Geradengleichungen – Punktprobe für Parameterform

Hallo, wir haben eine Gerade gegeben und einen Punkt und möchten wissen, ob dieser Punkt auf der Geraden liegt. Die Gerade g, mit einem etwas komisch gezeichnetem g hier, hat also die folgende Form. Wenn man das jetzt ganz nehmen müsste oder sagen wollte, dann müsste man sagen, die Gerade besteht aus allen Endpunkten, der Ortsvektoren und so sagt man das meistens, man sagt einfach nicht ganz exakt, aber einfacher auszusprechen, besteht aus allen Vektoren x, die die Form haben Vektor(2|4|1)+Lambda×Vektor(-2|-3|-4) und der Punkt, um den es geht, hat die Koordinaten (8|13|11) und wir möchten wissen, ob dieser Punkt auf der Geraden liegt. Und da mach ich mir die Sache jetzt mal ganz einfach. Ich setze nämlich den Ortsvektor, der zu diesem Punkt führt, einfach mal für das x ein. Dann steht hier also (8|13|11) und wenn es ein Lambda gibt, das diese Gleichung hier erfüllt, dann liegt der Punkt (8|13|11) auf der Geraden oder man kann auch sagen, der Punkt (8|13|11) ist ein Punkt der Geraden, und wenn es dieses Lambda nicht gibt, dann liegt er eben nicht drauf. Und das kann man klären, indem man diese Gleichung hier koordinatenweise hinschreibt. Denn für dieses Lambda muss gelten, dass 8=2×Lambda+-2 ist. Ebenso muss gelten 13=4×Lambda×(-3) und so weiter. Und das kann man hier einfach mal hinschreiben. Das muss also für das Lambda gelten. 8=2×Lambda×(-2). Ebenso 13=4, oh, das ist ein + Entschuldigung, 2+Lambda×(-2). 4+Lambda×(-3) und 11=-1+Lambda×(-4). Das sind 3 Gleichungen und alle müssen auf einmal richtig sein, sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Und das kann man natürlich jetzt ganz einfach umformen, ich hoffe, das muss ich jetzt nicht weiter erklären, wir rechnen -2 auf beiden Seiten und dann wir hier 6/-2 und dann kommen wir auf Lambda=-3. 6/-2=-3. 13-4=9/-3=-3. Also ist hier auch Lambda=-3. Du siehst, das zahlt sich jetzt aus, wenn du in der Mittelstufe das gut gelernt hast, wenn du schnell Gleichungen lösen kannst, denn selbst wenn du einen Taschenrechner hast, mit dem du das ausrechnen kannst, das dauert so lange das Eintippen und das dauert so lange, bis du die Betriebsanleitung genau verstanden hast und weißt, wie du es eintippen musst. Das sind so einfache Sachen, das kannst du dann auch im Kopf, wenn du es vernünftig gelernt hast in der Mittelstufe und das sollte hier auch kein Problem sein. Hier rechnen wir dann +1 auf beiden Seiten, teilen dann durch -4. Es kommt -3 raus. Das heißt, für alle 3 Gleichungen haben wir herausgefunden, das Lambda=-3 sein muss und deshalb können wir hier -3 einsetzen für das Lambda und dann ist diese Gleichung richtig und dieser Punkt liegt auf der Geraden. Falls dieser Punkt nicht auf der Geraden liegt, was passiert dann? Dann kriegt man hier unterschiedliche Ergebnisse und dann kann man also mathematisch gesehen so argumentieren, wir suchen zum Beispiel ein Lambda für das gilt, dass es -3 und -4 ist, gleichzeitig und das geht natürlich nicht. Deshalb sagt man dann einfach "o. k.", dann gibt es halt kein Lambda und dann wissen wir, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Viel Spaß mit den Geraden und Punkten. Bis bald, tschüss.