt sich:

    $x<3$.“

    • Diese Ergebnisse erhältst du jeweils, indem du auf beiden Seiten $3$ addierst.
    „Das wendet Martin jetzt auf seine Ungleichung an. Im ersten Fall, also für $x\geq3$ gilt:

    $ x-3 \geq 7$, umgeformt $x\geq10$.“

    • Setzt du also eine Zahl $x\geq3$ in die Ungleichung ein, erhältst du die Ungleichung $ x-3 \geq 7$. Diese Ungleichung wird mit Zahlen $x\geq10$ gelöst.
    „Im zweiten Fall $x<3$ erhält er:

    $-(x-3) \geq 7$.“

    • Setzt du also eine Zahl $x<3$ in die Ungleichung ein, erhältst du die Ungleichung $-(x-3) \geq 7$. Diese Ungleichung wird von Zahlen $x\leq-4$ gelöst.
    „Die Ungleichung ist also für Werte von $x\geq10$, sowie für Werte von $x\leq-4$ erfüllt. Nicht erfüllt ist sie im Bereich $-4 < x < 10$.“

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