Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen

Grundlagen zum Thema Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen
Es gibt zwei kleine Formeln, mit denen du aus zwei beliebigen Punkten (mit unterschiedlichen x-Koordinaten) die Funktion bestimmen kannst, deren Graph durch diese Punkte verläuft. Im Video wenden wir diese Formeln an und überlegen uns dann, warum sie wirklich für alle Punkte gültig sind. Z.B.: Sind die Formeln auch gültig, wenn die Funktion keine Steigung, sondern ein Gefälle hat? Oder: Gelten die Formeln auch, wenn die Punkte keine positiven Koordinaten haben?
Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen Übung
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Gib die Formeln an, mit denen du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmen kannst.
TippsEs bleibt dir überlassen, welchen Punkt du $P_1$ und welchen du $P_2$ nennst.
Wenn du die Formel für die Steigung verwendest, musst du auf die Einhaltung der gleichen Reihenfolge der Koordinaten im Zähler und Nenner achten.
Berechnest du den $y$-Achsenabschnitt, so kannst du die Koordinaten eines Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzen und nach $b$ auflösen.
LösungGesucht sind die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ der Geradengleichung in Normalform. Diese lautet allgemein:
- $y=mx+b$
Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ. Sie wird mit folgender Formel bestimmt:
- $m=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$y$-Achsenabschnitt
Der $y$-Achsenabschnitt ist diejenige Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Diese erhältst du, indem du die Koordinaten desselben Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst:
- $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$
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Berechne die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der jeweiligen Geraden.
TippsDu berechnest die Steigung mit folgender Formel:
- $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Die Normalform einer Geradengleichung lautet:
- $y=mx+b$
Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, indem du einen Punkt (also seinen $x$- und $y$-Wert) in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst.
LösungIm Folgenden berechnen wir zunächst ausgehend von zwei Punkten $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ die Steigung mit folgender Formel:
- $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$
Beispiel 1
Mit $P_1(1\vert 1)$ und $P_2(3\vert 2)$ erhalten wir folgende Steigung:
- $m=\dfrac {2-1}{3-1}=\dfrac 12$
- $b=1-\dfrac 12\cdot 1=1-\dfrac 12=\dfrac 12$
- $y=\dfrac 12x+\dfrac 12$
Die Punkte $P_1(3\vert 2)$ und $P_2(8\vert 4)$ liefern folgende Steigung:
- $m=\dfrac {4-2}{8-3}=\dfrac 25$
- $b=2-\dfrac 25\cdot 3=\dfrac{10}{5}-\dfrac 65=\dfrac 45$
- $y=\dfrac 25x+\dfrac 45$
-
Ermittle die jeweiligen Beziehungen zu den Graphen.
TippsHaben Nenner und Zähler der Steigung $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ unterschiedliche Vorzeichen, so kann die Steigung nur negativ sein.
Liegt $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse, so gilt:
- $x_2<x_1$
- $x_2-x_1<0$
LösungBeispiel 1
Wir sehen hier eine fallende Gerade, also gilt $m<0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt $x_2<x_1$ und damit auch:
- $x_2-x_1<0$
- $y_2-y_1>0$
Beispiel 2
Diesmal betrachten wir eine steigende Gerade, also gilt $m>0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt wieder $x_2<x_1$ und damit auch:
- $x_2-x_1<0$
- $y_2-y_1<0$
Beispiel 3
Wieder betrachten wir eine fallende Gerade, also eine negative Steigung $m<0$. Diesmal liegt $x_2$ rechts neben $x_1$ auf der $x$-Achse, sodass $x_2>x_1$ gilt. Also folgt:
- $x_2-x_1>0$
- $y_2-y_1<0$
Beispiel 4
Die Gerade steigt und hat somit eine positive Steigung $m>0$. Es gilt $x_2>x_1$ und somit:
- $x_2-x_1>0$
- $y_2-y_1>0$
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Erschließe die Geradengleichung in Normalform.
TippsBeachte die Vorzeichen. Kennst du die Steigung und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Kennst du den $y$-Achsenabschnitt und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch die Steigung berechnen.
Kennst du zwei Punkte der Geraden, so berechnest du die Steigung wie folgt:
- $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungBeispiel 1
Gegeben: $m=2$ und $P(2 \vert 7)$
Gesucht: $b$
Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:
$ \begin{array}{llll} 7 & = & 2\cdot 2+b & \\ 7 & = & 4+b & \vert -4 \\ 3 & = & b & \end{array} $
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+3$.
Beispiel 2
Gegeben: $b=4$ und $P(1 \vert -2)$
Gesucht: $m$
Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:
$ \begin{array}{llll} -2 & = & m\cdot 1+4 & \\ -2 & = & m+4 & \vert -4 \\ -6 & = & m & \end{array} $
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-6x+4$.
Beispiel 3
Gegeben: $P(-4 \vert 3)$ und $Q(4 \vert 5)$
Gesucht: $m$ und $b$
Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-3}{4-(-4)}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25$
Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.
$ \begin{array}{llll} 3 & = & 0,25\cdot (-4)+b & \\ 3 & = & -1+b & \vert +1 \\ 4 & = & b & \end{array} $
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=0,25x+4$.
Beispiel 4
Gegeben: $P(-5 \vert 7)$ und $Q(-1 \vert 3)$
Gesucht: $m$ und $b$
Wir gehen wie im 3. Beispiel vor:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-7}{-1-(-5)}=\frac{-4}{4}=-1$
Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden wieder in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.
$ \begin{array}{llll} 3 & = & -1\cdot (-1)+b & \\ 3 & = & 1+b & \vert -1 \\ 2 & = & b & \end{array} $
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-1x+2$.
-
Vervollständige die Bezeichnungen am Koordinatensystem sowie die jeweiligen Beziehungen.
TippsDer Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$.
Für die Steigung gilt:
- $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungDer Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$. Genauso hat der Punkt $P_2$ die Koordinaten $x_2$ und $y_2$. Damit kannst du den Graphen wie hier abgebildet beschriften.
- Da $y_1>y_2$ ist, erhalten wir: $~y_2-y_1<0$
- Mit $x_1<x_2$ folgt: $~x_2-x_1>0$
- $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}<0$
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Bestimme die Geradengleichungen in Normalform.
TippsVerläuft eine Gerade parallel zur $x$-Achse, so ist die Steigung Null.
Die Normalform lautet: $~y=mx+b$
Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.
LösungDie Normalform einer Geradengleichung lautet: $~y=mx+b$
Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.
Beispiel 1
In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch den Ursprung $P(0 \vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir mit den Punkten $(0\vert 0)$ und $(2\vert 1)$ folgende Rechnung:
- $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1-0}{2-0}=\dfrac 12$.
Beispiel 2
In diesem Beispiel verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse durch den Punkt $P(0 \vert 2)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m=0$. Die Geradengleichung lautet dann: $~y=2$
Beispiel 3
In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch die Punkte $(-2\vert 0)$ und $(0\vert 4)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:
- $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4-0}{0-(-2)}=\dfrac 42=2$.
Beispiel 4
Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0\vert 2)$ und $(1\vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:
- $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0-2}{1-0}=\dfrac {-2}{1}=-2$.

Geradengleichungen ermitteln

Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Geradengleichungen in Punktsteigungsform

Der Anstieg

Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen

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Geraden – Definition

Geraden – Erläuterung

Parallele und orthogonale Geraden

Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem
2.575
sofaheld-Level
5.784
vorgefertigte
Vokabeln
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3 Kommentare
ich fande es etwas langweillig
Toll und logisch aufgeklärt. Ihre Stieme nimmt einem Angst vom Lernen weg und vermittelt Gelassenheit und Wünsch sich gut zu konzentrieren.
t und nicht t