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Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten

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Mathe-Team
Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten

Lena möchte ihrer Mutter ein Geburtstagsgeschenk kaufen, das mindestens 30 € kosten soll. Dabei kann Lena entweder Rasenmähen oder den Hund ihrer Oma ausführen um das Geld zu verdienen. Du wirst hier lernen, wie man eine lineare Ungleichung mit 2 Unbekannten in einem Koordinatensystem darstellt. Dabei werden auch die Begriffe Randgerade und Halbebene erklärt.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Geht aber gut

    Von Chrasher S., vor mehr als 4 Jahren
  2. Etwas langweilig.

    Von Chrasher S., vor mehr als 4 Jahren
  3. dasvideo ist gucci

    Von Vaubel1976, vor fast 6 Jahren
  4. Megggaaaaaa gut! Ich hab schon tausende Videos angeschaut und bei keinem es so wirklich verstanden. Wieso kommt das Video nicht als erstes raus wenn man nach lineare Ungleichungen sucht?

    Von Melanie O., vor fast 6 Jahren
  5. Sehr gut, erklärt!

    Von Deleted User 247835, vor fast 8 Jahren

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.

    Tipps

    Ungleichungen werden wie Gleichungen durch Äquivalenzumformungen gelöst.

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Bei Ungleichungen ist darauf zu achten, dass
    • beim Multiplizieren mit einer negativen und
    • beim Dividieren durch eine negative Zahl
    das Relationszeichen umgekehrt werden muss.

    Die Lösungsmenge wird in der Form

    $\mathbb{L}=\{x|x>a\}$,

    hier kann auch $<$, $\ge$ oder $\le$ stehen.

    Dies liest sich: „Die Menge aller $x$, da größer sind als $a$.“

    Lösung

    Es soll die Ungleichung $-3x+9>6x-9$ gelöst werden.

    Diese kann mit Äquivalenzumformungen umgeformt werden wie eine Gleichung:

    • Zunächst wird auf beiden Seiten $6x$ subtrahiert. Dies führt zu $-9x+9>-9$.
    • Nun wird auf beiden Seiten $9$ subtrahiert. So gelangt man zu $-9x>-18$.
    • Die Division durch $-9$ führt zu der Lösungsmenge. Da $-9$ negativ ist, dreht das Relationszeichen sich um: $x<2$.
    • Somit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x|x<2\}$ gegeben.

  • Stelle die Ungleichung auf, welche löst, wie Lena mindestens $30~€$ verdienen kann.

    Tipps

    Wenn Lena $x$ mal den Rasen mäht, wie viel bekommt sie dann insgesamt für den Rasenmäher?

    Ungleichungen werden wie Gleichungen durch Äquivalenzumformungen gelöst.

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Lösung

    • Fürs Rasenmähen erhält Lena $4~€$, dies führt zu $4x$, und
    • fürs Hunde-Ausführen $2~€$, dies führt zu $2y$.
    Gesamt verdient sie dann $4x+2y$. Sie möchte mindestens $30~€$ für das Geschenk ihrer Mutter verdienen, also muss das gesamte Geld, welches sie verdient hat, größer oder gleich $30~€$ sein. Dies führt zu der gesuchten Ungleichung:

    $4x+2y\ge30$.

    Diese kann wie eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden:

    $\begin{align*} 4x+2y&\ge30 &|&-4x\\ 2y&\ge -4x+30&|&:2\\ y&\ge -2x+15. \end{align*}$

    Dabei wird wie folgt vorgegangen:

    • Die Gleichung wird so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.
    • Falls mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird, dreht sich das Relationszeichen um.
    Durch die Gleichung $y=-2x+15$ ist die Randgerade dieser Ungleichung gegeben.

    Mittels dieser kann die Lösungsmenge der Ungleichung grafisch dargestellt werden.

  • Leite die Ungleichung her.

    Tipps

    Bei einer Textaufgabe müssen zunächst den unbekannten Größen Variablen zugeordnet werden.

    Was bedeutet es mathematisch, dass ein Junge drei Stück Kuchen und ein Mädchen zwei isst?

    Welches Relationszeichen steht für „weniger“?

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, werden zunächst die Variablen zugeordnet:

    • $x$ sei die Anzahl der Jungen und
    • $y$ die der Mädchen.
    Da jeder Junge drei und jedes Mädchen zwei Stück Kuchen ist, führt dies zu der Summe $3x+2y$. Insgesamt sollen weniger als $40$ Kuchen gegessen werden.

    Dies führt zu der Ungleichung: $3x+2y<40$. Diese Ungleichung wird nun so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht:

    $\begin{align*} 3x+2y&<40 &|&-3x\\ 2y&< -3x+40&|&:2\\ y&< -1,5x+20. \end{align*}$

    Wenn Paul zum Beispiel $10$ Jungen einlädt, so darf er nur weniger als $5$ Mädchen einladen.

    Bei dieser Aufgabe müssten zusätzlich noch die Einschränkungen in Betracht gezogen werden, dass sowohl $x$ als auch $y$ natürliche Zahlen ungleich $0$ sein müssen.

  • Entscheide, wie die Lösungsmenge graphisch aussieht.

    Tipps

    Wie sieht allgemein die Gleichung einer Geraden aus?

    Die Relation in der Ungleichung lautet $<$.

    Du kannst durch Testeinsetzen prüfen, welche Kombinationen in der Lösungsmenge liegen und welche nicht.

    Die Randgerade teilt die Koordinatenebene in zwei Halbebenen. In einer der beiden liegen die Lösungen.

    Lösung

    Die Lösungsmenge der Ungleichung $y<-1,5x+20$ lässt sich graphisch wie folgt darstellen:

    • Die Randgerade, welche durch die Gleichung $y=-1,5x+20$ gegeben ist, wird in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
    • Die Koordinatenebene wird durch die Randgerade in zwei Halbebenen geteilt.
    • In der Halbebenen unterhalb der Randgeraden liegen alle Lösungen der Ungleichung.
    Da zusätzlich sicher keine negative und rationale Anzahl an Jungen oder Mädchen zu Pauls Geburtstag erscheinen können, sind nur die Lösungen, bei welchen sowohl $x$ als auch $y$ natürliche Zahlen ungleich $0$ sind, von Bedeutung.

    Die positive Lösungsmenge ist in dem Bild schraffiert zu erkennen. Die Punkte auf der Randgeraden gehören nicht zu der Lösung.

  • Beschreibe, was Ungleichungen sind.

    Tipps

    Wie löst du die lineare Gleichung $3x=12$?

    Es gilt $12>10$. Was passiert, wenn auf beiden Seiten durch $-2$ dividiert wird?

    Lösung

    Was ist eine Ungleichung?

    • Eine Ungleichung ist ähnlich aufgebaut wie eine Gleichung.
    • In einer Ungleichung befindet sich ein Relationszeichen: $>$, $<$, $\ge$ oder $\le$.
    • Lineare Ungleichungen löst man ebenso wie lineare Gleichungen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass das Multiplizieren mit einer negativen oder das Dividieren durch eine negative Zahl dazu führt, dass das Relationszeichen umgekehrt wird.
    • Wenn die Ungleichung umgeformt wurde, kann die Lösungsmenge angeben.

  • Bestimme die Gleichung der Randgeraden.

    Tipps

    Stelle die Ungleichung zu dieser Aufgabe auf und forme diese so um, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.

    Die Gleichung zu der Randgeraden ergibt sich aus der umgeformten Ungleichung dadurch, dass das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt wird.

    Du kannst einzelne Zahlenpaare einsetzen und prüfen, ob diese die Ungleichung erfüllen.

    Liegen die Lösungen unterhalb oder oberhalb der Randgeraden?

    Lösung

    Das Fünffache einer Zahl $x$, vermindert um das Zehnfache einer anderen Zahl $y$ soll größer sein als $60$, führt zu der Ungleichung $5x-10y>60$. Diese Ungleichung wird so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht:

    $\begin{align*} 5x-10y&>60 &|&-5x\\ -10y&> -5x+60&|&:(-10)\\ y&< 0,5x-6. \end{align*}$

    Die Gleichung der Randgeraden lautet also $y=0,5x-6$ und die Lösungen liegen unterhalb dieser Geraden, weil hier ein $<$ steht. Die Punkte auf der Geraden gehören nicht zur Lösungsmenge.

    Dies ist in dem Bild zu sehen.

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