Distributivgesetz mit negativen Zahlen (2)

Distributivgesetz mit negativen Zahlen (2) Übung

• Beschreibe, wie der Term mit Hilfe des Distributivgesetzes umgeformt werden kann.

  Tipps

  Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Schreibe den obigen Term unter das Distributivgesetz und entscheide, was $a$, was $b$ und was $c$ ist.

  Ersetze auf der rechten Seite $a$, $b$ und $c$ entsprechend.

  Lösung

  Gegeben ist die Multiplikationsaufgabe $(-3+1)\cdot 5$.

  Man kann das Distributivgesetz anwenden, indem man sich zunächst klarmacht, dass

  • $a=-3$,
  • $b=1$ und
  • $c=5$ ist.

  Nun können diese auf der rechten Seite eingesetzt werden. Dies führt zu

  $(-3+1)\cdot 5=-3\cdot 5+1\cdot 5$.

  Man kann natürlich jetzt auch weiter rechnen:

  $(-3+1)\cdot 5=-3\cdot 5+1\cdot 5=-15+5=-10$.

  Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man zuerst den Term in der Klammer ausrechnet und dann multipliziert.

  $(-3+1)\cdot 5=-2\cdot 5=-10$.

• Stelle graphisch die Bedeutung des Distributivgesetzes dar.

  Tipps

  Das Distributivgesetz lautet $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Du kannst dir die Additon und Subtraktion von Zahlen am Zahlenstrahl klarmachen.

  Der rote Pfeil zeigt $1$ an und der violette $-3$.

  Lösung

  Oberhalb des Zahlenstrahls ist das obige der beiden Bilder zu sehen. In der Klammer steht links vom Gleichheitszeichen $(-3+1)\cdot5$. Das bedeutet:

  • Gehe $3$ Schritte nach links, ausgedrückt durch den violetten Pfeil, und $1$ Schritt nach rechts, der rote Pfeil.
  • Dies wird insgesamt fünfmal durchgeführt und man kommt so zu $-10$.

  Unterhalb des Zahlenstrahls ist das untere der beiden Bilder zu erkennen:

  • Man geht fünfmal $3$ Schritte nach links und von dort
  • fünfmal $1$ nach rechts.
  • Auch hier kommt man zu $-10$.

• Entscheide, welche der Darstellungen am Zahlenstrahl zu der Aufgabe gehören.

  Tipps

  Der violette Pfeil steht für $-4$ und der rote für $2$.

  Du kannst das Ergebnis berechnen. Dies muss auch an dem Zahlenstrahl erkennbar sein.

  Es ist sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichung zu sehen.

  Lösung

  Hier sind die beiden richtigen Darstellungen zu sehen:

  • Entweder geht man $4$ nach links und $2$ nach rechts, und das dreimal (dies entspricht der linken Seite der obigen Gleichung), oder
  • man geht dreimal $4$ nach links und dann dreimal $2$ nach rechts (dies entspricht der rechten Seite der obigen Gleichung).

  Beide Male kommt man zu dem gleichen Ergebnis: $-6$.

• Wende bei den folgenden Beispielen das Distributivgesetz an.

  Tipps

  Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Mache dir jeweils $a$, $b$ und $c$ klar.

  Schreibe gegebenenfalls hierfür den gegebenen Term unter das Distributivgesetz.

  Lösung

  Um das Distributivgesetz anzuwenden, macht man sich jeweils klar, was $a$, $b$ und $c$ ist:

  • $(-2+3)\cdot 4$: Hier ist $a=-2$, $b=3$ und $c=4$: $(-2+3)\cdot 4=-2\cdot4+3\cdot 4=-8+12=4$.
  • $(6-3)\cdot 2$: Hier ist $a=6$, $b=-3$ und $c=2$: $(6-3)\cdot 2=6\cdot2-3\cdot2=12-6=6$.
  • $(-4+2)\cdot 2$: Hier ist $a=-4$, $b=2$ und $c=2$: $(-4+2)\cdot 2=-4\cdot 2+2\cdot 2=-8+4=-4$.
  • $(5-3)\cdot4$: Hier ist $a=5$, $b=-3$ und $c=4$: $(5-3)\cdot 4=5\cdot4-3\cdot4=20- 12=8$.

• Gib das Distributivgesetz an.

  Tipps

  Es gibt auch ein Kommutativgesetz. Dieses besagt, dass man bei der Addition die Summanden und bei der Multiplikation die Faktoren vertauschen kann.

  Es gilt die Vorfahrtregel: Klammer geht vor Punkt.

  Fünf der sechs abgebildeten Terme stellen ein wichtiges mathematisches Gesetz dar.

  Lösung

  Das Distributivgesetz ist ein Gesetz, welches erklärt, wie ein Produkt berechnet werden kann, wenn einer der Faktoren ein Klammerterm ist:

  $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Es gibt noch weitere Gesetze, welche man sich einprägen kann:

  • Das Assoziativgesetz: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot( b\cdot c)$ für die Multiplikation oder $(a+ b)+ c=a+( b+ c)$ für die Addition.
  • Das Kommutativgesetz: $a\cdot b=b\cdot a$ für die Multiplikation oder $a+ b=b+ a$ für die Addition.

• Berechne das Ergebnis.

  Tipps

  Vergiss die Vorzeichen nicht.

  Es gilt Minus mal Minus gleich Plus.

  Lösung

  Kann man das Distributivgesetz auch anwenden, wenn so viele Minuszeichen vorkommen?

  Klar. Man muss die Vorzeichen immer mit aufschreiben.

  Erst einmal ist $a=-2$, $b=-1$ und $c=-3$. Somit ist

  $(-2-1)\cdot (-3)=-2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-3)$.

  Da Minus mal Minus Plus ergibt, erhält man

  $(-2-1)\cdot (-3)=-2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-3)=6+3=9$.

  Dieses Ergebnis hätte man auch erhalten, wenn man zunächst den Term in der Klammer berechnet hätte:

  $(-2-1)\cdot (-3)=-3\cdot(-3)=9$.