Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1)


Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Exponentialfunktion – Definition

Parameter der Exponentialfunktion

Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen

Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1)

Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (2)

Exponentialfunktionen – Bevölkerungswachstum
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Grundlagen zum Thema Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1)
Exponentialfunktionen haben immer die Funktionsgleichung f(x) = a * b hoch x. Dabei heißt a Anfangswert der Funktion und b Wachstumsfaktor der Funktion. In diesem Video übern wir, den Anfangswert und den Wachstumsfaktor aus der Funktionsgleichung abzulesen. Außerdem können wir die Frage, ob die Funktion Wachstum oder Zerfall beschreibt, ganz schnell beantworten. Ihr seht typische Schreibweisen für solche Wachstumsfunktionen und Beispiele für Populationen, die wachsen. Viel Spaß!
Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1) Übung
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Beschreibe, wie man Kenngrößen bestimmt.
TippsWie sieht die Funktion $f(x)=a\cdot b^x$ am Anfang zum Zeitpunkt $x=0$ aus? Vergiss nicht, dass $b^0=1$ gilt.
Mit was muss a multipliziert werden, damit sie größer oder kleiner wird?
Vergleiche die Funktionen $y=\left( \frac{1}{2}\right)^x$ und $y=2^x$ miteinander.
LösungBetrachten wir als erstes die allgemeine Funktion $f(x)=a\cdot b^x$. Sie wird teilweise auch $N(t)=a\cdot b^t$ geschrieben, um zu zeigen, dass die Funktion von der Zeit t abhängt. Solche Wachstumsfunktionen hängen in der Regel immer von der Zeit ab.
- Die Bezeichnung Wachstumsfunktionen wird im allgemeinen immer verwendet, wenn wir eine solche Exponentialfunktion haben. Das gilt besonders dann, wenn die von der Zeit abhängt.
- Der Anfangswert beschreibt, wie die Funktion zum Startwert aussieht. Setzen wir die Startzeit $x=0$ in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir $4=f(0)=a\cdot b^0=a\cdot 1=a$.
- Der Wachstumsfaktor gibt an, wie stark der Anfangswert ansteigt. Dieser Wachstumsfaktor wird auch immer mit x potenziert, da so eine exponentieller Anstieg beschrieben werden kann.
- Die Größe der Bevölkerung soll sich jedes Jahr um den Faktor 2 erhöhen. Die Anzahl an Menschen verdoppelt sich so jedes Jahr. Wenn wir also am Anfang 4 Menschen haben, sind es nach einem Jahr schon 8. Wenn ein Jahr vergangen ist, verdoppelt sich die Anzahl aber wieder. Es kommen also nicht nur wieder 4 hinzu, sondern dieses mal 8. Im Jahr Nummer 2 sind wir also schon bei 16 Menschen. Diese Anzahl verdoppelt sich im dritten Jahr wieder auf 32 und so geht es immer weiter.
- Wir wissen schon, dass hier der Anfangswert $a=4$ und der Wachstumsfaktor $b=2$ ist. Wir müssen nun die Variablen nur noch in die Funktionsgleichung einsetzen. So kommen wir auf die Gleichung.
Wenn die Bevölkerung aber nun nicht wächst sondern schrumpft, müssen wir für den Faktor b eine Zahl kleiner als 1 einsetzen.
- Wir betrachten den Anfangswert a, der mit zunehmenden x kleiner werden soll. Damit das klappt müssen wir a mit einer immer kleiner werdenden Zahl multiplizieren. Da eine Zahl größer als 1 jedoch immer größer wird, wenn wir sie potenzieren, muss sie kleiner als 1 gewählt sein. Auf diese Art können wir einen Prozess der Abnahme beschreiben.
- Wie oben gezeigt ist der Wachstumsfaktor gleich 2, wenn die sich Bevölkerung verdoppeln soll. Wenn sich die Bevölkerung nun halbieren soll, muss der Wachstumsfaktor $\frac{1}{2}$ sein. Wir sehen das am Besten, wenn wir den Anfangswert betrachten. Am Anfang sind es 4 Menschen. Wenn nach einem Jahr nur noch die Hälfte da sein soll, können wir den Anfangswert einfach mit $\frac {1}{2}$ multiplizieren. So kommen wir auf 2 Menschen, was ja die Hälfte von 4 ist.
Allgemein können wir also sagen:
Ist $b>1$ sprechen wir von einem Wachstumsprozess.
- Wie wir oben gezeigt haben, wachsen Funktionen, wenn sie einen Wachstumsfaktor größer als 1 haben. Wir sprechen dann von einem Wachstumsprozess.
- Funktionen mit $b<1$ werden mit steigendem x kleiner. Zu diesem Vorgang sagen wir auch Abnahmeprozess oder Zerfallsprozess.
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Beschreibe die richtigen Eigenschaften für die angegebene Exponentialfunktion.
TippsSetze $x=0$ in die Funktion ein, wenn du den Anfangswert nicht direkt ablesen kannst.
Es liegt ein Wachstumsprozess vor, wenn die Funktion mit steigendem x-Wert größer wird.
Es liegt ein Abnahmeprozess vor, wenn die Funktion mit steigendem x-Wert kleiner wird.
LösungWir betrachten die Funktion $f(x)=3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large x}$.
Wir können den Anfangswert in der Funktionsgleichung ablesen, wenn wir $f(0)$ ausrechnen. Der Anfangswert beschreibt, welche anfängliche Zahl wachsen oder schrumpfen soll. Wir berechnen:
$f(0)=3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large 0} = 3 \cdot 1 = 3$.
Denn für eine belibige Zahl c gilt die Gleichung $c^0=1$. Der Anfangwert ist somit also 3.
Der Faktor $\frac 12$ beschreibt den Wachstumsfaktor. Er gibt in der Gleichung an, wie die Funktion steigt oder fällt. In unserem Fall fällt sie. Wenn wir in den x-Werten steigen, fällt die Funktion bei jedem Schritt um den selben Faktor. In diesem Fall halbiert sich der Funktionswert also immer. Am Anfang für $x=0$ sind es noch 3. Im nächsten Schritt bei $x=1$ sind es dann nur noch 1,5. Davon die Hälfte sind dann noch 0,75 und so fällt die Funktion immer weiter.
Da wir jetzt schon wissen, dass der Wachstumsfaktor mit $\frac 1 2$ kleiner als 1 ist, handelt es sich hier also um einen Abnahmeprozess. Die Funktion fällt ja auch bei immer größer werdendem x.
Als letztes müssen wir noch den Funktionswert bei $x=3$ ausrechnen. Dazu setzen wir also ein:
$\begin{align} f(3) & = 3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large 3}\\& = 3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg) \cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg) \cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)\\ & = 3\cdot \dfrac {1}{8} = \frac 3 8=0{,}375. \end{align}$
Also haben wir zur Zeit $t=3$ den Bestand $f(3)=\frac 3 8$.
-
Prüfe, welche Art von Prozess vorliegt.
TippsLasse dich nicht von den verschiedenen Kenngrößen verwirren. Bestimme bei jeder Funktionsgleichung den Anfangswert und den Wachstumsfaktor.
Ob eine Funktion wächst oder fällt, kann man immer am Wachstumsfaktor ablesen.
Falls du es nicht auf Anhieb bestimmen kannst, setze die x-Werte $x=0$ und $x=1$ ein und überprüfe, ob die Funktionswerte steigen oder fallen.
LösungWenn wir überprüfen wollen, ob eine Funktion wächst oder fällt, untersuchen wir immer den Wachstumsfaktor.
- Wenn der Wachstumsfaktor größer ist als 1, dann wächst die Funktion.
- Wenn der Wachstumsfaktor kleiner ist als 1, dann fällt die Funktion.
- $f(x)=3\cdot 4^{\large x}$: Hier ist 3 der Anfangswert und 4 der Wachstumsfaktor. Da $4>1$ gilt, wächst diese Funktion. Wir können dies auch überprüfen, indem wir in die Funktionsgleichung $x=0$ und $x=1$ einsetzen. Wenn die Funktion wächst, muss der Funktionswert größer werden. Es gilt $f(0)=3\cdot 4^{\large 0}=3\cdot1=3$ und $f(1)=3\cdot 4^{\large 1}=3\cdot4=12$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess.
- $f(x)=0{,}7 \cdot 2^{\large x}$: Hier ist 0,7 der Anfangswert und 2 der Wachstumsfaktor. Da gilt $2>1$, wächst diese Funktion wieder. Auch dies können wir per Rechnung überprüfen, indem wir in die Funktionsgleichung $x=0$ und $x=1$ einsetzen. Wenn es sich um einen Wachstumsprozess handelt, muss der Funktionswert mit größer werdenden x-Wert ansteigen. Es gilt $f(0)=0{,}7 \cdot 2^{\large 0}=0{,}7$ und $f(1)=0{,}7 \cdot 2^{\large 1}=0{,}7\cdot2=1{,}4$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Wir dürfen uns nicht von einem Anfangswert verwirren lassen, wenn er kleiner als 1 ist. Selbst in diesem Fall kommt es auf den Wachstumsfaktor an.
- $N(t)=0{,}5 \cdot 8^{\large t}$: Hier ist 0,5 der Anfangswert und 8 der Wachstumsfaktor. Da gilt $8>1$, wächst auch diese Funktion an. Wir können dies auch wiederum überprüfen, indem wir in die Funktion $t=0$ und $t=1$ einsetzen. Wenn die Funktion wächst, müssen die Funktionswerte größer werden. Es gilt $N(0)=0{,}5 \cdot 8^{\large 0}=0{,}5\cdot1=0{,}5$ und $N(1)=0{,}5 \cdot 8^{\large 1}=0{,}5\cdot8=4$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Auch wenn wir $N(t)$ statt $f(x)$ schreiben, hat es keine Auswirkung auf die Art des Prozesses.
- $f(x)=5 \cdot 0{,}3^{\large x}$: Hier ist der Anfangswert 5 und der Wachstumsfaktor 0,3. Es gilt $0{,}3<1$ und in diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $x=0$ und $x=1$ setzen. Wenn hier der Funktionswert kleiner wird, handelt es sich wirklich um einen Abnahmeprozess. Wir rechnen also $f(0)=5 \cdot 0{,}3^{\large 0}=5\cdot1=5$ und $f(1)=5 \cdot 0{,}3^{\large 1}=5\cdot 0{,}3= 1{,}5$. Der Wert wird kleiner; also handelt es sich um einen Abnahmeprozess.
- $f(x)=0{,}2^{\large x}$: Hier ist der Anfangswert 1. Er ist nicht direkt zu erkennen, aber wir können die Gleichung auch so schreiben: $f(x)=1\cdot0{,}2^{\large x}$. Der Wachstumsfaktor ist 0,2, da $0{,}2<1$ gilt. In diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $x=0$ und $x=1$ setzen. Wir rechnen also $f(0)=1\cdot0{,}2^{\large 0}=1$ und $f(x)=1\cdot0{,}2^{\large 1}=1\cdot 0{,}2=0{,}2$. Der Wert wird also kleiner. Es handelt sich um einen Abnahmeprozess.
- $N(t)=3\cdot 0{,}6^{\large t}$: Hier ist der Anfangswert 3 und der Wachstumsfaktor 0,6. Es gilt $0{,}6<1$ und in diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $t=0$ und $t=1$ setzen. Wenn hier der Funktionswert kleiner wird, handelt es sich wirklich um einen Abnahmeprozess. Wir rechnen also $N(0)=3\cdot 0{,}6^{\large 0}=3\cdot 1$ und $N(1)=3\cdot 0{,}6^{\large 1}=3\cdot 0{,}6=1{,}8$. Auch dieser Wert wird also kleiner; damit haben wir wieder gezeigt, dass ein Abnahmeprozess vorliegt.
-
Ermittle die Bestände nach den gegebenen Zeiten.
TippsSetze die verschiedenen x-Werte in die Funktionsgleichungen und errechne so die Funktionswerte.
Im Anschluss sortierst du die Funktionsgleichungen entsprechend den berechneten Funktionswerten. Beginne mit der Funktionsgleichung mit dem größten Funktionswert.
LösungWir rechnen die einzelnen Bestände aus, indem wir die verschiedenen Werte von x einsetzen und dann die Funktionswerte ausrechnen.
Die einzelnen Bestände direkt sortiert aufgeschrieben, ergibt:
- Der Bestand von $f(x)=6\cdot4^x$ nach $x=3$: Wir setzen den Wert ein und erhalten so $f(3)=6\cdot4^3=6\cdot 64 =384$.
- Der Bestand von $f(x)=3\cdot3^x$ nach $x=3$: Den x-Wert können wir einfach einsetzen. Das Ergebnis ist dann $f(3)=3\cdot3^3=3\cdot 27=81$.
- Der Bestand von $f(x)=2\cdot4^x$ nach $x=2$: Wir setzen den Wert wieder in die Funktionsgleichung und bekommen so $f(2)=2\cdot4^2=2\cdot16=32$.
- Der Bestand von $f(x)=9\cdot(\frac {7}{9})^x$ nach $x=2$: Wenn wir den x-Wert in diese Gleichung einsetzen, bekommen wir $f(2)=9\cdot(\frac {7}{9})^2=9\cdot \frac {49}{81}=\frac{49}{9}=5,\overline{4}$.
- Der Bestand von $f(x)=1000\cdot(\frac {1}{3})^x$ nach $x=5$: Hier haben wir einen großen Anfangswert; wir rechnen aber wieder ganz normal $f(5)=1000\cdot(\frac {1}{3})^5=1000\cdot \frac{1}{243}=\frac{1000}{243}\approx 4{,}115$.
- Der Bestand von $f(x)=\frac{1}{2} \cdot2^x$ nach $x=2$: Auch hier rechnen wir ganz normal. Es gilt $f(2)=\frac{1}{2} \cdot2^2=\frac 1 2 \cdot4=2$.
- Der Bestand von $f(x)=7\cdot (\frac {1}{2})^x$ nach $x=3$: Wir errechnen das Ergebnis wieder durch Einsetzen als $f(3)=7\cdot (\frac {1}{2})^3=7\cdot \frac 1 8=\frac 7 8$.
-
Bestimme die Kenngrößen von Exponentialfunktionen.
TippsDu kannst den Anfangswert ausrechnen, indem du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt.
Mit dem Wachstumsfaktor wird angegeben, um welchen Faktor eine Funktion wächst oder fällt.
LösungDer Anfangswert beschreibt die Anfangssituation in der Funktion. Er gibt den Funktionswert an, mit welchem die Funktion startet. Darüberhinaus ist er der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wenn wir ihn nicht einfach ablesen können, können wir ihn auch ausrechnen, indem wir $x=0$ in die Funktion einsetzen. Dabei machen wir uns zu Nutze, dass für eine allgemeine Zahl c $c^0=1$ gilt. Wir rechnen also
- Erste Funktionsgleichung: $f(0)=a\cdot b^0=1\cdot 1=a$. Der Anfangswert ist also a.
- Zweite Funktionsgleichung: $f(0)=4\cdot 2^0=4\cdot1=4$. Der Anfangswert ist also 4.
- Dritte Funktionsgleichung: $f(0)= \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {0} \cdot 3=1\cdot3=3$. Der Anfangswert ist also 3.
Es gilt also für die
- Erste Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$: Die Basis zum Exponenten x ist b. Also wird a x-mal mit b multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also b.
- Zweite Funktionsgleichung $f(0)=4\cdot 2^x$. Die Basis zum Exponenten x ist 2. Also wird 4 x-mal mit 2 multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also 2 und der Anfangswert 4 wird in jedem Schritt immer weiter verdoppelt.
- Dritte Funktionsgleichung $f(0)=f(x)= \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large x} \cdot 3$: Die Basis zum Exponenten x ist $\dfrac {1}{2}$. Also wird 3 x-mal mit $\dfrac {1}{2}$ multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also $\dfrac {1}{2}$ und der Anfangswert 3 wird also in jedem Schritt immer weiter halbiert.
-
Bestimme die Wachstumsfaktoren der angegebenen Wachstumsfunktionen für die vorgegebene Anfangswerte.
TippsSetze für den unbekannten Wachstumsfaktor jeweils eine Variable fest. Setze im Anschluss den gegebenen x-Wert und Funktionswert ein und stelle nach der gesuchten Variable um.
LösungWir gehen im Prinzip immer gleich vor. Wir stellen die Gleichungen mit gegebenen x-Werten so um, dass wir auf die Lücken schließen können. Wir nehmen für die Lücken die Variable b, da wir ja auch immer den Wachstumsfaktor suchen.
- $f(x)=7 \cdot b^{\large x}$ ist die allgemeine Gleichung und wir wissen, dass $f(1)=21$ gilt. Wir setzen also ein und erhalten $f(1)=7\cdot b^1=21$. Dann stellen wir um, indem wir die Gleichung durch 7 teilen $b^1=21 : 7$. Jedoch gilt $b^1=b$; also lautet die Gleichung $b=21 : 7=3$. Damit lautet die Funktionsgleichung $f(x)=7 \cdot 3^{\large x}$.
- $ f(x)=3 \cdot b^{\large x}$ ist die Gleichung mit dem gesuchten Wachstumsfaktor. Es ist $f(3)=192$ gegeben, was wir nutzen, indem wir es in die Funktionsgleichung einsetzen: $f(3)=3 \cdot b^{\large 3}=192$. Wir stellen die Gleichung wieder nach b um und bekommen so $b=\sqrt[3]{\frac {192}{3}}=4$. Somit ist unsere Funktionsgleichung $ f(x)=3 \cdot 4^{\large x}$.
- $f(x)=0{,}5 \cdot b^{\large x}$ ist die Funktionsgleichung. Mit $f(2)=12{,}5$ erhalten wir $f(2)=0{,}5 \cdot b^2=12{,}5$. Wir stellen wieder nach b um und erhalten $b=\sqrt{12{,}5 : 0{,}5} = 5 $. Somit können wir die allgemeine Funktionsgleichung $ f(x)=0{,}5 \cdot 5^{\large x}$ aufstellen.
- $f(x)=2 \cdot b^{\large x}$ ist die Gleichung. Wir haben $f(5)=0{,}00064$, was wir wieder einsetzen können. Wir bekommen so $f(5)=2 \cdot b^5=0{,}00064$. Diese Gleichung stellen wir wieder nach b um und rechnen $b=\sqrt[5]{0{,}00064 : 2} = 0{,}2$. Nun kann die Funktionsgleichung wieder aufgestellt werden: $f(x)=2 \cdot 0{,}2^{\large x}$.
- $f(x)=0{,}2 \cdot b^{\large x}$ muss wieder untersucht werden. Wir haben die Information $f(3)=0{,}025$, womit wir $f(3)=0{,}2 \cdot b^3=0{,}025$ aufstellen können. Wir stellen die Gleichung wieder nach b und erhalten $b=\sqrt[3]{0{,}025 : 0{,}2}=0{,}5$. Nun können wir die Gleichung wieder aufstellen: $f(x)=0{,}2 \cdot 0{,}5^{\large x}$.
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Hallo Fhoffmann1,
in den Beispielfunktionen im Video steht das x ja immer für Jahre. Das wurde so festgelegt. D.h. x = 1 heißt Bestand nach 1 Jahr, x = 2 heißt Bestand nach 2 Jahren usw. Wenn man nun den Bestand nach 2 Wochen wissen möchte, muss man also 2 Wochen in Jahren ausdrücken. Du musst also 2 Wochen (oder 14 Tage) in Jahre umrechnen. Ein Jahr hat 365 Tage. Also sind 14 Tage 14/365 Jahre oder ungefähr 0,038 Jahre. Diese Zahl müsstest du dann für x einsetzen.
Generell hängt es immer von der Aufgabenstellung ab. Es kann ja auch sein, dass man eine Wachstumsfunktion hat, bei der das x nicht für Jahre sondern für Minuten, Stunden oder für Tage steht. Dies muss in der Aufgabenstellung immer angegeben sein, wenn es sich um eine Textaufgabe handelt.
Hätte man die Funktion f(x) = 20 * 1,5 hoch x und das x stünde für Tage, dann müsste man, wenn man den Bestand nach 2 Wochen wissen möchte, für x = 14 einsetzen (weil 14 Tage = 2 Wochen sind).
Ich hoffe, ich konnte dir helfen! Viel Erfolg noch!
Steve
hi:) sehr gutes video hätte da eine Frage, welche Zahl muss ich bie 2 Wochen einsetzen also für x?