Lineare Funktionen – Anwendung Streifen

Lineare Funktionen – Anwendung Streifen Übung

• Ergänze die Erklärung zu den Streifen einer Mappe.

  Tipps

  Beachte: Bei linearen Funktionen müssen die Geraden die y-Achse schneiden.

  Eine lineare Funktion hat eine Steigung und einen y-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Wir betrachten eine Mappe mit schräg laufenden Streifen: Diese Streifen kann man sich als parallel verlaufende Geraden vorstellen.

  Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion, wenn er die y- Achse schneidet.

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Man muss also

  • die Steigung $m$ und
  • den y-Achsenabschnitt $b$ bestimmen.

• Stelle die Gleichung der linearen Funktion anhand der Achsenschnittpunkte auf.

  Tipps

  Aus einem der Punkte kann direkt der y-Achsenabschnitt abgelesen werden.

  Die Steigung ergibt sich durch ein Steigungsdreieck.

  Die Steigung in einem rechtwinkligen Dreieck ist gegeben als der Quotient aus Gegen- und Ankathete.

  Lösung

  Wir haben zwei Punkte $(0|8)$ und $(7,5|0)$ gegeben.

  Der auf der y-Achse hat die $x$-Koordinate $0$ und die $y$-Koordinate $b$, den y-Achsenabschnitt. Damit gilt $b=8$.

  Wie erhält man die Steigung? Hierfür zeichnet man ein Steigungsdreieck und liest die Steigung direkt ab bzw. man rechnet die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte aus:

  $m=\frac{-8}{7,5}=-\frac{16}{15}$.

  Die Funktionsgleichung lautet also

  $y=-\frac{16}{15}+8$.

• Ermittle die Gleichung der linearen Funktion bei bekannter Steigung und einem bekannten Punkt.

  Tipps

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$.

  Ein Punkt hat als erste Koordinate die $x$- und als zweite die $y$-Koordinate.

  Du musst eine lineare Gleichung lösen, wenn du die gegebenen Werte eingesetzt hast.

  Lösung

  Da die Steigung $m=-0,5$ bereits bekannt ist, kann die Gleichung bereits in der Form angegeben werden:

  $y=-0,5x+b$

  Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, wird der Punkt $P(4|0)$ in diese Gleichung eingesetzt. Hier ist $x=4$ und $y=0$:

  $\begin{align*} 0&=-0,5\cdot4+b&|&+2\\ 2&=b \end{align*}$

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

  $y=-0,5x+2$.

• Prüfe die folgenden Aussagen zu linearen Funktionen und ihren Funktionsgraphen.

  Tipps

  Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion, wenn sie die y-Achse schneidet.

  Der y-Achsenabschnitt gibt an, wo die y-Achse geschnitten wird.

  Zu der Steigung einer Funktion kann ein Steigungsdreieck gezeichnet werden.

  Die Steigung einer linearen Funktion gibt den Anstieg der dazugehörigen Gerade an.

  Es sind zwei Aussagen korrekt.

  Lösung

  Es können folgende Lagebeziehungen von Geraden auftreten, die zu linearen Funktionen gehören:

  • Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, sind sie parallel.
  • Wenn zusätzlich der y-Achsenabschnitt übereinstimmt, sind sie identisch.
  • Wenn zwei Geraden verschiedene Steigungen haben, schneiden sie sich.
  • Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, dann sind ihre Steigungen voneinander verschieden. Das Produkt der Steigungen ergibt in diesem Fall $-1$.

  Eine Gerade, welche der Graph einer linearen Funktion ist, kann durchaus parallel zur x-Achse verlaufen. Ist die Gerade parallel zur y-Achse, kann sie nicht zu einer linearen Funktion gehören. Zu dem $x$-Wert, durch welchen die Gerade verläuft, gehören unendlich viele $y$-Werte. Dies widerspricht der Definition einer Funktion.

• Gib an, mit welchen Angaben man eine Gleichung einer linearen Funktion aufstellen kann.

  Tipps

  Durch wie viele Punkte ist eine Gerade eindeutig gegeben?

  Der Graph einer linearen Funktion kann gezeichnet werden, indem man von einem Punkt ausgehend ein Steigungsdreieck zeichnet.

  Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig.

  Lösung

  Wir kennen zwei Möglichkeiten, um eine lineare Funktionsgleichung aufzustellen:

  • Der Graph einer linearen Funktion kann gezeichnet werden, indem man von einem Punkt ausgehend ein Steigungsdreieck zeichnet. Das funktioniert, wenn man einen Punkt und die Steigung gegeben hat.
  • Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig gegeben. Wir können uns also alternativ zwei Punkte vorgeben.

• Leite die Gleichung der linearen Funktion bei zwei bekannten Punkten her.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Steigung.

  Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmt werden; sie ist der Quotient aus Gegen- und Ankathete.

  Bei bekannter Steigung kannst du zur Berechnung des y-Achsenabschnitts einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Sei zum Beispiel $y=3x+b$ und $P(4|1)$ der gegebene Punkt:

  $\begin{align*} 1&=3\cdot 4+b&|&-12\\ -11&=b. \end{align*}$

  Lösung

  Um die Steigung einer Geraden zu berechnen, welche durch zwei Punkte gegeben ist, wird die Differenz der $y$-Koordinaten durch die der $x$-Koordinaten dividiert.

  Warum dies so ist, kann man sich an einem Steigungsdreieck klarmachen. Die Steigung ist der Quotient aus der Gegen- und Ankathete. Die Gegenkathete hat als Länge die Differenz der $y$-Koordinaten und die Ankathete die der $x$-Koordinaten.

  Somit ist

  $m=\frac{6-2}{4-2}=\frac42=2$.

  Der y-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen eines der beiden Punkte in der Funktionsgleichung $y=2x+b$:

  $\begin{align*} 2&=2\cdot2+b&|&-4\\ -2&=b \end{align*}$

  Die Funktionsgleichung lautet also $y=2x-2$.