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Einführendes Beispiel einer Funktion

Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen zwei Größen. Ein Beispiel dafür ist der Kauf von mehreren Muffins in einem Geschäft. Wenn ein Muffin $2$ € kostet, können wir uns den folgenden Zusammenhang zwischen den Größen Anzahl und Preis überlegen:

Anzahl an Muffins $\cdot$ $2$ € $=$ Gesamtpreis dieser Anzahl an Muffins in

Dies ist ein klassisches Beispiel für eine proportionale Zuordnung. Interessiert uns nun der Gesamtpreis von $7$ Muffins, erhalten wir ihn direkt aus unserer Gleichung $7\cdot 2$ € $=\, 14$ €.

Welches Vorwissen wird zum Verständnis von Funktionen benötigt?

Befasst du dich bereits mit Funktionen, die mittels Funktionsgleichungen der Form $f(x)=y$ dargestellt werden? Dann solltest du mit Folgendem vertraut sein:

  1. Du solltest wissen, was Variablen sind. Wenn du dir unsicher bist, kann dir ein kurzes Video zu der Frage „Was sind Variablen?“ weiterhelfen.
  2. Außerdem solltest du mit Termen vertraut sein und wissen, wie du Terme umformst.

Was sind Funktionen?

Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen einer Variablen $x$ und dem zugehörigen Funktionswert $y$, kurz $y$-Wert genannt. Sie kann durch eine Funktionsgleichung $f(x)=y$ dargestellt werden. Dabei wird $f(x)$ als „$f$ von $x$“ gelesen und steht für die Rechenvorschrift, die mit der Variablen $x$ vorgenommen wird.

Durch eine Funktion $f$ wird jedem $x$-Wert immer ein eindeutiger $y$-Wert zugeordnet.

Der Graph einer Funktion

Für die Variable $x$ können die verschiedensten Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=y$ eingesetzt werden. Die berechneten $y$-Werte zu den $x$-Werten können in einer Tabelle festgehalten werden. Diese wird Wertetabelle genannt. Du erhältst durch sie einen ersten kleinen Überblick über deine Funktion.

Oft ist es gewünscht, eine Funktion im Koordinatensystem graphisch darzustellen. Die graphische Darstellung der Funktion wird Funktionsgraph genannt.

Beispiel: Hier wird der Funktionsgraph zu der Funktionsgleichung $f(x)=-x$ dargestellt:

Graph zur Geradengleichung f(x)=-x

Welche Funktionen gibt es?

Es gibt unendlich viele verschiedene Funktionen. Wie so häufig in der Mathematik werden sie anhand ihrer Funktionsgleichungen in verschiedene Kategorien eingeteilt.

Anfangs wirst du dich mit Funktionen der Form $g(x)=m\cdot x +b$ beschäftigen. Sie heißen lineare Funktionen und ihre zugehörigen Graphen heißen Geraden. Anschließend lernst du quadratische Funktionen $f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x + c$ kennen, deren Graphen Parabeln genannt werden. Beide Formen zählen zu den sogenannten Polynomen.

Eine besondere Bedeutung kommt darüber hinaus den Winkelfunktionen (z. B. $sin(x)$, $cos(x)$ und $tan(x)$) sowie den Exponentialfunktionen zu. Sie finden in vielen Aufgaben in der Physik und der Chemie Anwendung.

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