Lineare Funktionen zeichnen – Parameter m = 0

Lineare Funktionen zeichnen – Parameter m = 0 Übung

• Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Funktion.

  Tipps

  Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und der y-Achsenabschnitt der Term, welcher addiert oder subtrahiert wird.

  Achte sowohl bei der Steigung als auch beim y-Achsenabschnitt auf das Vorzeichen.

  Beachte die folgenden Spezialfälle:

  • $y=x$, hier ist $m=1$ und $b=0$,
  • $y=-x+2$, hier ist $m=-1$ und $b=2$,
  • ...

  Überlege dir, was es bedeutet, wenn kein $x$ in der Gleichung steht.

  Lösung

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei steht

  • $m$, der Faktor vor dem $x$, für die Steigung und
  • $b$, der Term, welcher alleine steht, für den y-Achsenabschnitt.

  Wenn man den Graphen einer linearen Funktion ohne Angabe einer Wertetabelle zeichnen möchte, reichen die Steigung und der y-Achsenabschnitt.

  Bei der Funktion

  $y=-2$

  fehlt $x$, das bedeutet $m=0$ die Steigung und $b=-2$ der y-Achsenabschnitt.

• Beschreibe, wie man den Graphen einer linearen Funktion zeichnen kann.

  Tipps

  Es ist $b=-2$ und $m=0$.

  Die Steigung wird von dem y-Achsenabschnitt ausgehend abgetragen.

  Wenn die Steigung positiv (negativ) ist, is die Gerade steigend (fallend). Welche besondere Lage liegt bei $m=0$ vor?

  Lösung

  Bei der Funktion $y=-2$ ist der y-Achsenabschnitt $b=-2$ und die Steigung $m=0$.

  Zunächst trägt man den y-Achsenabschnitt in ein Koordinatensystem ein.

  Dann geht man von dort aus beliebig weit nach rechts und dann $0$ Einheiten nach oben, da die Steigung $m=0$ ist.

  Das bedeutet, dass die Gerade parallel zur x-Achse verläuft.

• Untersuche die speziellen Geraden.

  Tipps

  Betrachte die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung

  $y=m\cdot x+b$.

  Überlege dir bei jedem der Beispiele, wie $m$ und wie $b$ aussehen.

  Womit muss man $x$ multiplizieren, damit

  • $x$ oder
  • $-x$ herauskommt?

  Lösung

  Man kann sowohl für $b$ als auch für $m$ beliebige Werte einsetzen:

  $m=1$: $y=x+b$ – das bedeutet, dass man von dem y-Achsenabschnitt ebenso weit nach rechts wie nach oben geht.

  $m=-1$: $y=-x+b$ – das bedeutet, dass man von dem y-Achsenabschnitt ebenso weit nach rechts wie nach unten geht.

  $b=0$: $y=m\cdot x$ – eine solche Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$. Die entsprechende lineare Funktion ist eine proportionale Funktion.

• Entscheide, welche der Geraden zu der Funktionsgleichung gehört.

  Tipps

  Mache dir zunächst den y-Achsenabschnitt klar: Dies ist der Term, welcher alleine steht.

  Mithilfe des y-Achsenabschnittes kannst du schon einige Geraden ausschließen.

  Um die Steigung zu bestimmen, schaust du dir zusätzlich zu dem y-Achsenabschnittpunkt $P(0|-2)$ noch einen weiteren Punkt an, welchen du gut erkennen kannst.

  Berechne mithilfe der beiden Punkte der Geraden die Steigung als Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten sowie der der x-Koordinaten.

  Lösung

  Wie kann man bei einer Geraden feststellen, ob sie zu der Funktionsgleichung $y=\frac23x-2$ gehört?

  Zunächst kann man sich den y-Achsenabschnitt anschauen: Dies ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet. Alle Geraden, welche nicht durch $b=-2$ verlaufen, können nicht zu der obigen Gleichung gehören. Es kommen also nur die beiden äußeren Geraden in der oberen Reihe und die Gerade ganz links in der unteren Reihe infrage.

  Dann schaut man sich die Steigung an:

  • Ist diese negativ, so ist die Gerade fallend,
  • andernfalls steigend.

  Die Steigung kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks herleiten. Hierfür verwendet man zum einen den y-Achsenabschnittpunkt $P(0|-2)$ sowie einen anderen Punkt, welchen man gut erkennen kann, zum Beispiel $Q(3|0)$.

  Die Steigung ist dann gegeben als Quotient der Differenz der y-Koordinaten und der der x-Koordinaten:

  $m=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac23$.

  Die Gerade links oben ist die gesuchte Gerade.

• Gib an, was die Steigung $m=0$ bedeutet.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet $y=m\cdot x+b$.

  • $m$ ist der Faktor vor dem $x$ und steht für die Steigung und
  • $b$ ist der y-Achsenabschnitt.

  Womit muss man die Variable $x$ multiplizieren, damit $0$ herauskommt?

  Setze in der Gleichung $y=-2$ verschiedene Werte für $x$ ein. Was fällt dir auf?

  Zum Zeichnen einer Geraden genügen zwei Punkte, zum Beispiel $P(0|-2)$ sowie $Q(5|-2)$.

  Beide Punkte haben die gleiche y-Koordinate.

  Lösung

  Bei der Gleichung $y=-2$ ist die Steigung $m=0$.

  Darf die Steigung $0$ sein? Natürlich, man darf für $m$ jeden beliebigen Wert einsetzen.

  Was bedeutet es, wenn $m=0$ ist? Das bedeutet nicht, dass die Funktion „keine“ Steigung besitzt. Es bedeutet, dass die Gerade weder steigend noch fallend ist. Sie muss also parallel zur x-Achse verlaufen. Also gehört in unserem Fall zu jedem $x$ der y-Wert $-2$.

  Parallel zur y-Achse kann eine Gerade zu einer linearen Funktion nicht verlaufen, denn das würde bedeuten, dass zu einem $x$ mehr als ein $y$ gehören. Dies widerspricht der Definition einer Funktion.

• Ermittle zu jeder der Geraden die Funktionsgleichung.

  Tipps

  Eine lineare Funktionsgleichung hat die Form $y=m\cdot x+b$. $m$ steht für die Steigung und $b$ für den y-Achsenabschnitt der dadurch beschriebenen Funktion.

  Den y-Achsenabschnitt kannst du jeweils ablesen: Das ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

  Wenn du zusätzlich zu dem y-Achsenabschnittpunkt noch einen weiteren Punkt betrachtest, kannst du die Steigung als Quotienten der y-Koordinaten-Differenz und der x-Koordinaten-Differenz berechnen.

  Lösung

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$. Dabei ist

  • $m$, der Faktor vor dem $x$, die Steigung und
  • $b$, der Term, welcher alleine steht, der y-Achsenabschnitt.

  Wenn man von einer Geraden in einem Koordinatensystem zu der entsprechenden Gleichung gelangen will, schaut man sich zunächst den y-Achsenabschnitt an. Dies ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

  Dann kann man mithilfe eines Steigungsdreiecks oder eines weiteren Punktes die Steigung bestimmen. Von oben nach unten:

  • Der y-Achsenabschnitt ist $b=1$. Durch die beiden Punkte $P(0|1)$ sowie $Q(3|0)$ lässt sich die Steigung berechnen: $m=\frac{0-1}{3-0}=-\frac13$. Die gesuchte Gleichung lautet also $y=-\frac13x+1$.
  • Der y-Achsenabschnitt ist $b=3$. Durch die beiden Punkte $P(0|3)$ sowie $Q(-2|0)$ lässt sich die Steigung berechnen: $m=\frac{0-3}{-2-0}=\frac32=1,5$. Die gesuchte Gleichung lautet also $y=1,5x+3$.
  • Der y-Achsenabschnitt ist $b=1$. Durch die beiden Punkte $P(0|1)$ sowie $Q(-1|0)$ lässt sich die Steigung berechnen: $m=\frac{0-1}{-1-0}=1$. Die gesuchte Gleichung lautet also $y=x+1$.