Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1)

Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (1) Übung

• Beschreibe, wie man Kenngrößen bestimmt.

  Tipps

  Wie sieht die Funktion $f(x)=a\cdot b^x$ am Anfang zum Zeitpunkt $x=0$ aus? Vergiss nicht, dass $b^0=1$ gilt.

  Mit was muss a multipliziert werden, damit sie größer oder kleiner wird?

  Vergleiche die Funktionen $y=\left( \frac{1}{2}\right)^x$ und $y=2^x$ miteinander.

  Lösung

  Betrachten wir als erstes die allgemeine Funktion $f(x)=a\cdot b^x$. Sie wird teilweise auch $N(t)=a\cdot b^t$ geschrieben, um zu zeigen, dass die Funktion von der Zeit t abhängt. Solche Wachstumsfunktionen hängen in der Regel immer von der Zeit ab.

  • Die Bezeichnung Wachstumsfunktionen wird im allgemeinen immer verwendet, wenn wir eine solche Exponentialfunktion haben. Das gilt besonders dann, wenn die von der Zeit abhängt.

  Der Faktor a steht hierbei für den Anfangswert. Wenn wir uns zum Beispiel eine Bevölkerung von 4 Menschen hat, ist 4 unser Startwert.

  • Der Anfangswert beschreibt, wie die Funktion zum Startwert aussieht. Setzen wir die Startzeit $x=0$ in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir $4=f(0)=a\cdot b^0=a\cdot 1=a$.

  Die Variable b ist hierbei unser Wachstumsfaktor. Er gibt an wie stark a pro Zeiteinheit wächst.

  • Der Wachstumsfaktor gibt an, wie stark der Anfangswert ansteigt. Dieser Wachstumsfaktor wird auch immer mit x potenziert, da so eine exponentieller Anstieg beschrieben werden kann.

  In unserem Beispiel ist der Wachstumsfaktor 2, da sich die Bevölkerung jedes Jahr verdoppeln soll.

  • Die Größe der Bevölkerung soll sich jedes Jahr um den Faktor 2 erhöhen. Die Anzahl an Menschen verdoppelt sich so jedes Jahr. Wenn wir also am Anfang 4 Menschen haben, sind es nach einem Jahr schon 8. Wenn ein Jahr vergangen ist, verdoppelt sich die Anzahl aber wieder. Es kommen also nicht nur wieder 4 hinzu, sondern dieses mal 8. Im Jahr Nummer 2 sind wir also schon bei 16 Menschen. Diese Anzahl verdoppelt sich im dritten Jahr wieder auf 32 und so geht es immer weiter.

  Wir können die fertige Funktionsgleichung jetzt zusammensetzen $f(x)=$ 4 $\cdot$ 2 $^ {\large x}$.

  • Wir wissen schon, dass hier der Anfangswert $a=4$ und der Wachstumsfaktor $b=2$ ist. Wir müssen nun die Variablen nur noch in die Funktionsgleichung einsetzen. So kommen wir auf die Gleichung.

  Wie hier zu sehen ist, wächst die Bevölkerung also an. Es wird jedes Jahr mehr. Nach dem ersten Jahr sind es schon 8 Menschen und nach einem weiteren Jahr schon 16.

  Wenn die Bevölkerung aber nun nicht wächst sondern schrumpft, müssen wir für den Faktor b eine Zahl kleiner als 1 einsetzen.

  • Wir betrachten den Anfangswert a, der mit zunehmenden x kleiner werden soll. Damit das klappt müssen wir a mit einer immer kleiner werdenden Zahl multiplizieren. Da eine Zahl größer als 1 jedoch immer größer wird, wenn wir sie potenzieren, muss sie kleiner als 1 gewählt sein. Auf diese Art können wir einen Prozess der Abnahme beschreiben.

  Die Bevölkerung soll sich zum Beispiel jedes Jahr halbieren, dann ist der Wachstumsfaktor $\mathbf {\frac {1}{2}}$.

  • Wie oben gezeigt ist der Wachstumsfaktor gleich 2, wenn die sich Bevölkerung verdoppeln soll. Wenn sich die Bevölkerung nun halbieren soll, muss der Wachstumsfaktor $\frac{1}{2}$ sein. Wir sehen das am Besten, wenn wir den Anfangswert betrachten. Am Anfang sind es 4 Menschen. Wenn nach einem Jahr nur noch die Hälfte da sein soll, können wir den Anfangswert einfach mit $\frac {1}{2}$ multiplizieren. So kommen wir auf 2 Menschen, was ja die Hälfte von 4 ist.

  Nach dem ersten Jahr wären aus den 4 Menschen dann 2 geworden und nach einem weiteren Jahr dann 1.

  Allgemein können wir also sagen:

  Ist $b>1$ sprechen wir von einem Wachstumsprozess.

  • Wie wir oben gezeigt haben, wachsen Funktionen, wenn sie einen Wachstumsfaktor größer als 1 haben. Wir sprechen dann von einem Wachstumsprozess.

  Ist $b<1$ sprechen wir von einem Abnahmeprozess.

  • Funktionen mit $b<1$ werden mit steigendem x kleiner. Zu diesem Vorgang sagen wir auch Abnahmeprozess oder Zerfallsprozess.

• Beschreibe die richtigen Eigenschaften für die angegebene Exponentialfunktion.

  Tipps

  Setze $x=0$ in die Funktion ein, wenn du den Anfangswert nicht direkt ablesen kannst.

  Es liegt ein Wachstumsprozess vor, wenn die Funktion mit steigendem x-Wert größer wird.

  Es liegt ein Abnahmeprozess vor, wenn die Funktion mit steigendem x-Wert kleiner wird.

  Lösung

  Wir betrachten die Funktion $f(x)=3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large x}$.

  Wir können den Anfangswert in der Funktionsgleichung ablesen, wenn wir $f(0)$ ausrechnen. Der Anfangswert beschreibt, welche anfängliche Zahl wachsen oder schrumpfen soll. Wir berechnen:

  $f(0)=3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large 0} = 3 \cdot 1 = 3$.

  Denn für eine belibige Zahl c gilt die Gleichung $c^0=1$. Der Anfangwert ist somit also 3.

  Der Faktor $\frac 12$ beschreibt den Wachstumsfaktor. Er gibt in der Gleichung an, wie die Funktion steigt oder fällt. In unserem Fall fällt sie. Wenn wir in den x-Werten steigen, fällt die Funktion bei jedem Schritt um den selben Faktor. In diesem Fall halbiert sich der Funktionswert also immer. Am Anfang für $x=0$ sind es noch 3. Im nächsten Schritt bei $x=1$ sind es dann nur noch 1,5. Davon die Hälfte sind dann noch 0,75 und so fällt die Funktion immer weiter.

  Da wir jetzt schon wissen, dass der Wachstumsfaktor mit $\frac 1 2$ kleiner als 1 ist, handelt es sich hier also um einen Abnahmeprozess. Die Funktion fällt ja auch bei immer größer werdendem x.

  Als letztes müssen wir noch den Funktionswert bei $x=3$ ausrechnen. Dazu setzen wir also ein:

  $\begin{align} f(3) & = 3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large 3}\\& = 3\cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg) \cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg) \cdot \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)\\ & = 3\cdot \dfrac {1}{8} = \frac 3 8=0{,}375. \end{align}$

  Also haben wir zur Zeit $t=3$ den Bestand $f(3)=\frac 3 8$.

• Prüfe, welche Art von Prozess vorliegt.

  Tipps

  Lasse dich nicht von den verschiedenen Kenngrößen verwirren. Bestimme bei jeder Funktionsgleichung den Anfangswert und den Wachstumsfaktor.

  Ob eine Funktion wächst oder fällt, kann man immer am Wachstumsfaktor ablesen.

  Falls du es nicht auf Anhieb bestimmen kannst, setze die x-Werte $x=0$ und $x=1$ ein und überprüfe, ob die Funktionswerte steigen oder fallen.

  Lösung

  Wenn wir überprüfen wollen, ob eine Funktion wächst oder fällt, untersuchen wir immer den Wachstumsfaktor.

  1. Wenn der Wachstumsfaktor größer ist als 1, dann wächst die Funktion.
  2. Wenn der Wachstumsfaktor kleiner ist als 1, dann fällt die Funktion.

  Wir sprechen die einzelnen Funktionen der Reihe nach durch

  • $f(x)=3\cdot 4^{\large x}$: Hier ist 3 der Anfangswert und 4 der Wachstumsfaktor. Da $4>1$ gilt, wächst diese Funktion. Wir können dies auch überprüfen, indem wir in die Funktionsgleichung $x=0$ und $x=1$ einsetzen. Wenn die Funktion wächst, muss der Funktionswert größer werden. Es gilt $f(0)=3\cdot 4^{\large 0}=3\cdot1=3$ und $f(1)=3\cdot 4^{\large 1}=3\cdot4=12$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess.

  • $f(x)=0{,}7 \cdot 2^{\large x}$: Hier ist 0,7 der Anfangswert und 2 der Wachstumsfaktor. Da gilt $2>1$, wächst diese Funktion wieder. Auch dies können wir per Rechnung überprüfen, indem wir in die Funktionsgleichung $x=0$ und $x=1$ einsetzen. Wenn es sich um einen Wachstumsprozess handelt, muss der Funktionswert mit größer werdenden x-Wert ansteigen. Es gilt $f(0)=0{,}7 \cdot 2^{\large 0}=0{,}7$ und $f(1)=0{,}7 \cdot 2^{\large 1}=0{,}7\cdot2=1{,}4$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Wir dürfen uns nicht von einem Anfangswert verwirren lassen, wenn er kleiner als 1 ist. Selbst in diesem Fall kommt es auf den Wachstumsfaktor an.

  • $N(t)=0{,}5 \cdot 8^{\large t}$: Hier ist 0,5 der Anfangswert und 8 der Wachstumsfaktor. Da gilt $8>1$, wächst auch diese Funktion an. Wir können dies auch wiederum überprüfen, indem wir in die Funktion $t=0$ und $t=1$ einsetzen. Wenn die Funktion wächst, müssen die Funktionswerte größer werden. Es gilt $N(0)=0{,}5 \cdot 8^{\large 0}=0{,}5\cdot1=0{,}5$ und $N(1)=0{,}5 \cdot 8^{\large 1}=0{,}5\cdot8=4$. Der Wert steigt also und damit handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Auch wenn wir $N(t)$ statt $f(x)$ schreiben, hat es keine Auswirkung auf die Art des Prozesses.

  • $f(x)=5 \cdot 0{,}3^{\large x}$: Hier ist der Anfangswert 5 und der Wachstumsfaktor 0,3. Es gilt $0{,}3<1$ und in diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $x=0$ und $x=1$ setzen. Wenn hier der Funktionswert kleiner wird, handelt es sich wirklich um einen Abnahmeprozess. Wir rechnen also $f(0)=5 \cdot 0{,}3^{\large 0}=5\cdot1=5$ und $f(1)=5 \cdot 0{,}3^{\large 1}=5\cdot 0{,}3= 1{,}5$. Der Wert wird kleiner; also handelt es sich um einen Abnahmeprozess.

  • $f(x)=0{,}2^{\large x}$: Hier ist der Anfangswert 1. Er ist nicht direkt zu erkennen, aber wir können die Gleichung auch so schreiben: $f(x)=1\cdot0{,}2^{\large x}$. Der Wachstumsfaktor ist 0,2, da $0{,}2<1$ gilt. In diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $x=0$ und $x=1$ setzen. Wir rechnen also $f(0)=1\cdot0{,}2^{\large 0}=1$ und $f(x)=1\cdot0{,}2^{\large 1}=1\cdot 0{,}2=0{,}2$. Der Wert wird also kleiner. Es handelt sich um einen Abnahmeprozess.

  • $N(t)=3\cdot 0{,}6^{\large t}$: Hier ist der Anfangswert 3 und der Wachstumsfaktor 0,6. Es gilt $0{,}6<1$ und in diesem Fall handelt es sich also um einen Abnahmeprozess. Auch dies überprüfen wir, indem wir $t=0$ und $t=1$ setzen. Wenn hier der Funktionswert kleiner wird, handelt es sich wirklich um einen Abnahmeprozess. Wir rechnen also $N(0)=3\cdot 0{,}6^{\large 0}=3\cdot 1$ und $N(1)=3\cdot 0{,}6^{\large 1}=3\cdot 0{,}6=1{,}8$. Auch dieser Wert wird also kleiner; damit haben wir wieder gezeigt, dass ein Abnahmeprozess vorliegt.

• Ermittle die Bestände nach den gegebenen Zeiten.

  Tipps

  Setze die verschiedenen x-Werte in die Funktionsgleichungen und errechne so die Funktionswerte.

  Im Anschluss sortierst du die Funktionsgleichungen entsprechend den berechneten Funktionswerten. Beginne mit der Funktionsgleichung mit dem größten Funktionswert.

  Lösung

  Wir rechnen die einzelnen Bestände aus, indem wir die verschiedenen Werte von x einsetzen und dann die Funktionswerte ausrechnen.

  Die einzelnen Bestände direkt sortiert aufgeschrieben, ergibt:

  1. Der Bestand von $f(x)=6\cdot4^x$ nach $x=3$: Wir setzen den Wert ein und erhalten so $f(3)=6\cdot4^3=6\cdot 64 =384$.
  2. Der Bestand von $f(x)=3\cdot3^x$ nach $x=3$: Den x-Wert können wir einfach einsetzen. Das Ergebnis ist dann $f(3)=3\cdot3^3=3\cdot 27=81$.
  3. Der Bestand von $f(x)=2\cdot4^x$ nach $x=2$: Wir setzen den Wert wieder in die Funktionsgleichung und bekommen so $f(2)=2\cdot4^2=2\cdot16=32$.
  4. Der Bestand von $f(x)=9\cdot(\frac {7}{9})^x$ nach $x=2$: Wenn wir den x-Wert in diese Gleichung einsetzen, bekommen wir $f(2)=9\cdot(\frac {7}{9})^2=9\cdot \frac {49}{81}=\frac{49}{9}=5,\overline{4}$.
  5. Der Bestand von $f(x)=1000\cdot(\frac {1}{3})^x$ nach $x=5$: Hier haben wir einen großen Anfangswert; wir rechnen aber wieder ganz normal $f(5)=1000\cdot(\frac {1}{3})^5=1000\cdot \frac{1}{243}=\frac{1000}{243}\approx 4{,}115$.
  6. Der Bestand von $f(x)=\frac{1}{2} \cdot2^x$ nach $x=2$: Auch hier rechnen wir ganz normal. Es gilt $f(2)=\frac{1}{2} \cdot2^2=\frac 1 2 \cdot4=2$.
  7. Der Bestand von $f(x)=7\cdot (\frac {1}{2})^x$ nach $x=3$: Wir errechnen das Ergebnis wieder durch Einsetzen als $f(3)=7\cdot (\frac {1}{2})^3=7\cdot \frac 1 8=\frac 7 8$.

• Bestimme die Kenngrößen von Exponentialfunktionen.

  Tipps

  Du kannst den Anfangswert ausrechnen, indem du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Mit dem Wachstumsfaktor wird angegeben, um welchen Faktor eine Funktion wächst oder fällt.

  Lösung

  Der Anfangswert beschreibt die Anfangssituation in der Funktion. Er gibt den Funktionswert an, mit welchem die Funktion startet. Darüberhinaus ist er der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wenn wir ihn nicht einfach ablesen können, können wir ihn auch ausrechnen, indem wir $x=0$ in die Funktion einsetzen. Dabei machen wir uns zu Nutze, dass für eine allgemeine Zahl c $c^0=1$ gilt. Wir rechnen also

  • Erste Funktionsgleichung: $f(0)=a\cdot b^0=1\cdot 1=a$. Der Anfangswert ist also a.
  • Zweite Funktionsgleichung: $f(0)=4\cdot 2^0=4\cdot1=4$. Der Anfangswert ist also 4.
  • Dritte Funktionsgleichung: $f(0)= \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {0} \cdot 3=1\cdot3=3$. Der Anfangswert ist also 3.

  Nun müssen wir noch die Wachstumsfaktoren bestimmen. Der Wachstumsfaktor gibt an, wie die Funktion steigt oder fällt. Er ist die Basis zum Exponenten x. Der Wachstumsfaktor wird mit dem Anfangswert multipliziert und zwar so oft, wie es der Wert von x angibt.

  Es gilt also für die

  • Erste Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$: Die Basis zum Exponenten x ist b. Also wird a x-mal mit b multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also b.
  • Zweite Funktionsgleichung $f(0)=4\cdot 2^x$. Die Basis zum Exponenten x ist 2. Also wird 4 x-mal mit 2 multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also 2 und der Anfangswert 4 wird in jedem Schritt immer weiter verdoppelt.
  • Dritte Funktionsgleichung $f(0)=f(x)= \bigg(\dfrac {1}{2} \bigg)^ {\large x} \cdot 3$: Die Basis zum Exponenten x ist $\dfrac {1}{2}$. Also wird 3 x-mal mit $\dfrac {1}{2}$ multipliziert. Der Wachstumsfaktor ist also $\dfrac {1}{2}$ und der Anfangswert 3 wird also in jedem Schritt immer weiter halbiert.

• Bestimme die Wachstumsfaktoren der angegebenen Wachstumsfunktionen für die vorgegebene Anfangswerte.

  Tipps

  Setze für den unbekannten Wachstumsfaktor jeweils eine Variable fest. Setze im Anschluss den gegebenen x-Wert und Funktionswert ein und stelle nach der gesuchten Variable um.

  Lösung

  Wir gehen im Prinzip immer gleich vor. Wir stellen die Gleichungen mit gegebenen x-Werten so um, dass wir auf die Lücken schließen können. Wir nehmen für die Lücken die Variable b, da wir ja auch immer den Wachstumsfaktor suchen.

  1. $f(x)=7 \cdot b^{\large x}$ ist die allgemeine Gleichung und wir wissen, dass $f(1)=21$ gilt. Wir setzen also ein und erhalten $f(1)=7\cdot b^1=21$. Dann stellen wir um, indem wir die Gleichung durch 7 teilen $b^1=21 : 7$. Jedoch gilt $b^1=b$; also lautet die Gleichung $b=21 : 7=3$. Damit lautet die Funktionsgleichung $f(x)=7 \cdot 3^{\large x}$.
  2. $ f(x)=3 \cdot b^{\large x}$ ist die Gleichung mit dem gesuchten Wachstumsfaktor. Es ist $f(3)=192$ gegeben, was wir nutzen, indem wir es in die Funktionsgleichung einsetzen: $f(3)=3 \cdot b^{\large 3}=192$. Wir stellen die Gleichung wieder nach b um und bekommen so $b=\sqrt[3]{\frac {192}{3}}=4$. Somit ist unsere Funktionsgleichung $ f(x)=3 \cdot 4^{\large x}$.
  3. $f(x)=0{,}5 \cdot b^{\large x}$ ist die Funktionsgleichung. Mit $f(2)=12{,}5$ erhalten wir $f(2)=0{,}5 \cdot b^2=12{,}5$. Wir stellen wieder nach b um und erhalten $b=\sqrt{12{,}5 : 0{,}5} = 5 $. Somit können wir die allgemeine Funktionsgleichung $ f(x)=0{,}5 \cdot 5^{\large x}$ aufstellen.
  4. $f(x)=2 \cdot b^{\large x}$ ist die Gleichung. Wir haben $f(5)=0{,}00064$, was wir wieder einsetzen können. Wir bekommen so $f(5)=2 \cdot b^5=0{,}00064$. Diese Gleichung stellen wir wieder nach b um und rechnen $b=\sqrt[5]{0{,}00064 : 2} = 0{,}2$. Nun kann die Funktionsgleichung wieder aufgestellt werden: $f(x)=2 \cdot 0{,}2^{\large x}$.
  5. $f(x)=0{,}2 \cdot b^{\large x}$ muss wieder untersucht werden. Wir haben die Information $f(3)=0{,}025$, womit wir $f(3)=0{,}2 \cdot b^3=0{,}025$ aufstellen können. Wir stellen die Gleichung wieder nach b und erhalten $b=\sqrt[3]{0{,}025 : 0{,}2}=0{,}5$. Nun können wir die Gleichung wieder aufstellen: $f(x)=0{,}2 \cdot 0{,}5^{\large x}$.