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Funktionsgleichungen – implizite Funktion

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Martin Wabnik
Funktionsgleichungen – implizite Funktion
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Grundlagen zum Thema Funktionsgleichungen – implizite Funktion

Inhalt

Was sind implizite Funktionen?

Funktionen sind ein wichtiges Objekt in der Mathematik. Zur Erinnerung: Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x$ einer Definitionsmenge ein eindeutig bestimmtes Element $f(x)$ aus der Wertemenge zu. Häufig ist eine Funktion $f$ durch eine Funktionsgleichung in der Form $y =f(x)$ angegeben.

Wenn das nicht der Fall ist, spricht man von impliziten Funktionsgleichungen. Was sich dahinter genau verbirgt und wie implizite Funktionen definiert sind, wird dir hier einfach erklärt.

Liegt die Gleichung einer Funktion $f$ in der Form $y =f(x)$ vor, so wie du es vermutlich kennengelernt hast, so spricht man auch von der expliziten Funktionsgleichung. Hierbei steht das $y$ als abhängige Variable allein auf der linken Seite der Gleichung und auf der rechten Seite steht ein Term, der nur von der unabhängigen Variablen $x$ abhängt.

Ein Beispiel dafür ist die folgende Gleichung:

$y = 1-x$

Den Begriff der expliziten Funktionsgleichung verwenden wir fast nie. Der Begriff ist hier aber hilfreich, um klarer zu machen, was implizit bedeutet. Denn implizit bedeutet nicht explizit. Was ist also eine implizite Funktionsgleichung?

  • Eine implizite Funktionsgleichung ist eine Funktionsgleichung, die nicht nach y aufgelöst ist.

Zum Beispiel ist die Gleichung

$y+x=1$

eine implizite Funktionsgleichung. Sie beschreibt die gleiche Funktion wie die Gleichung oben, denn man kann durch Termumformungen die eine in die andere Gleichung umformen.

  • Implizite Funktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung in impliziter Form vorliegt.

Du kannst Aufgaben, die du für explizite Funktionen kennst, genauso für implizite Funktionen lösen, z. B. Nullstellen berechnen. Hierfür kannst du die implizite Funktion in eine explizite Funktion umwandeln, indem du die Gleichung nach $y$ auflöst.

Implizite Funktionen – Beispiele

Zur Übung schauen wir uns zwei implizite Funktionen an, die wir in explizite Funktionen umwandeln.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung $-\dfrac{1}{2}-3x+6y=0$.

Diese Gleichung lösen wir nun nach $y$ auf:

$\begin{array}{rlll} -\dfrac{1}{2}-3x+6y &=& 0 & \vert +\dfrac{1}{2}\\ \\ -3x+6y & =& \dfrac{1}{2}& \vert +3x\\ \\ 6y &= &3x + \dfrac{1}{2} & \vert : 6\\ \\ y &= &\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{12} & \\ \end{array} $

Die explizite Funktionsgleichung lautet also $ y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{12}$.

Beispiel 2:

Nun betrachten wir die Funktion mit der impliziten Funktionsgleichung $(x-y)^{2}=y^{2}$. Auch hier lösen wir nach $y$ auf. Im ersten Schritt lösen wir mithilfe der zweiten binomischen Formel die Klammer auf der linken Seite auf:

$\begin{array}{rlll} (x-y)^2&=& y^2& \\ \\ x^2-2xy+y^2 & =& y^2& \vert -y^2\\ \\ x^2-2xy &= &0 & \vert -x^2\\ \\ -2xy &= &-x^2 & \\ \end{array} $

Im nächsten Schritt teilen wir nun durch $-2x$, damit das $y$ allein auf der linken Seite steht. Das geht aber nur, wenn $x\neq 0$ ist, denn wir dürfen nicht durch null teilen.

Wir erhalten die explizite Funktionsgleichung:

$y = \dfrac{1}{2}x\quad$ für $x \neq 0$

Weil diese explizite Gleichung nicht für $x=0$ gilt, schauen wir uns noch einmal die implizite Gleichung an. Wir setzen hier $x=0$ ein, um zu prüfen, ob die Bedingung $x \neq 0$ notwendig ist. Wir erhalten die Gleichung $y^{2}=y^{2}$. An der Stelle $x=0$ ist also der Funktionswert $y$ nicht eindeutig bestimmt. Man sagt: Es liegt keine Zuordnung vor. Also hat die implizite Funktion mit der Gleichung $(x-y)^{2}=y^{2}$ eine Definitionslücke an der Stelle $x=0$. Die explizite Funktion mit der Funktionsgleichung $y=\frac{1}{2}x$ hat an der Stelle $x=0$ keine Definitionslücke, denn wir können $x=0$ einsetzen und erhalten den eindeutig bestimmten Funktionswert $y=0$.

Das bedeutet, dass die Funktion mit der impliziten Gleichung $(x-y)^{2}=y^{2}$ nicht dieselbe Funktion ist wie die mit der expliziten Gleichung $x = \dfrac{1}{2}x$, denn sie haben unterschiedliche Definitionsmengen.

Wir müssen beim Umformen einer impliziten Funktion in eine explizite Funktion beachten, ob wir $x$-Werte aus dem Definitionsbereich ausschließen müssen.

Zusammenfassung: Gleichungen mit zwei Variablen

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu Funktionsgleichungen – implizite Funktion zusammen.

  • Liegt die Gleichung einer Funktion $f$ in der Form $y =f(x)$ vor, so spricht man von einer expliziten Funktion.
  • Eine implizite Funktionsgleichung ist demnach eine Funktionsgleichung, die nicht nach y aufgelöst ist.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Funktionsgleichungen – implizite Funktion.

Transkript Funktionsgleichungen – implizite Funktion

Hallo. Wenn du weißt was eine Funktionsgleichung ist, dann können wir uns jetzt mal ansehen was eine implizite Funktionsgleichung ist. Naja und wer implizit sagt, muss auch explizit sagen. Denn wir verwenden den Begriff implizite Funktionsgleichung, um von einer gegebenen Funktionsgleichung zu sagen, dass sie keine explizite Funktionsgleichung ist. Also, wir schauen uns die beiden Begriffe an, rechnen zwei Beispiele dazu und dann war es das auch zu diesem Thema. So, fangen wir mal ganz geschmeidig an. Wir haben die Gleichung y+x=1. Und wir können auf beiden Seiten –x rechnen und erhalten dann die Gleichung y=-x+1. Das ist eine Gleichung, die nach y aufgelöst ist und wenn diese Gleichung eine Funktion beschreibt, dann ist das x die unabhängige Variable, denn wir können frei wählen was wir für x einsetzen. Innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion natürlich. y hingegen ist die abhängige Variable, denn deren Wert hängt davon ab was wir für x eingesetzt haben. Das ganze hier ist eine explizite Funktionsgleichung, weil nämlich diese Gleichung zur abhängigen Variablen hin aufgelöst ist oder man kann auch sagen das y steht einzeln auf einer Seite. Und das hier ist eine implizite Funktionsgleichung und zwar deshalb, weil diese Gleichung hier nicht zur abhängigen Variablen hin aufgelöst ist. Und schriftlich sieht das so aus. “Eine implizite Funktionsgleichung ist eine Funktionsgleichung, die nicht nach y aufgelöst ist.”. So, nachdem wir nun wissen was eine implizite Funktionsgleichung ist, können wir noch zwei Beispiele dazu durchrechnen. Dabei geht es darum, eine implizite Funktionsgleichung in eine explizite Funktionsgleichung umzuformen oder wie man auch sagen kann, es geht darum, nach y aufzulösen. Wir haben folgende Funktionsgleichung: -1/2-3x+6y=0. Wir möchten nach y auflösen und bringen alle Summanden, die kein y enthalten auf die andere Seite. Also rechnen wir +1/2 und +3x. Dann haben wir auf der linken Seite nur noch 6y stehen und auf der rechten Seite steht dann, ja ich tausche das jetzt mal hier, 3x+1/2. Jetzt wollen wir nicht 6y da stehen haben sondern nur noch y und deshalb teilen wir durch 6. Dann steht auf der linken Seite y und auf der rechten Seite, naja 3x/6 = 1/2x und (1/2)/6 = 1/12. Und das ist nun die explizite Funktionsgleichung y=1/2x+1/12. Wir haben eine weitere Funktionsgleichung, nämlich (x-y)2=y2. Weil hier und hier ein y ist, ist diese Gleichung nicht nach y umgestellt oder nach y aufgelöst, das wollen wir jetzt erledigen. Und wir machen als erstes eine Termumformung, dann können wir nämlich diese Klammer hier auflösen. Das machen wir mit der zweiten binomischen Formel und wir erhalten x2-2xy+y2=y2. Dann rechnen wir minus y2 auf beiden Seiten und erhalten hier x2-2xy auf der linken Seite und 0 auf der rechten Seite. Dann geht es weiter mit minus x2, dieser Summand enthält kein y und deshalb möchten wir den auf der anderen Seite haben. Dann haben wir noch -2xy links stehen und -x2 haben wir rechts stehen. Wir möchten nun y einzeln auf der linken Seite stehen haben und deshalb rechnen wir geteilt durch -2x. Das geht aber nur, falls x ungleich 0 ist. Denn durch Null können wir ja nicht teilen. Also bleibt auf der linken Seite das y übrig und auf der rechten Seite haben wir 1/2x. Und damit haben wir die explizite Funktionsgleichung und die lautet y=1/2 x. Dann ist noch die Frage, was passiert denn wenn x=0? Wenn wir die implizite Funktionsgleichung betrachten, sehen wir, wenn x=0, steht hier einfach nur y2=y2. Und wir haben keine Zuordnung. Das heißt, die implizit gegebene Funktion hat an der Stelle x=0 eine Definitionslücke. Interessanterweise hat die “gleiche” Funktion in Anführungszeichen, die in expliziter Form gegeben sein könnte, an der Stelle x=0 keine Definitionslücke. Daher sind diese beiden Funktionen auch nicht gleich, denn die hat eine Definitionslücke und die hat keine. So da sind wir hier eigentlich fertig. Eigentlich deshalb, weil wir bisher gesagt haben was eine implizite Funktionsgleichung ist aber nicht gesagt haben was eine implizite Funktion ist. Nun eine implizite Funktion ist eine Funktion, die durch eine implizite Funktionsgleichung gegeben ist. Dann haben wir das auch geklärt. Es gibt noch vieles, was man zu impliziten Funktionen und Funktionsgleichungen sagen kann. Wenn du aber gerade kennengelernt hast, was Funktionsgleichungen sind und in diesem Zusammenhang das Thema implizite Funktionsgleichung machst, dann geht es in den Übungsaufgaben nur darum, Gleichungen nach y aufzulösen und deshalb sind wir an dieser Stelle hier auch fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. die videos sind sehr hilfreich nur das problem bei diesem thema ist, dass es nur ein eine Aufgabe dazu gibt

    Von Vitus, vor 12 Monaten
  2. Gibt es nur eine Aufgabe dazu ?

    Von Leonel P., vor mehr als einem Jahr
  3. Die Aufklär Videos sind einfach zu verstehen ich habe mathe erst nicht kapirt weil unser Lehrer nicht gut erklären kann das Video hat mir sehr gut geholfen und auch gefallen

    Von Jennifer Baier, vor fast 3 Jahren
  4. Hallo Laura Brown2001,
    was genau verstehst du nicht? Bei der Aufgabe musst die Funktionsgleichung so umstellen, dass das y allein steht, also in die Form y=....
    Du musst y also auf der einen Seite des Gleichheitszeichens isolieren. Dazu musst du den Koeffizienten 1/6 loswerden. Und anschließend musst du noch -1/2x auf die andere Seite bringen.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten. Ansonsten kannst du dich auch gerne an den Fach-Chat von montags bis freitags von 17-19Uhr wenden.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 3 Jahren
  5. Ich verstehe die Lösung der Übungsaufgabe nicht, kann sie jemand erklären

    Von Laura Brown2001, vor mehr als 3 Jahren
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