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2x2 Determinanten ausrechnen (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
2x2 Determinanten ausrechnen (2)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung 2x2 Determinanten ausrechnen (2)

Hallo und willkommen zu einem weiteren Video zu Matrizen. In diesem Video betrachten wir uns eine Determinante, die in Form einer Gleichung gegeben ist. Denn wir wissen bereits, dass die Determinante der 2 x 2 Matrix gleich null ist. Allerdings hat sich in die Matrix eine Variable eingeschlichen. Die Aufgabe ist es nun also den Wert für die Variable zu bestimmen, so dass die Determinante gleich null wird. Viel Spaß nun mit dem Video und natürlich auch beim Lernen!

Transkript 2x2 Determinanten ausrechnen (2)

Hallo! In Determinanten können Variablen vorkommen, so wie hier, und man kann die Determinante = irgendwas setzen und dann die Variable bestimmen. Das ist eine ganz normale Gleichung und das sieht man dann - du kannst gerne jetzt ausmachen und mitrechnen und erst hinterher mit der Lösung vergleichen. Also, das ist eine ganz normale Gleichung, weil man ja die Determinante folgendermaßen schreiben kann: -3×9, das × das - das × das, -6×2x=0 - und solche Gleichungen bist du gewohnt. Wir haben: -27=, 6×2x sind 12x, -6×2x sind -12x, ich rechne +12x auf beiden Seiten, also habe ich hier 12x auf der linken Seite stehen und x ist dann =-(27/12), das kann man kürzen und das ist -(9/4), kann man natürlich auch anders schreiben, als -2(1/4) oder -2,25. Noch ein Beispiel dazu, auch hier darfst du wieder selber gerne mitrechnen. Das ist die Determinante, die wird =1 gesetzt hier, und wir wollen x so bestimmen, dass diese Gleichung richtig ist. Die Determinante wird anders hingeschrieben, nämlich als -1×x, das ist einfach -x, - das × das, also -(x-3)×1 und das ist einfach -(x-3) und wir wollen x so bestimmen, dass diese Gleichung dann richtig ist. Das bedeutet, wir haben hier stehen: -2x, ja, -x, -x und hier haben wir - -3, das ist also +3, dann rechne ich -3 auf beiden Seiten und schreibe das gleich so hin, dann ist hier die 3 weg und hier steht dann 1-3 und das ist -2. Ja, ich schreibe nicht jetzt jeden einzelnen Schritt hin, das bist du gewohnt, diese Gleichungen. Ich teile durch -2 auf beiden Seiten und erhalte x=1. Noch ein Beispiel habe ich vorbereitet, das letzte jetzt in diesem Film. Da ist es. Ich gehe stumpf so vor wie sonst auch und störe mich nicht daran, dass hier jetzt Summen stehen als Einträge in der Determinante, das macht nichts, sind alles ganz normale Zahlen wie du und ich. Also (x+1)×(x+4)-(x+2)×(x+3) soll =x sein. Ja, ich hoffe, es ist groß genug, dass du es gut erkennen kannst. Und jetzt stelle ich Folgendes fest hier, wir können ausmultiplizieren, das ist x2 und 1×x und 4×x sind zusammen 5x und 1×4=4, -x2, -2x und -3x sind -5x und 2×3=6, also -6=x. Und da sehen wir freundlicherweise schon, das addiert sich zu 0, das auch, hier steht 4-6, das ist -2. Und dann ist die Sache fertig. Hier schreibe ich das Ergebnis hin, weil das so knapp ist da unten, x=-2. Das ist die Rechnung und das Ergebnis. Ich hoffe, du hast das genauso. Viel Spaß damit. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Hello ja gut hab Es so mitten verstanden Aber eigentlich voll gut !!!
    Danki an sofatutor :)

    Von Samantha S., vor mehr als einem Jahr

2x2 Determinanten ausrechnen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video 2x2 Determinanten ausrechnen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die zugehörige Gleichung auf.

    Tipps

    Hier kannst du sehen, wie man allgemein eine zweireihige Determinante berechnet.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Die Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen lösen und das resultierende Ergebnis kürzen.

    Lösung

    Zunächst kann man die Determinante berechnen. Hierfür werden die Diagonalelemente oben links und unten rechts mulitpliziert: $-3\cdot 9$. Von diesem Produkt wird das Produkt der beiden übrigen Elemente subtrahiert: $6\cdot 2x$.

    Man erhält also die folgende Gleichung:

    $-27-12x=0$.

    Durch Addition von $12x$ gelangt man zu

    $-27=12x$.

    Zuletzt wird durch $12$ dividiert und das resultierende Ergebnis gekürzt:

    $x=-\frac{27}{12}=-\frac94$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Zur Berechnung einer Determinante multipliziert man die Elemente oben links und unten rechts (die Diagonale) und subtrahiert von diesem Produkt das Produkt der Elemente unten links und oben rechts.

    Wenn du die Klammern ausmultiplizierst und vereinfachst, fallen sowohl $x^2$ als auch der Term $x$ heraus.

    Hier siehst du, wie man ein Produkt aus zwei Binomen berechnen kann.

    Lösung

    Auch in diesem Beispiel wird zunächst die Determinante berechnet. Hierfür werden die Elemente oben links und unten rechts multipliziert und von diesem Produkt das der beiden übrigen Elemente subtrahiert. Somit erhält man

    $(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3)=3$.

    Die beiden Klammern werden nun ausmultipliziert zu

    $x^2+x+4x+4-(x^2+2x+3x+6)=x$

    und weiter vereinfacht zu

    $x^2+5x+4-x^2-5x-6=x$.

    Nun fallen auf der linken Seite sowohl $x^2$ als auch der Term mit $x$ heraus und es bleibt

    $-2=x$

    übrig. Dies ist die gesuchte Lösung.

  • Arbeite die Lösung der Gleichung heraus.

    Tipps

    Berechne die Determinante, indem du die Diagonalelemente oben links und unten rechts multiplizierst und von diesem Produkt das Produkt der übrigen Elemente subtrahierst.

    Du erhältst eine quadratische Gleichung in $x$.

    Die Umkehrung von Quadrieren ist das Ziehen der Wurzel und umgekehrt.

    Beachte, dass beim Ziehen der Quadratwurzel zwei Ergebnisse berücksichtigt werden müssen.

    Lösung

    Um diese Gleichung zu lösen, kann man zunächst die Determinante berechnen:

    $\left| \begin{array}{cc} x & 3 \\ 5 & x \end{array} \right| = x\cdot x-15=x^2-15$.

    Dies führt zu der quadratischen Gleichung $x^2-15=-14$.

    Durch Addition von $15$ erhält man $x^2=1$.

    Zuletzt zieht man die Wurzel und erhält $x_1=1$ sowie $x_2=-1$.

  • Bestimme zu der jeweiligen Gleichung die Lösung.

    Tipps

    Berechne jeweils die Determinante und forme die resultierende Gleichung um.

    Die allgemeine Berechnung der zweireihigen Determinante ist hier zu sehen.

    Es existiert jeweils nur eine Lösung.

    Lösung

    Wenn wir das Rechnen mit Determinanten einige Male wiederholt haben, sehen wir, dass gar kein großer Unterschied zu gewöhnlichen Gleichungen besteht:

    • Zunächst betrachten wir die Gleichung $\left| \begin{array}{cc} x+1 & 3 \\ 5 & x-1 \end{array} \right| = -16$. Das Berechnen der Determinante $(x+1)(x-1)-15$ sowie Anwendung der 3. binomischen Formel führt zu $x^2-16=-16$. Nun kann auf beiden Seiten $16$ addiert werden zu $x^2=0$. Dies führt zu der Lösung $x=0$.
    • Nun untersuchen wir die Gleichung $\left| \begin{array}{cc} x & 3x \\ 5 &3 \end{array} \right| = 24$. Auch hier wird zunächst wieder die Determinante $3x-15x=-12x$ berechnet. So gelangt man zu der Gleichung $-12x=24$. Division durch $-12$ führt zu der Lösung $x=-2$.
    • Zuletzt wird noch die Gleichung $\left| \begin{array}{cc} 1 & x \\ 2 & x \end{array} \right| = 3$ behandelt. Die Determinante lässt sich berechnen als $x-2x=-x$. Man erhält also gesamt die Gleichung $-x=3$, was äquivalent ist zu $x=-3$. Dies erhält man durch Multiplikation mit $-1$.
  • Berechne die Determinante $\left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ x-3 & x \end{array} \right| $.

    Tipps

    Hier siehst du ganz allgemein die Berechnung einer Determinante.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Es gilt: Minus mal Minus gleich Plus.

    Lösung

    Wenn man diese Aufgabe lösen möchte, muss man zunächst die Determinante links berechnen. Das heißt:

    • man multipliziert die Diagonalelemente oben links und unten rechts: $-1\cdot x$ sowie
    • die restlichen Elemente $(x-3)\cdot 1$
    • und bildet die Differenz des ersten und zweiten Produktes.
    Der so entstandene Term $-1\cdot x-(x-3)\cdot 1$ kann noch vereinfacht werden zu $-x-(x-3)=-x-x+3=-2x+3$. Nun kann die abgebildete Gleichung gelöst werden: $-2x+3=1$. Durch Subtraktion von $3$ erhält man $-2x=-2$. Zuletzt wird durch $-2$ dividiert zu $x=1$.

  • Leite die Lösungen der Gleichung her.

    Tipps

    Auch wenn die Terme etwas komplexer aussehen, so ist doch wieder die hier zu sehende Berechnung der Determinante anzuwenden.

    Da in der resultierenden Gleichung kein Term ohne $x$ vorkommt, kannst du $x$ ausklammern.

    Verwende die p-q-Formel zur Bestimmung der übrigen Lösungen.

    Alle Lösungen sind ganzzahlig.

    Lösung

    Zunächst kann man die Determinante berechnen. Hierfür werden

    • die Diagonalelemente oben links und unten rechts miteinander multipliziert: $(x^2-1)2x=2x^3-2x$,
    • ebenso die übrigen Elemente: $-2x\cdot 3x=-6x^2$.
    Die Produkte werden subtrahiert zu

    $2x^3-2x-(-6x^2)=2x^3+6x^2-2x$.

    Es ist also die kubische Gleichung

    $2x^3+6x^2-2x=-6x$

    zu lösen. Addition von $6x$ führt zu

    $2x^3+6x^2+4x=0$.

    Nun kann $2x$ ausgeklammert werden

    $2x(x^2+3x+2)=0$

    und man erhält die erste Lösung $x_1=0$. Die beiden übrigen Lösungen erhält man mit der p-q-Formel

    $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac32\pm\sqrt{\left(\frac32\right)^2-2}\\ &=&-\frac32\pm\sqrt{\frac94-2}\\ &=&-\frac32\pm\sqrt{\frac14}\\ x_2&=&-\frac32+\frac12=-1\\ x_3&=&-\frac32-\frac12=-2 \end{array}$

    Dies sind die gesuchten (drei!) Lösungen: $x_1=0$, $x_2=-1$ sowie $x_3=-2$.

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