Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen

Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen Übung

• Gib die Formeln an, mit denen du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmen kannst.

  Tipps

  Es bleibt dir überlassen, welchen Punkt du $P_1$ und welchen du $P_2$ nennst.

  Wenn du die Formel für die Steigung verwendest, musst du auf die Einhaltung der gleichen Reihenfolge der Koordinaten im Zähler und Nenner achten.

  Berechnest du den $y$-Achsenabschnitt, so kannst du die Koordinaten eines Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzen und nach $b$ auflösen.

  Lösung

  Gesucht sind die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ der Geradengleichung in Normalform. Diese lautet allgemein:

  • $y=mx+b$

  Steigung

  Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ. Sie wird mit folgender Formel bestimmt:

  • $m=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Du kannst die Reihenfolge der Koordinaten im Zähler und Nenner festlegen, wie du möchtest, allerdings musst du hierbei beachten, dass die Reihenfolge im Zähler dieselbe ist wie die im Nenner.

  $y$-Achsenabschnitt

  Der $y$-Achsenabschnitt ist diejenige Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Diese erhältst du, indem du die Koordinaten desselben Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst:

  • $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$

• Berechne die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der jeweiligen Geraden.

  Tipps

  Du berechnest die Steigung mit folgender Formel:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Die Normalform einer Geradengleichung lautet:

  • $y=mx+b$

  Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, indem du einen Punkt (also seinen $x$- und $y$-Wert) in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst.

  Lösung

  Im Folgenden berechnen wir zunächst ausgehend von zwei Punkten $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ die Steigung mit folgender Formel:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Dann setzen wir die Steigung $m$ und die Koordinaten eines Punktes in die Normalform $y=mx+b$ ein und lösen diese Gleichung nach dem $y$-Achsenabschnitt $b$ auf.

  • $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$

  Mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$ geben wir dann die Geradengleichung an.

  Beispiel 1

  Mit $P_1(1\vert 1)$ und $P_2(3\vert 2)$ erhalten wir folgende Steigung:

  • $m=\dfrac {2-1}{3-1}=\dfrac 12$

  Mit der Steigung $m$ erhalten wir wie folgt den $y$-Achsenabschnitt:

  • $b=1-\dfrac 12\cdot 1=1-\dfrac 12=\dfrac 12$

  Die Geradengleichung lautet dann:

  • $y=\dfrac 12x+\dfrac 12$

  Beispiel 2

  Die Punkte $P_1(3\vert 2)$ und $P_2(8\vert 4)$ liefern folgende Steigung:

  • $m=\dfrac {4-2}{8-3}=\dfrac 25$

  Für den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir:

  • $b=2-\dfrac 25\cdot 3=\dfrac{10}{5}-\dfrac 65=\dfrac 45$

  Die Geradengleichung lautet dann:

  • $y=\dfrac 25x+\dfrac 45$

• Ermittle die jeweiligen Beziehungen zu den Graphen.

  Tipps

  Haben Nenner und Zähler der Steigung $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ unterschiedliche Vorzeichen, so kann die Steigung nur negativ sein.

  Liegt $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse, so gilt:

  • $x_2<x_1$

  Also gilt auch:

  • $x_2-x_1<0$

  Lösung

  Beispiel 1

  Wir sehen hier eine fallende Gerade, also gilt $m<0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt $x_2<x_1$ und damit auch:

  • $x_2-x_1<0$

  Bei den $y$-Koordinaten erhalten wir mit $y_2>y_1$ folgende Beziehung:

  • $y_2-y_1>0$

  Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Steigung negativ ist.

  Beispiel 2

  Diesmal betrachten wir eine steigende Gerade, also gilt $m>0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt wieder $x_2<x_1$ und damit auch:

  • $x_2-x_1<0$

  Diesmal liegt $y_2$ unterhalb von $y_1$ auf der $y$-Achse, sodass $y_2<y_1$ gilt. Damit folgt:

  • $y_2-y_1<0$

  Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ gleiche Vorzeichen, sodass die Steigung positiv ist.

  Beispiel 3

  Wieder betrachten wir eine fallende Gerade, also eine negative Steigung $m<0$. Diesmal liegt $x_2$ rechts neben $x_1$ auf der $x$-Achse, sodass $x_2>x_1$ gilt. Also folgt:

  • $x_2-x_1>0$

  Bei den $y$-Koordinaten erhalten wir mit $y_2<y_1$ hingegen folgende Beziehung:

  • $y_2-y_1<0$

  Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Steigung negativ ist.

  Beispiel 4

  Die Gerade steigt und hat somit eine positive Steigung $m>0$. Es gilt $x_2>x_1$ und somit:

  • $x_2-x_1>0$

  Es ist auch $y_2>y_1$, also:

  • $y_2-y_1>0$

  Aufgrund gleicher Vorzeichen des Zählers und Nenners der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ erhalten wir hier eine positive Steigung.

• Erschließe die Geradengleichung in Normalform.

  Tipps

  Beachte die Vorzeichen. Kennst du die Steigung und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Kennst du den $y$-Achsenabschnitt und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch die Steigung berechnen.

  Kennst du zwei Punkte der Geraden, so berechnest du die Steigung wie folgt:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Lösung

  Beispiel 1

  Gegeben: $m=2$ und $P(2 \vert 7)$

  Gesucht: $b$

  Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

  $ \begin{array}{llll} 7 & = & 2\cdot 2+b & \\ 7 & = & 4+b & \vert -4 \\ 3 & = & b & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+3$.

  Beispiel 2

  Gegeben: $b=4$ und $P(1 \vert -2)$

  Gesucht: $m$

  Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

  $ \begin{array}{llll} -2 & = & m\cdot 1+4 & \\ -2 & = & m+4 & \vert -4 \\ -6 & = & m & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-6x+4$.

  Beispiel 3

  Gegeben: $P(-4 \vert 3)$ und $Q(4 \vert 5)$

  Gesucht: $m$ und $b$

  Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-3}{4-(-4)}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25$

  Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

  $ \begin{array}{llll} 3 & = & 0,25\cdot (-4)+b & \\ 3 & = & -1+b & \vert +1 \\ 4 & = & b & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=0,25x+4$.

  Beispiel 4

  Gegeben: $P(-5 \vert 7)$ und $Q(-1 \vert 3)$

  Gesucht: $m$ und $b$

  Wir gehen wie im 3. Beispiel vor:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-7}{-1-(-5)}=\frac{-4}{4}=-1$

  Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden wieder in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

  $ \begin{array}{llll} 3 & = & -1\cdot (-1)+b & \\ 3 & = & 1+b & \vert -1 \\ 2 & = & b & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-1x+2$.

• Vervollständige die Bezeichnungen am Koordinatensystem sowie die jeweiligen Beziehungen.

  Tipps

  Der Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$.

  Für die Steigung gilt:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Haben Zähler und Nenner jeweils das gleiche Vorzeichen, so ist der Quotient positiv. Andernfalls erhältst du eine negative Steigung.

  Lösung

  Der Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$. Genauso hat der Punkt $P_2$ die Koordinaten $x_2$ und $y_2$. Damit kannst du den Graphen wie hier abgebildet beschriften.

  • Da $y_1>y_2$ ist, erhalten wir: $~y_2-y_1<0$
  • Mit $x_1<x_2$ folgt: $~x_2-x_1>0$

  Für die Steigung gilt:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}<0$

  Da der Zähler negativ und der Nenner positiv ist, erhalten wir hier eine negative Steigung. Das erkennst du auch daran, dass die Gerade nach rechts abfällt.

• Bestimme die Geradengleichungen in Normalform.

  Tipps

  Verläuft eine Gerade parallel zur $x$-Achse, so ist die Steigung Null.

  Die Normalform lautet: $~y=mx+b$

  Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.

  Lösung

  Die Normalform einer Geradengleichung lautet: $~y=mx+b$

  Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.

  Beispiel 1

  In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch den Ursprung $P(0 \vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir mit den Punkten $(0\vert 0)$ und $(2\vert 1)$ folgende Rechnung:

  • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1-0}{2-0}=\dfrac 12$.

  Somit erhalten wir: $~y=\dfrac 12x$

  Beispiel 2

  In diesem Beispiel verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse durch den Punkt $P(0 \vert 2)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m=0$. Die Geradengleichung lautet dann: $~y=2$

  Beispiel 3

  In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch die Punkte $(-2\vert 0)$ und $(0\vert 4)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:

  • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4-0}{0-(-2)}=\dfrac 42=2$.

  Somit erhalten wir: $~y=2x+4$

  Beispiel 4

  Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0\vert 2)$ und $(1\vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:

  • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0-2}{1-0}=\dfrac {-2}{1}=-2$.

  Somit erhalten wir: $~y=-2x+2$