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Cosinus, Tangens, Cotangens – Definition 06:51 min

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Transkript Cosinus, Tangens, Cotangens – Definition

Hallo!   Nachdem wir jetzt wissen, was der Sinus ist - also der Quotient Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse (gemeint sind natürlich die  Seitenlängen) - möchte ich mit den weiteren Definitionen voranschreiten.   Es gibt ja noch den Kosinus. Der Kosinus des Winkels α (in Gelb dargestellt) ist folgendermaßen definiert: Ankathete geteilt durch Hypotenuse. Dieses Seitenverhältnis hat einen besonderen Namen: Es heißt der Kosinus von α. Es hängt natürlich davon ab, wie groß der Winkel α ist. Hier kann ich es noch mal zeigen: vom gelben Winkel aus gesehen ist die Ankathete blau, und Hypotenuse ist rot. Seitenlänge Blau geteilt durch Seitenlänge rot ist der Kosinus dieses Winkels. Übrigens, wenn man einen anderen Winkel nimmt - man könnte auch diesen Winkel hier nehmen - dann ist diese grüne Seite die Ankathete und die rote Seite ist nach wie vor die Hypotenuse. Also das ist ein anderer Winkel als der hier, und das Seitenverhältnis ist auch ein anderes, das heißt, wenn ich diese Seitenlänge durch diese hier teile, kommt natürlich eine andere Zahl raus. Was die Ankathete ist, liegt also daran, wo der Winkel gerade ist, man betrachtet es immer von diesem Winkel aus.   Dann gibt es noch den Tangens von α - tan geschrieben. Und das ist auch ein Seitenverhältnis, nämlich Gegenkathete geteilt durch Ankathete. In dem Fall hier ist die Ankathete die, die dem Winkel α gegenüberliegt, die Gegenkathete ist hier am α-Winkel dran: Diese Seite geteilt durch diese Seite ist der tan (α). Hier könnte man also sagen: Seitenlänge der grünen Seite geteilt durch Seitenlänge der blauen Seite ist der tan (α). Immer wenn ein rechtwinkliges Dreieck einen solchen Winkel hat, dann ist dieses Seitenverhältnis hier gleich, deshalb hat es einen besonderen Namen - es heißt tan(α), vorausgesetzt, dieser Winkel heißt α. Es gibt ja auch andere Namen für Winkel, und wenn der Winkel β heißt, dann heißt der Tangens β.   Was gibt es noch? Es gibt noch den Cotangens, und in manchen Schulen wird er nicht behandelt. Ich zeige ihn der Vollständigkeit halber - wenn du meinst, du möchtest dich nicht verwirren lassen und ihn nicht gemacht hast, dann kannst du jetzt ausmachen, denn ich sage jetzt nur noch etwas zum Cotangens und einer Merkregel (die allerdings ein bisschen lustig ist, wie ich finde). Der Cotangens ist definiert als das Verhältnis als Ankathete geteilt durch (man ahnt es schon) Gegenkathete, und wie du vielleicht direkt bemerkst, ist der Cotangens der Kehrwert des Tangens, und der Tangens ist der Kehrwert des Cotangens. Deshalb könnte man das weglassen, aber jetzt weißt du, was es ist.   Es gibt noch eine Merkregel. Was ist was, wann muss ich welche Seite durch welche teilen? Interessanterweise können sich viele Schüler die Reihenfolge merken, nämlich Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens, und was man jeweils teilen muss, kommt jetzt hier drunter. Und zwar muss man beim Sinus die Gegenkathete durch die Hypotenuse teilen, beim Kosinus muss man die Ankathete durch die Hypotenuse teilen, beim Tangens die Gegenkathete durch die Ankathete, und beim Cotangens die Ankathete durch die Gegenkathete.   Und wenn man das jetzt so aufschreibt:   sin cos tan cot G   A    G A H   H   A G

entsteht hier die "Gaga-Hummel-Hummel-AG". Die Gaga-Hummel-Hummel-AG - eine Merkregel, was man wann durch was teilen muss. Vielleicht kannst du das gebrauchen, vielleicht nicht, auf jeden Fall musst du dir bitte merken: was ist der Sinus, was ist der Kosinus, was ist der Tangens? Das musst du bitte auswendig wissen.   Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!  

8 Kommentare
  1. Die Zahl im Hintergrund hat sich verädert! Ich habe dich entlarvt!!!

    Von J Rosewich, vor mehr als einem Jahr
  2. Übung 2 ist etwas verwirrend,da man nicht weiss,wie man den Marker benutzen soll. Sonst top.

    Von Tina K, vor mehr als 3 Jahren
  3. @REDAKTION: Jetzt hab ichs gerafft, dankeschön.

    Von D Leiensetter, vor fast 4 Jahren
  4. @D Leiensetter: Wenn du dir einen Winkel (außer den rechten Winkel selbst) im rechtwinkligen Dreieck anschaust, dann gibt es eine Kathete, die direkt anliegt, die sogenannte Ankathete. Die gegenüberliegende Kathete wird Gegenkathete genannt. Der Begriff der Ankathete und Gegenkathete hängt also vom betrachteten Winkel ab. Mit der Gegenkathete zu alpha meine ich also z.B. die Kathete, die dem Winkel alpha gegenüberliegt. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  5. Danke für die Antwort, mir konnte damit aber leider nicht geholfen werden. Ich verstehe nicht dieses "zu". Da seh ich ne Unverständlichkeit drinne. Schon mal ein Dankeschön im Vorraus.

    Von D Leiensetter, vor fast 4 Jahren
  1. @D Leiensetter: Es sollte besser heißen: Sinus(alpha)=Gegenkathete zu alpha/Hypotenuse und Sinus(beta)=Gegenkathete zu beta/Hypotenuse. Dann erkennt man auch, dass die beiden Gegenkatheten nicht die gleichen Seiten sind. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  2. sinus alpha ist gegenkathete durch die hypotenuse.

    wenn ich jetzt aber sinus betha wissen möchte, bleibt dann auch gegenkathete durch hypotenuse stehen?

    Von D Leiensetter, vor fast 4 Jahren
  3. Als merkregel würde auch Gaga Hühner Hof AG gehen. ;-)

    Von Hanswockel3, vor fast 10 Jahren
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Cosinus, Tangens, Cotangens – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Cosinus, Tangens, Cotangens – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die Seiten in dem Dreieck.

    Tipps

    Die Seiten in einem Dreieck heißen entweder Hypotenuse oder Kathete.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden übrigen Winkel sind spitze Winkel. Jedem dieser Winkel liegt eine Kathete an und eine gegenüber.

    Lösung

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck nur eine Hypotenuse. In dem obigen Bild ist dies die rote Seite.

    Es gibt zwei Katheten. Im Bezug auf einen der beiden übrigen, spitzen, Winkel bezeichnet man diese als Gegen- oder Ankathete, je nachdem, ob sie dem Winkel gegenüber- oder anliegen.

    Somit ist die grüne Seite die Gegenkathete von $\alpha$ und die Ankathete von $\beta$.

    Die blaue Seite ist die Ankathete von $\alpha$ und die Gegenkathete von $\beta$.

  • Gib an, wie der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck definiert ist.

    Tipps

    In der Definition des Sinus wird eine Kathete und die Hypotenuse benötigt.

    Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und steht im Nenner.

    Achte darauf, von welchem Winkel du ausgehst. Dieser Winkel hat im rechtwinkligen Dreieck genau eine Gegen- und eine Ankathete.

    Geht man beispielsweise vom Winkel $\gamma$ aus, gibt es:

    • eine Ankathete zum Winkel $\gamma$ und
    • eine Gegenkathete zum Winkel $\gamma$.

    Lösung

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Längen der Gegenkathete von $\alpha$ zu der Hypotenuse:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    In dem Bild ist die Seite a die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ und die Seite b die Hypotenuse.

    Die Seite c liegt direkt am Winkel $\alpha$ an, also ist sie die Ankathete zum Winkel $\alpha$.

  • Beschreibe den Kosinus, Tangens und Kotangens.

    Tipps

    Du kannst dir merken, dass sowohl beim Sinus als auch beim Kosinus eine Kathete und die Hypotenuse benötigt werden.

    Beim Tangens und Kotangens werden die beiden Katheten dividiert.

    Du kannst dir die Definitionen mit der Merkregel „GAGAHummelHummelAG“:

    $\begin{array}{l|l|l|l} \sin&\cos&\tan&\cot\\ \hline \text{G}&\text{A}&\text{G}&\text{A}\\ \hline \text{H}&\text{H}&\text{A}&\text{G} \end{array}$

    einprägen.

    Lösung

    Mit der Merkregel „GAGAHummelHummelAG“

    $\begin{array}{l|l|l|l} \sin&\cos&\tan&\cot\\ \hline \text{G}&\text{A}&\text{G}&\text{A}\\ \hline \text{H}&\text{H}&\text{A}&\text{G} \end{array}$

    kann man sich die Definitionen merken:

    • $\sin(\alpha)=\large \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos(\alpha)=\large \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan(\alpha)=\large \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
    • $\cot(\alpha)=\large \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Gegenkathete von }\alpha}$

  • Ermittle jeweils, wie der Kosinus, Tangens und Kotangens des Winkels dargestellt werden können.

    Tipps

    Entscheide in beiden Dreiecken,

    • welche Seite die Hypotenuse ist und
    • welche Seiten die Katheten sind.

    Du kannst dir merken, dass sowohl der Tangens als auch der Kotangens nur mit den Katheten definiert sind.

    Du kannst dir die Definitionen mit der Merkregel „GAGAHummelHummelAG“:

    $\begin{array}{l|l|l|l} \sin&\cos&\tan&\cot\\ \hline \text{G}&\text{A}&\text{G}&\text{A}\\ \hline \text{H}&\text{H}&\text{A}&\text{G} \end{array}$

    einprägen.

    Lösung

    In dem linken Dreieck ist $b$ die Hypotenuse, $a$ die Gegen- und $c$ die Ankathete von $\alpha$.

    In dem rechten Dreieck ist $e$ die Hypotenuse, $f$ die Gegen- und $e$ die Ankathete von $\alpha$.

    Es gilt dann:

    • $\cos(\alpha)=\frac cb=\frac de$,
    • $\tan(\alpha)=\frac ac=\frac fd$ und
    • $\cot(\alpha)=\frac ca=\frac df$.

  • Ermittle die Bezeichnung der jeweiligen Seiten in den Dreiecken.

    Tipps

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an und somit einem spitzen Winkel gegenüber und dem anderen an.

    Zeichne dir ein rechtwinkliges Dreieck und bezeichne die Seiten und Winkel. Trage eine Pfeil von einem spitzen Winkel zur gegenüberliegenden Seite. Dies ist die Gegenkathete.

    Lösung

    In dem roten Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $f$.

    • Zu dem Winkel $\epsilon$ ist $d$ die An- und $e$ die Gegenkathete.
    • Somit ist umgekehrt zu dem Winkel $\delta$ $e$ die An- und $d$ die Gegenkathete.
    In dem grünen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $c$.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $a$ die An- und $b$ die Gegenkathete.
    • Umgekehrt ist zu dem Winkel $\alpha$ $b$ die An- und $a$ die Gegenkathete.

  • Erkläre den Kosinus, Tangens und Kotangens in dem abgebildeten Dreieck.

    Tipps

    Mache dir in dem obigen Dreieck zunächst klar,

    • welche Seiten die Katheten sind und
    • welche Seite die Hypotenuse ist.

    Du kannst dir die Definitionen mit der Merkregel „GAGAHummelHummelAG“:

    $\begin{array}{l|l|l|l} \sin&\cos&\tan&\cot\\ \hline \text{G}&\text{A}&\text{G}&\text{A}\\ \hline \text{H}&\text{H}&\text{A}&\text{G} \end{array}$

    einprägen.

    $k$ ist die Hypotenuse. Diese kommt nur im Sinus und Kosinus vor.

    Lösung

    In diesem Dreieck ist $k$ die Hypotenuse und

    • $m$ die Gegenkathete von $50°$ und Ankathete von $40°$ sowie
    • $l$ die Gegenkathete von $40°$ und Ankathete von $50°$.
    Die Definitionen der Funktionen kann man sich mit der Merkregel „GAGAHummelHummelAG“:

    $\begin{array}{l|l|l|l} \sin&\cos&\tan&\cot\\ \hline \text{G}&\text{A}&\text{G}&\text{A}\\ \hline \text{H}&\text{H}&\text{A}&\text{G} \end{array}$

    einprägen:

    • $\sin(50°)=\frac mk=\cos(40°)$
    • $\sin(40°)=\frac lk=\cos(50°)$
    • $\tan(50°)=\frac ml=\cot(40°)$
    • $\tan(40°)=\frac lm=\cot(50°)$