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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen

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Team Digital
Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, selbst bei längeren Additions- und Multiplikationsaufgaben sehr schnell rechnen zu können.

Geschicktes Addieren

Zunächst lernst du, was das Kommutativ- und das Assoziativgesetz besagen. Anschließend üben wir geschicktes Addieren und Multiplizieren. Abschließend lernst du, welche Faktorenpaare besonders für geschicktes Multiplizieren geeignet sind.

Faktorenpaare für geschicktes Multiplizieren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe zu den Grundrechenarten, v.a. Addition (Summanden, Summe) und Multiplikation (Faktoren, Produkt).

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Kenntnisse zu den Grundrechenarten, den Rechenregeln und dem Kommutativ- und Assoziativgesetz haben.

Kommutativ- und Assoziativgesetz

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mit dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz vorteilhaft rechnen zu können.

Transkript Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen

Hallo und herzlich willkommen in Speedys Workshop! Hier lernst du so schnell zu rechnen wie ein Taschenrechner. Speedy wird dir einige Tipps und Tricks zeigen, damit du bei längeren Aufgaben vorteilhaft rechnen kannst und schneller zum Ergebnis kommst. Bist du bereit? Los geht's. Wir werden erfahren, wie wir mit dem „Kommutativgesetz und Assoziativgesetz geschickt rechnen“ können. Wir erinnern uns: Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, besagt, dass wir bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren Vertauschen können. Das Assoziativgesetz, auch Verbindungsgesetz genannt, besagt, dass wir beim mehrfachen Addieren oder Multiplizieren Klammern beliebig umsetzen oder weglassen können. Mit dem Wissen im Hinterkopf können wir ja die erste Aufgabe in Angriff nehmen. Dreiundsiebzig plus achtundfünfzig plus siebenundzwanzig. Natürlich können wir hier wie immer von links nach rechts rechnen. Aber jetzt kommt der erste Trick von Speedy. Wir wenden das Kommutativgesetz an und tauschen zwei Summanden. Wenn wir jetzt von links nach rechts rechnen, sind dreiundsiebzig und siebenundzwanzig genau einhundert. So ist es jetzt viel einfacher. Denn die Summe aus einhundert und achtundfünfzig ist einhundertachtundfünfzig. Wie kann man bei der nächsten Aufgabe die Summanden vertauschen, damit die Rechnung möglichst einfach wird? Wir tauschen die hinteren beiden Summanden denn zweiundzwanzig plus achtundzwanzig ergibt fünfzig plus dreiundsiebzig ergibt einhundert dreiundzwanzig. Wir können aber auch Klammern setzen, um Summanden geschickt zusammenzufassen. Zum Beispiel so. Dort, wo wir die Klammern setzen, addieren wir zuerst. Vierundvierzig plus sechsundfünfzig ergibt einhundert. Nun ist die Addition viel leichter und du kommst schneller zum Ergebnis. Versuche also bei längeren Additionsaufgaben die Summanden zusammenzufassen, die volle Zehner ergeben. Dabei kannst du die Summanden vertauschen oder Klammern setzen. Auch hier wird die Rechnung einfacher und du kommst schneller zum Ergebnis. Bei der Multiplikation funktioniert es genauso. Hier ist es praktisch, wenn du zunächst zwei und fünf multiplizierst. Denn mit zehn kann man viel einfacher multiplizieren. Aber auch mit einhundert wird die Multiplikation einfacher. Zum Beispiel hier. Fünfundzwanzig mal vier ist nämlich einhundert. Dann ist der Rest der Multiplikation ein Kinderspiel. Nun bist du dran. Welche Faktoren würdest du hier zuerst multiplizieren? Fünf mal zwanzig ergibt auch einhundert deshalb lass uns hier die Faktoren vertauschen. Nun können wir jeweils zwei Faktoren multiplizieren und dann ist die Rechnung sehr viel einfacher. Speedy verrät dir die Faktorenpaare, die du dir für das geschickte Multiplizieren merken solltest. Diese Multiplikationen ergeben Zehn, Einhundert, oder sogar eintausend und helfen dir dabei, längere Multiplikationsaufgaben viel einfacher zu berechnen. Speedy fasst das Ganze nochmal für uns zusammen. Längere Additionsaufgaben kannst du geschickt berechnen, indem du die Summanden vertauschst oder Klammern setzt. Versuche dabei, Summen aus ganzen Zehnern zu bilden damit die Rechnung möglichst einfach wird. Wenn die Multiplikationsaufgaben sehr lang sind, kannst du nach Faktorenpaaren suchen, die zehn, einhundert oder eintausend ergeben. Du kannst dafür Faktoren vertauschen oder Klammern setzen. Dadurch vereinfachst du die Rechnung und kommst viel schneller zum Ergebnis. Sogar so schnell, dass du keinen Taschenrechner mehr benötigst. Du warst wirklich klasse, diese Auszeichnung von Speedy hast du dir verdient!

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. Schön

    Von Harry Potter , vor 3 Monaten
  2. Hilfreich

    Von Harry Potter , vor 3 Monaten
  3. Cool

    Von Harry Potter , vor 3 Monaten
  4. Toll

    Von Harry Potter , vor 3 Monaten
  5. Ich finde das super gut 👍🏼
    Auch das sich Menschen so eine tolle App überlegt haben 👨‍🔧👍

    Von Felix, vor 3 Monaten
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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz an.

    Tipps

    Beispiel zum Kommutativgesetz:

    $79 + 14 + 11 = 79 + 11 + 14 = 90 + 14 = 104$

    Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz gelten für die gleichen Rechenoperationen.

    Lösung

    Bei dem Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition können wir die Summanden beliebig vertauschen:
    $24 + 15 + 6 = 24 + 6 + 15 = 30 + 15 = 45$
    Bei dem Kommutativgesetz der Multiplikation können wir die Faktoren beliebig vertauschen:
    $5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$

    Bei dem Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz können wir sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation beliebig Klammern setzen:
    $13 \cdot 4 \cdot 25 = 13 \cdot (4 \cdot 25) = 13 \cdot 100 = 1300$
    $18 + 11+ 49 + 7 = 18 + (11+49)+7 = 18 + 60 + 7 = 85$

  • Bestimme alle fehlerhaften Rechnungen.

    Tipps

    Gehe die Rechnungen jeweils Schritt für Schritt durch und schaue, ob du Fehler findest.

    Achte bei der Multiplikation darauf, die Zahlen so zusammenzufassen, dass ganze Zehner oder Hunderter entstehen.

    Beispiel:

    $14 + 73 + 56 =14 + 56 + 73 = 70 + 73 = 143$

    Hier haben wir das Kommutativgesetz angewendet, um die Zahlen $14$ und $56$ zuerst zusammenfassen zu können.

    Lösung

    Richtige Rechnungen:

    • $73 + 58 + 27 = 73 + 27 + 58 = 100 + 58$
    Hier wurde das Kommutativgesetz der Addition angewendet.
    • $10 + 44 + 56 + 8 = 10 + (44+56) +8 = 10 + 100 + 8 = 118$
    Hier wurde das Assoziativgesetz der Addition angewendet.
    • $2 \cdot 7 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$
    Hier wurde das Kommutativgesetz der Multiplikation angewendet.

    Falsche Rechnungen:

    • $22+73+28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 6 = 79$
    Hier wurde in der Klammer subtrahiert statt addiert. Korrekt lautet die Rechnung:
    $22+73+28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 50 = 123$
    • $6 \cdot 25 \cdot 4 = 100 \cdot 4 = 400$
    Hier wurde falsch multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
    $6 \cdot 25 \cdot 4 = 6 \cdot 100 = 600$
    • $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 20 = 15 \cdot 23 = 345$
    Hier wurden die Zahlen $3$ und $20$ addiert statt multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
    $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 20 = (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 20) = 9 \cdot 100 = 900$

  • Entscheide, welche Zahlen du als erstes zusammenfassen würdest, um vorteilhaft zu rechnen.

    Tipps

    Versuche bei der Addition Zahlen zu finden, die zusammen volle Zehner, Hunderter etc. ergeben.

    Versuche bei der Multiplikation Zahlen zu finden, deren Produkt $10$, $100$, $1000$ etc. ergibt.

    Lösung

    Wir rechnen vorteilhaft, indem wir zunächst Zahlen zusammenfassen, die ein schönes Ergebnis haben. Damit lässt sich dann der Rest der Aufgabe leichter lösen.

    Beispiel 1:
    $13 + 76 + 44 = 13 + \mathbf{(76 + 44)} = 13 + 120 = 133$
    Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

    Beispiel 2:
    $ 45 \cdot 4 \cdot 25 = 45 \cdot \mathbf{(4 \cdot 25)} = 45 \cdot 100 = 4500$
    Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

    Beispiel 3:
    $125 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 3 = 125 \cdot \mathbf{8 \cdot 4} \cdot 3 = \mathbf{(125 \cdot 8 )} \cdot (4 \cdot 3) = 1000 \cdot 12 = 12000$
    Wir haben zunächst das Kommutativgesetzt und dann das Assoziativgesetz angewendet.

    Beispiel 4:
    $19+43+7+28=19+\mathbf{(43+7)}+28=19+50+28=69+28=97$
    Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

  • Wende das Kommutiativ- und das Assoziativgesetz zur Berechnung an.

    Tipps

    Du kannst bei der Addition die Summanden vertauschen.

    Lösung

    Wir können das Kommutativ- und das Assoziativgesetz anwenden, um geschickt zu rechnen:

    Beispiel 1:
    $131 + 42 + 19$
    Hier ist es geschickt, das Kommutativgesetz anzuwenden und die Summanden zu vertauschen, um die beiden Zahlen $131$ und $19$ zu addieren:
    $131 + 42 + 19 = 131 + 19 + 42 = 150 + 42 = 192$

    Beispiel 2:
    $16 + 58 + 12 + 11$
    Hier ist es geschickt, das Assoziativgesetz anzuwenden und erst die Summanden $58$ und $12$ zu addieren:
    $16 + 58 + 12 + 11 = 16 + (58 + 12) + 11 = 16 + 70 + 11 = 97$

    Beispiel 3:
    $4 \cdot 9 \cdot 25$
    Hier ist es geschickt, das Kommutativgesetz anzuwenden und die Faktoren zu vertauschen, um zuerst die beiden Zahlen $4$ und $25$ zu multiplizieren:
    $4 \cdot 9 \cdot 25 = 4 \cdot 25 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$

    Beispiel 4:
    $6 \cdot 8 \cdot 125 \cdot 14$
    Hier ist es geschickt, das Assoziativgesetz anzuwenden und erst die Faktoren $8$ und $125$ zu multiplizieren:
    $6 \cdot 8 \cdot 125 \cdot 14 = 6 \cdot (8 \cdot 125) \cdot 14 = 6 \cdot 1000 \cdot 14 = 6 \cdot 14 \cdot 1000 = 84 \cdot 1000 = 84000$

  • Gib jeweils an, welches Gesetz angewendet wurde.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz.

    $13 + 4 + 56 + 18 = 13 + (4 + 56) + 18 = 13 + 60 + 18$

    Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet.

    Lösung

    Beispiel 1:
    $73 + 58 + 27 = 73 + 27 + 58 = 100 + 58$
    Da hier Summanden vertauscht wurden, um einfacher rechnen zu können, wurde das Vertauschungsgesetz, also das Kommutativgesetz angewendet.

    Beispiel 2:
    $22+73+28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 50 = 123$
    Da hier durch das Setzen einer Klammer zwei Summanden verbunden wurden, wurde das Verbindungsgesetz, also das Assoziativgesetz angewendet.

    Beispiel 3:
    $2 \cdot 7 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$
    Da hier zwei Faktoren vertauscht wurden, wurde das Kommutativgesetz angewendet.

    Beispiel 4:
    $10 + 44 + 56 + 8 = 10 + (44+56) +8 = 10 + 100 + 8 = 118$
    Da hier eine Klammer gesetzt wurde, wurde das Assoziativgesetz angewendet.

  • Berechne möglichst geschickt.

    Tipps

    Du kannst bei der Addition oder Multiplikation beliebig Klammern setzen.

    Beispiel:

    $14 + 57 + 86 = (14 + 86) + 57 = 100 + 57 = 157$

    Lösung

    Wir fassen geschickt zusammen:

    Beispiel 1:
    Wir wenden das Kommutativgesetz an:
    $83 + 45 + 27 = 83 + 27 + 45 = 110 + 45 = 155$

    Beispiel 2:
    Wir wenden das Kommutativgesetz und anschließend das Assoziativgesetz an:
    $4 \cdot 20 \cdot 9 \cdot 5= (4 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 20) = 36 \cdot 100 = 3600$

    Beispiel 3:
    Wir wenden das Kommutativgesetz und anschließend das Assoziativgesetz an:
    $19 + 11 + 67 + 38 + 13= (19 + 11) + (67 + 13) + 38 = 30 + 80 + 38 = 148$

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