Klammern ausmultiplizieren – Distributivgesetz

Klammern ausmultiplizieren – Distributivgesetz Übung

• Vervollständige das Distributivgesetz.

  Tipps

  Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer.

  Addiere schließlich die Produkte.

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $3\cdot (4+5)=3\cdot 4+3\cdot 5$.

  Lösung

  Hier siehst du das Distributivgesetz abgebildet.

  Dieses Gesetz dient dazu, Klammern auszumultiplizieren.

  Du multiplizierst also den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden innerhalb der Klammer. Die Produkte addierst du dann am Ende.

• Beschreibe das Distributivgesetz anschaulich.

  Tipps

  Allgemein lautet das Distributivgesetz:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  In diesem Beispiel ist

  • $a=3$
  • $b=6$
  • $c=9$

  Lösung

  Wenn ein gelber Pfeil für $6$ [LE], Längeneinheiten, steht und ein violetter für $9$ Längeneinheiten, dann kannst du in der oberen Reihe durch die Pfeile diesen Term erkennen:

  $3\cdot (6+9)$.

  Die unteren Pfeile werden durch diesen Term beschrieben:

  $3\cdot 6+3\cdot 9$.

  Wir sehen, dass beide Strecken gleich lang sind. Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:

  $3\cdot (6+9)=3\cdot 6+3\cdot 9$.

  Du kannst nun für die Länge des gelben Pfeils sowie des violetten Pfeils verschiedene Zahlen einsetzen. Die Länge der beiden Strecken bleibt immer gleich.

• Wende jeweils das Distributivgesetz an.

  Tipps

  Bei einigen Termen könntest du noch weiter vereinfachen. Ein Beispiel:

  $x\cdot (2+3)=5x$

  Schaue dir ein weiteres Beispiel an:

  • $5\cdot (x+2)=5x+5\cdot 2=5x+10$
  • $2\cdot (x+5)=2x+2\cdot 5=2x+10$
  • $x\cdot (2+5)=2x+5x=7x$

  Die Terme sehen zwar alle recht gleich aus. Jedoch ändern sich die Faktoren vor der Klammer.

  Lösung

  Du multiplizierst eine Summe mit einem Faktor, indem du jeden Summanden mit dem Faktor multiplizierst und schließlich die Produkte addierst. In einer allgemeinen Formel sieht dies so aus:

  $a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c$.

  Schauen wir uns dazu die Beispiele an:

  • $2\cdot (x+3)=2\cdot x+2\cdot 3=2x+6$
  • $3\cdot (x+2)=3\cdot x+3\cdot 2=3x+6$
  • $x\cdot (2+3)=2\cdot x+3\cdot x=2x+3x=5x$
  • $4\cdot (3+x)=4\cdot 3+4\cdot x=12+4x$
  • $3\cdot (x+4)=3\cdot x+3\cdot 4=3x+12$
  • $x\cdot (3+4)=3\cdot x+4\cdot x=3x+4x=7x$

• Prüfe die folgenden Aussagen zum abgewandelten Distributivgesetz.

  Tipps

  Beachte, dass du bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen kannst:

  $a\cdot b=b\cdot a$.

  Dieses Gesetz wird Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz genannt.

  Du kannst eine Differenz auch so schreiben:

  $a-b=a+(-b)$.

  Nun hast du wieder eine Summe aus einer positiven und einer negativen Zahl.

  Es gilt $a\cdot (b-c)=a\cdot (b+(-c))$.

  Wende nun das Distributivgesetz an:

  $a\cdot (b+(-c))=a\cdot b+a\cdot (-c)$.

  Wenn in einem Term auf ein „$+$“-Zeichen ein „$-$“-Zeichen folgt, kann dies zu einem „ $-$“-Zeichen zusammengefasst werden:

  $3+(-2)=3-2$.

  Diese Eigenschaft gilt natürlich auch andersherum:

  $4-3=4+(-3)$.

  Lösung

  So, diese Form des Distributivgesetzes kennst du bereits.

  Du kannst es auch umgekehrt anwenden, wenn eine Summe mit einem Faktor multipliziert wird: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Warum ist das so?

  • $(a+b)\cdot c=c\cdot(a+b)$: Du darfst beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren vertauschen.
  • $c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b$
  • Vertausche in beiden Produkten die Reihenfolge, so erhältst du schließlich $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Du kannst auch einen Faktor mit einer Differenz multiplizieren: $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

  Dies kannst du wie folgt nachweisen:

  • $a\cdot (b-c)=a\cdot (b+(-c))$
  • Wende nun das Distributivgesetz an $a\cdot (b+(-c))=a\cdot b+a\cdot (-c)$.
  • Wenn in einem Term auf ein „$+$“-Zeichen ein „$-$“-Zeichen folgt, kann dies zu einem „ $-$“-Zeichen zusammengefasst werden: $a\cdot b+a\cdot (-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

  Zuletzt kannst du natürlich auch hier wieder die Reihenfolge vertauschen:

  $(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c$.

• Prüfe, ob das Distributivgesetz gilt.

  Tipps

  Es kommt natürlich auf beiden Seiten das Gleiche heraus. Aber kannst du das auch beweisen?

  Schaue dir ein weiteres Beispiel an: $3\cdot (4+5)=3\cdot 4+3\cdot 5$

  • $3\cdot (4+5)=3\cdot 9=27$
  • $3\cdot 4+3\cdot 5=12+15=27$

  Lösung

  Du sollst überprüfen, ob tatsächlich die Gleichung $2\cdot (15+3)=2\cdot 15+2\cdot 3$ gilt.

  • $2\cdot (15+3)=2\cdot18=36$
  • $2\cdot 15+2\cdot 3=30+6=36$

  Du siehst, auf beiden Seiten der Gleichung steht das gleiche Ergebnis. Dies ist noch kein Beweis für das Distributivgesetz. Aber natürlich gilt das Distributivgesetz immer.

• Wende das Distributivgesetz mehrmals an.

  Tipps

  Du kannst bei der Multiplikation zweier Binome das Distributivgesetz zweimal anwenden:

  1. $(a+b)\cdot (c+d)=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d$
  2. $(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d$

  Schaue immer auch, „wo du hin möchtest“: Am Ende erhältst du die rechte Seite der binomischen Formel: $a^2+2ab+b^2$.

  Beachte, dass ein Quadrat eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt ist:

  $a^2=a\cdot a$.

  Hier siehst du den Nachweis der 2. binomischen Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

  • Schreibe das Quadrat als Produkt $(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)$.
  • Zunächst behandelst du den linken Faktor als Ganzes und wendest das Distributivgesetz an: $(a-b)\cdot (a-b)=(a-b)\cdot a-(a-b)\cdot b$.
  • Dann wendest du das Distributivgesetz nochmal an, diesmal in gewohnter Weise: $(a-b)\cdot a-(a-b)\cdot b=a^2-b\cdot a-a\cdot b+b^2$.
  • Zuletzt fasst du zusammen: $a^2-b\cdot a-a\cdot b+b^2=a^2-2ab+b^2$.

  Lösung

  Die binomischen Formeln kürzen das Ausmultiplizieren ab. Darum ist es gut, wenn du diese gut kennst.

  Natürlich kannst du auch jedes Mal aufs Neue ausmultiplizieren. Diesen Weg wollen wir einmal gemeinsam gehen.

  Die 1. binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

  • Schreibe das Quadrat als Produkt $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$.
  • Nun kannst du erstmals das Distributivgesetz anwenden, wobei du den linken Faktor $(a+b)$ erst einmal „festhältst“: $(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b$.
  • Nochmaliges Anwenden des Distributivgesetzes führt zu $(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b=a^2+b\cdot a+a\cdot b+b^2$.
  • Zuletzt fasst du zusammen $a^2+b\cdot a+a\cdot b+b^2=a^2+2ab+b^2$.

  Ebenso kannst du die 2. binomische Formel nachweisen.

  Die 2. binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

  • Schreibe das Quadrat als Produkt: $(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)$.
  • Auch hier kannst du erstmals das Distributivgesetz anwenden: $(a-b)\cdot (a-b)=(a-b)\cdot a-(a-b)\cdot b$.
  • Noch einmal wendest du das Distributivgesetz an: $(a-b)\cdot a-(a-b)\cdot b=a^2-b\cdot a-a\cdot b+b^2$.
  • Zuletzt fasst du zusammen zu $a^2-b\cdot a-a\cdot b+b^2=a^2-2ab+b^2$.

  Die 3. binomische Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$:

  Und auch diese Formel kannst du mit Hilfe des Distributivgesetzes nachweisen.

  • $(a+b)\cdot (a-b)=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b$
  • $(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^2+b\cdot a-a\cdot b-b^2$
  • $a^2+b\cdot a-a\cdot b-b^2=a^2-b^2$