Brüche und Zahlen

Brüche und Zahlen Übung

• Beschreibe, wie du beim Lösen von Divisionsaufgaben vorgehst.

  Tipps

  Die $12$ passt nicht ganz in die $3$. Denn $12$ ist größer als $3$.

  Wir fragen uns immer, wie oft der Divisor in den Dividenden passt.

  Die Glieder einer Division werden wie folgt bezeichnet:

  Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient

  Lösung

  Wenn wir die Divisionsaufgabe $12:3$ betrachten, überlegen wir uns, wie oft die $3$ in die $12$ passt. Gehen wir die Dreierreihe ($3$, $6$, $9$, $12$ ...) durch, erkennen wir, dass die $3$ viermal in die $12$ passt. Mathematisch schreiben wir das wie folgt:

  • $12:3=4$

  Aber wie gehen wir vor, wenn wir $3$ durch $12$ teilen möchten? Das können wir genauso rechnen. Wir fragen uns, wie oft die $12$ in die $3$ passt.

  Die $12$ passt natürlich nicht ganz in die $3$. Daher ist das Ergebnis keine ganze Zahl, sondern ein Bruch. Es passt nämlich genau ein Viertel der $12$ in die $3$. Wir schreiben:

  • $3:12=\frac 14$

• Bestimme die Ergebnisse der Divisionsaufgaben.

  Tipps

  Du kannst das Ergebnis einer Divisionsaufgabe als Bruch darstellen. Dabei entspricht der Dividend dem Zähler und der Divisor dem Nenner.

  Bei dem Bruch $\frac ab$ ist $a$ der Zähler und $b$ der Nenner.

  Lösung

  Wir können das Ergebnis einer Divisionsaufgabe als Bruch darstellen. Dieser setzt sich aus dem Zähler, dem Bruchstrich und dem Nenner zusammen. Bei dem Bruch $\frac ab$ ist $a$ der Zähler und $b$ der Nenner.

  Wir stellen uns jedesmal folgende Frage: Wie oft passt der Divisor in den Dividenden?

  Damit erhalten wir folgende Rechnungen:

  • $12:3=4$

  • $9:4=\dfrac 94$

  • $3:12=\dfrac 14$

  • $3:7=\dfrac 37$

• Ermittle die Ergebnisse der Divisionsaufgaben.

  Tipps

  Überlege dir, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Zum Beispiel passt ein Viertel von $12$ einmal in die $3$. Daher ist:

  $3:12=\dfrac 14$

  Lösung

  Wir überlegen uns jeweils, wie oft der Divisor in den Dividenden passt.

  Beispiel 1

  Wie oft passt die $6$ in die $4$? Da $4$ kleiner ist als $6$, passt die $6$ nicht ganz in die $4$. Wir erhalten also einen Bruch. Wir können $6$ in drei gleich große Teile zerlegen. Ein Teil entspricht dann einem Drittel der $6$ und das sind $2$, denn $3$ mal $2$ sind ja wieder $6$. Die $4$ können wir in zwei solcher Teile zerlegen, denn zwei solcher Teile sind ebenfalls $2$. Es passen also zwei Drittel der $6$ in die $4$, denn zwei mal ein Drittel von $6$ sind $4$. Wir erhalten also:

  • $4:6=\frac 23$

  Beispiel 2

  Auf die gleiche Weise bestimmen wir, wie oft die $9$ in die $3$ passt. Wir zerlegen die $9$ in drei gleich große Teile und das sind dann $3$, denn $3$ mal $3$ ist wieder $9$. Eines dieser Drittel passt genau in die $3$. Wir erkennen also, dass ein Drittel der $9$ in die $3$ passt. Wir erhalten:

  • $3:9=\frac 13$

  Beispiel 3

  Zerlegen wir die $8$ in $4$ Teile, so erkennen wir, dass ein Viertel genau einmal in die $2$ passt. Es folgt also:

  $2:8=\frac 14$

  Beispiel 4

  Zwei Drittel der Neun passen einmal in die $6$. Es gilt also:

  $6:9=\frac 23$

• Bestimme die Quotienten der Divisionsaufgaben.

  Tipps

  Überlege, wie du Dividend und Divisor in gleich große Teile zerlegen kannst. Überprüfe dann, wie viele dieser Teile vom Divisor in den Dividenden passen.

  Ein Viertel von $20$ passt beispielsweise genau einmal in die $5$, denn ein Viertel von $20$ ist $5$.

  Lösung

  Wir überlegen, wie wir Dividend und Divisor in gleich große Teile zerlegen können. Dann überprüfen wir, wie viele dieser Teile vom Divisor in den Dividenden passen. Wir erhalten so folgende Ergebnisse:

  Division mit Ergebnis $\dfrac 14$

  • $4:16~\rightarrow~$ Wir zerlegen $16$ in vier gleich große Teile, wobei eines dieser Viertel genau in die $4$ passt.

  • $5:20$
  • $2:8$

  Division mit Ergebnis $\dfrac 23$

  • $6:9~\rightarrow~$ Wir können $9$ in drei gleich große Teile zerlegen und erkennen, dass $6$ aus genau zwei dieser Dritteln besteht. Denn ein Drittel von $9$ ist $3$.

  • $8:12$ $~\rightarrow~$ Wir zerlegen die $12$ in drei Teile, also Drittel. Jedes dieser Drittel ist dann gleich $4$. Somit passen zwei dieser Drittel in die $8$.

  Division mit Ergebnis $\dfrac 35$

  • $9:15~\rightarrow~$ Wir zerlegen $15$ in fünf gleich große Teile, die jeweils gleich $3$ sind, wobei drei dieser Fünftel genau in die $9$ passen.

  • $6:10$
  • $12:20$

• Definiere den Begriff „Bruch“.

  Tipps

  Bei dem Bruch $\frac 12$ ist $1$ der Zähler und $2$ der Nenner.

  Lösung

  Ein Bruch setzt sich aus dem Zähler, dem Bruchstrich und dem Nenner zusammen. Dabei steht der Zähler über dem Bruchstrich und der Nenner unter ihm.

  • So besitzt beispielsweise der Bruch $\frac 12$ im Zähler eine $1$ und im Nenner eine $2$.

  Der Nenner eines Bruches benennt das, was gezählt wird. Der Zähler sagt, wie viele wir von dem haben, was gezählt wird.

• Erschließe die jeweiligen Quotienten.

  Tipps

  Du kannst zunächst einen Bruch notieren, dessen Zähler dem Dividenden und Nenner dem Divisor entspricht. Dann kannst du überlegen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben und sie durch den gemeinsamen Teiler teilen.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $16:24=\dfrac {16}{24}$

  $16$ und $24$ sind jeweils durch $8$ teilbar. Also teilen wir diese durch $8$ und erhalten:

  • $\dfrac {16}{24}=\dfrac{2}{3}$

  $2$ und $3$ haben keinen gemeinsamen Teiler mehr. Demnach passen zwei Drittel von $24$ genau in $16$.

  Lösung

  Wir können zunächst einen Bruch notieren, dessen Zähler dem Dividenden und Nenner dem Divisor entspricht. Dann können wir überlegen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben und sie durch den gemeinsamen Teiler teilen. Wenn weiteres Teilen nicht mehr möglich ist, haben wir den Anteil des Divisors gefunden, der genau in den Dividenden passt.

  Wir erhalten so folgende Ergebnisse:

  Beispiel 1

  • $12:20=\dfrac 35$

  Demnach passen drei Fünftel von $20$ in die $12$.

  Beispiel 2

  • $11:33=\dfrac 13$

  Also entspricht ein Drittel von $33$ in die $11$.

  Beispiel 3

  • $15:20=\dfrac 34$

  Beispiel 4

  • $21:27=\dfrac 79$