Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b

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Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b
Ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bekannt, kann der Graph der Funktion auch ohne eine Wertetabelle gezeichnet werden. Wir erhalten einen Punkt des Graphen, indem wir den y-Achsenabschnitt auf der Funktionsgleichung ablesen. Einen weiteren Punkt des Graphen erhalten wir, indem wir die in der Funktionsgleichung angegebene Steigung des Graphen in ein Steigungsdreieck übersetzen. Im Video wird speziell der Fall behandelt, dass die Steigung eine rationale Zahl - also ein Bruch - ist. Aus dem Zähler und dem Nenner dieses Bruchs können wir zwei Seiten des Steigungsdreiecks gewinnen. Und wenn wir dieses Steigungsdreieck groß genug zeichnen, finden wir einen zweiten Punkt des Graphen, der weit genug vom ersten Punkt entfernt ist, sodass wir bequem den Funktionsgraphen zeichnen können.
Transkript Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b
Hi. Wenn wir eine lineare Funktion haben und den Graphen zeichnen wollen, können wir das, ohne eine Wertetabelle anzulegen. Wir brauchen dafür nur die beiden Parameter m und b zu berücksichtigen. Und wenn diese beiden Parameter Brüche sind, gibt es eine kleine Besonderheit. Wir haben die Gleichung y gleich minus zwei Drittel x plus vier Fünftel. Das ist eine Gleichung der Form y gleich m-mal x plus b und daher die Gleichung einer linearen Funktion. Wir wollen den Funktionsgraphen zeichnen, ohne eine Wertetabelle anzulegen. Und das geht so. Wir haben hier den y-Achsenabschnitt. Das ist zwar ein Bruch, aber letztlich ist das eine ganz normale Zahl wie du und ich. Vier Fünftel ist gleich 0,8 und deshalb haben wir hier auf der y-Achse bei 0,8 einen Punkt des Funktionsgraphen. Jetzt brauchen wir ein genügend großes Steigungsdreieck, um einen zweiten Punkt des Graphen zu finden. Da unsere Steigung ein negativer Bruch ist, können wir uns für eine von zwei Versionen entscheiden. Nämlich minus zwei Drittel ist zum einen gleich minus zwei geteilt durch drei und zum anderen gleich zwei geteilt durch minus drei. Nehmen wir zuerst minus zwei durch drei. Minus zwei im Zähler bedeutet, wir gehen von diesem Punkt des Graphen aus zwei Schritte nach unten. Welche Größe die Schritte haben ist egal, solange sie genügend groß sind. Plus drei im Nenner bedeutet, wir gehen von hier aus drei Schritte nach rechts und erreichen dann mit dieser Spitze des Dreiecks einen zweiten Punkt des Graphen. Und dann können wir den hier markieren. Jetzt haben wir zwei Punkte des Graphen und können diesen schon zeichnen, aber wir schauen uns noch die zweite Möglichkeit an. Plus zwei im Zähler bedeutet, wir gehen von hier aus zwei Schritte nach oben. Und weil minus drei im Nenner steht, gehen wir drei Schritte nach links. Mit dieser Spitze des Dreiecks erreichen wir dann einen weiteren Punkt des Graphen und dann können wir den hier einzeichnen. Mit diesen beiden Punkten können wir nun den Graphen zeichnen. Naja, und der zuvor konstruierte Punkt passt auch dazu, dann haben wir also alles richtig gemacht. Und hier ist der Graph. So, dann haben wir gesehen, sind die Parameter m und b Brüche, tragen wir den y-Achsenabschnitt ganz normal ein. Aus dem Steigungsbruch basteln wir ein Steigungsdreieck, das groß genug ist, um den Graphen bequem zu zeichnen. Und damit sind wir fertig. Tschau.
Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b Übung
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Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Funktion.
TippsDie Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und der $y$-Achsenabschnitt der Term, der alleine steht.
Achte sowohl bei der Steigung als auch beim $y$-Achsenabschnitt auf das Vorzeichen.
Häufig rechnest du zu einigen $x$-Werten die zugehörigen Funktionswerte $y$ aus und überträgst diese in ein Koordinatensystem.
So kannst du den Graphen einer Funktion erstellen.
LösungDie allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:
$y=m\cdot x+b$
Dabei steht
- $m$, also der Faktor vor dem $x$, für die Steigung und
- $b$, also der Term, der alleine steht, für den $y$-Achsenabschnitt.
Bei der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=-\frac23x+\frac45$ ist $m=-\frac23$ die Steigung und $b=\frac45$ der $y$-Achsenabschnitt.
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Beschreibe, wie man den Graphen einer linearen Funktion zeichnen kann.
TippsDer Term, der alleine steht, ist der $y$-Achsenabschnitt. Daran kannst du erkennen, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.
Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung. Diese wird mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.
Wenn die Steigung als negativen Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt:
Beispiel: $~m=-\frac 25$
- Man geht $5$ Einheiten nach rechts und $2$ Einheiten nach unten.
- Man geht $5$ Einheiten nach links und $2$ Einheiten nach oben.
LösungWenn man den Graphen einer linearen Funktion $y=m\cdot x+b$, also eine Gerade, zeichnen möchte, geht man wie folgt vor:
Schritt 1
Zunächst trägt man auf der $y$-Achse den $y$-Achsenabschnitt ein, hier $b=\frac45$.
Schritt 2 und 3
Nun zeichnet man ein Steigungsdreieck. Wir betrachten hier $-\frac 23=\frac {-2}{3}$ und müssen daher $3$ Einheiten in positive $x$-Richtung und $2$ Einheiten in negative $y$-Richtung gehen:
- Ausgehend von dem Punkt auf der $y$-Achse geht man parallel zur $x$-Achse drei Einheiten nach rechts.
- Von dort aus geht man parallel zur $y$-Achse zwei Einheiten nach unten.
Schritt 4
- Wenn man den Punkt auf der $y$-Achse mit jenem verbindet, zu dem man durch das Steigungsdreieck gelangt ist, erhält man die gesuchte Gerade.
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Prüfe die folgenden Aussagen.
TippsMache dir jeweils die Aussage an einem Beispiel klar. Wenn du glaubst, dass die Aussage falsch ist, genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden.
Zeichne die beiden Geraden zu $y=2x-4$ und zu $y=2x+1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt dir auf?
Zeichne die beiden Geraden zu $y=2x+1$ und zu $y=x+1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt dir auf?
LösungWelche Bedeutung haben die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt?
- Der $y$-Achsenabschnitt ist die Stelle, an welcher die Gerade die $y$-Achse schneidet.
- Die Steigung $m$ zeigt an, ob die Gerade steigt ($m>0$) oder fällt ($m<0$).
Wenn nur die $y$-Achsenabschnitte, jedoch nicht die Steigungen, übereinstimmen, schneiden sich die beiden Geraden in dem $y$-Achsenschnittpunkt.
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Ordne den jeweiligen Geraden Funktionsgleichungen zu.
TippsErmittle zunächst jeweils den $y$-Achsenabschnitt. Dies ist der Term, der alleine steht.
Ausgehend von dem $y$-Achsenabschnitt kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Dieses verrät dir die Steigung der Geraden. Hierzu teilst du die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.
Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:
- $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungGanz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion wie folgt:
$y=m\cdot x+b$
Dabei ist
- $m$ die Steigung und
- $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Die Steigung kann man mit Hilfe eines weiteren Punktes bestimmen. Dieser Punkt sollte gut abzulesen sein. In jedem dieser Beispiele wären dies die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
Die Geraden von oben nach unten:
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $1$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|1)$ gehen wir $1$ Einheit nach unten und $3$ Einheiten nach rechts. Damit beträgt die Steigung $-\frac 13$. Die Gleichung lautet $y=-\frac 13x+1$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $2$ – der $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|2)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(1|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-2}{1-0}=-2$. Die Gleichung lautet $y=-2x+2$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $1$ und damit ist $S_y(0|1)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(-2|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-1}{-2-0}=\frac12$. Die Gleichung lautet $y=\frac12x+1$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $-2$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|-2)$ gehen wir $2$ Einheiten nach oben und $3$ Einheiten nach rechts. Damit beträgt die Steigung $\frac 23$. Die Gleichung lautet $y=\frac23x-2$.
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Gib an, wie man mit Hilfe des Steigungsdreiecks eine Gerade zeichnen kann.
TippsWenn die Steigung als Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt: $~m=\frac ab$
- Man geht $b>0$ Einheiten nach rechts und
- $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.
- Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
- $a>0$ Einheiten nach oben.
Beachte:
- Ist die Steigung negativ, fällt die Gerade.
- Ist sie positiv, steigt die Gerade.
Es sind zwei Aussagen korrekt.
LösungWenn man den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion auf der $y$-Achse eingetragen hat, kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung einzeichnen.
Wenn ganz allgemein die Steigung als Bruch $m=\frac ab$ gegeben ist, dann
- geht man $b>0$ Einheiten nach rechts und
- $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.
- Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
- $a>0$ Einheiten nach oben.
- Wenn wir die Steigung $m=-\frac23=\frac{2}{-3}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach oben und $3$ Schritte nach links.
- Wenn wir die Steigung $m=-\frac23=\frac{-2}{3}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach unten und $3$ Schritte nach rechts.
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Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktionen.
TippsZeichne zum Beispiel eine Gerade mit einer bekannten Steigung in ein Koordinatensystem ein. Überlege nun, welche Steigung eine zu dieser Geraden parallele bzw. senkrechte Gerade hat.
Den Betrag der Steigung kannst du ausgehend vom Steigungsdreieck wie folgt bestimmen:
$|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}$
Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Verlauf der Geraden. Fällt die Gerade, so ist die Steigung negativ. Eine steigende Gerade besitzt eine positive Steigung.
Eine Gerade hat die Steigung $m$. Jede Gerade, die zu dieser Geraden ...
- ... parallel ist, hat ebenfalls die Steigung $m$.
- ... senkrecht ist, hat die Steigung $-\frac 1m$.
LösungDa sich alle Geraden im Koordinatenursprung treffen, haben sie alle den $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Die Steigungen erhalten wir wie folgt:
Gerade 1
Jede Gerade, die zu einer Geraden der Steigung $m$ parallel ist, hat ebenfalls die Steigung $m$. Damit erhalten wir hier folgende Geradengleichung:
- $y=-2x+0=-2x$
Jede Gerade, die zu einer Geraden der Steigung $m$ senkrecht ist, hat die Steigung $-\frac 1m$. Damit erhalten wir hier folgende Geradengleichung:
- $y=-3x+0=-3x$
Den Betrag der Steigung kannst du ausgehend vom Steigungsdreieck wie folgt bestimmen:
- $|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}$
Wir betrachten hier eine steigende Gerade, deren Steigungsdreieck folgende Eigenschaften hat: Seine horizontale Seite ist ein Viertel so lang wie die vertikale. Es gilt also:
- $|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\frac 14\text{vertikale Seite}}=4$
- $y=4x+0=4x$

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