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2x2 Determinanten ausrechnen (1)

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Martin Wabnik
2x2 Determinanten ausrechnen (1)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung 2x2 Determinanten ausrechnen (1)

Wenn du bereits weißt, was eine Determinante ist und wie man sie ausrechnet, dann bist du hier genau richtig. Wir werden hier im Video drei Beispiele rechnen, das heißt die Determinante von drei 2 x 2 Matrizen berechnen. Der Grad der Schwierigkeit wird dabei natürlich etwas zunehmen. Ich werde beispielsweise negative Zahlen und auch Brüche in die Aufgaben integrieren. Du bist natürlich gerne angehalten, selbst aktiv zu werden. Nimm also einfach Blatt und Stift zur Hand und versuch dich selbst an den drei Beispielen.

Transkript 2x2 Determinanten ausrechnen (1)

Hallo! Du weißt was Determinanten sind und wie man sie ausrechnet und hier kommen 3 kleine Übungsaufgaben zum Ausrechnen von Determinanten. Wenn du selber mit üben möchtest, kannst du den Film nach der Aufgabenstellung jeweils anhalten, erst selber rechnen und hinterher mit dieser Lösung hier vergleichen.

Hier ist die erste Determinante und eine Determinanten ist ja ein Term der nur auf besondere Art und Weise geschrieben ist. Der Term der hier steht ist 2 × 3 − 5 × 7. Das kann man ausrechnen, das ist 6 − 35 und das ist −29. Wenn du Determinanten im Zusammenhang mit Parallelogrammen kennengelernt hast, dann hast du gelernt, dass man mit einer Determinante die Fläche eines Parallelogramms bestimmen kannst. Aber wie du hier siehst: Flächeninhalte können nicht negativ sein, deshalb ist diese Determinante nicht dafür geeignet um die Fläche eines Parallelogramms auszurechnen. Aber Determinanten, wie ich eingangs schon sagte, sind ja einfach solche Terme, die nicht so, sondern so geschrieben sind, d.h. sie existieren auch völlig unabhängig von Flächen in Parallelogrammen und man kann sie auch einfach so ausrechnen.

Zweite Determinante ist hier. Und diese Determinante bedeutet: 2 × −4 −10 × −5. Das ist einfach die Übersetzung hier, die andere Schreibweise. 2 × −4 = −8. 10 × −5 = −50 und hier steht noch das Minus-Zeichen, also +50. −8 +50 = 42.

Letzte Determinante mit Brüchen. Auch das ist natürlich erlaubt, Brüche in Determinanten zu schreiben. Hier ist alles negativ, −1/3, −2/6, −1/2, −5/4. Ich übersetze einfach diese Determinante. Ach das geht hier gar nicht hin, ich schreibe das jetzt ohne Minus-Zeichen. Also du weißt ja: −1/3 × −5/4 ist so groß wie 1/3 × 5/4. Dann kann ich mir das mit den Minus-Zeichen auch sparen, du weißt ja, dass - × - + ist. Allerdings: Dieses Minus-Zeichen darf ich nicht weglassen und dieses und dieses gehören zur Determinante.

Nun haben wir hier −2/6 × −1/2, und das ist wie 2/6 × 1/2, also schreibe ich das so hin. So, jetzt hätte ich hier die 2/6 kürzen können, normalerweise sagt man ja: Erst kürzen und dann weiter rechnen. Hier habe ich aber gleich gesehen, dass der Nenner jeweils 12 ist, also lasse ich’s so, dann kann ich nachher besser subtrahieren. Also: 1 × 5 = 5 und 3 × 4 = 12, wir haben also 5/12. 2/12 stehen hier und das ist gleich 5/12 − 2/13 = 3/12. Das kürze ich aber jetzt und das ist 1/4.

Eine kleine Anmerkung noch zu den Vorzeichen: Manchmal hat man ja den Eindruck, wenn hier positive Zahlen stehen dann kommt bestimmt auch was positives raus. Hier kommt nichts positives raus. Hier haben wir 2 negative Zahlen stehen, also die 2. Spalte ist negativ, dann kann was positives rauskommen, muss aber nicht. Hier kann natürlich auch was positives rauskommen. Und hier ist alles negativ und trotzdem kommt was positives raus, also alle Einträge hier in der Determinante sind negativ, es kommt ein positiver Wert raus. Das muss auch nicht immer so sein, aber es kann so sein, also man kann nicht so einfach von den Vorzeichen der Elemente einer Determinante auf die Vorzeichen eines Ergebnisses schließen. Viel Spaß damit, Tschüß!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Sehr gutes Video! Vieleicht überlegen ob man eine bessere Kamera zu legen kann.

    Von Björn K., vor 3 Monaten
  2. chilig bro bro nices video

    Von B Wach2000, vor 7 Monaten
  3. Klasse gemacht! Danke für die gute und verständliche Erklärung! Weiter so!

    Von Sassa S, vor mehr als 7 Jahren

2x2 Determinanten ausrechnen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video 2x2 Determinanten ausrechnen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Determinante $\left| \begin{array}{cc} 2 &7\\ 5&3 \end{array} \right|$ berechnet.

    Tipps

    Multipliziere die Diagonalelemente von oben links nach unten rechts und subtrahiere davon das Produkt der übrigen Elemente.

    Hier siehst du, wie man eine zweireihige Determinante berechnet.

    Auch wenn alle Einträge positiv sind, kann der Wert der Determinante negativ sein.

    Lösung

    Hier ist ganz allgemein zu sehen, wie eine zweireihige Determinante berechnet wird:

    Man subtrahiert von dem Produkt der Diagonalemente $a_xb_y$ das der übrigen Elemente $a_yb_x$.

    Für das obige Beispiel gilt also

    $\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{cc} 2 &7\\ 5&3 \end{array} \right|&=&2\cdot 3-5\cdot 7\\ &=&6-35\\ &=&-29 \end{array}$

    Da dieses Ergebnis negativ ist, kann es gewiss kein Flächeninhalt sein. Determinanten dienen unter anderem dazu, Flächeninhalte von Parallelogrammen zu berechnen. Hierfür müssen jedoch

    • die beiden betrachteten Vektoren den gleichen Ausgangspunkt haben und
    • der in der Determinante links stehende Vektor beim Drehen um den Ausgangspunkt entgegen dem Uhrzeigersinn die Fläche des Parallelogramms überstreichen.
    Ganz allgemein erhält man beim Berechnen einer Determinante einen positiven oder negativen Wert. $0$ ist natürlich auch möglich.

  • Berechne die beiden Determinanten.

    Tipps

    Beachte die Reihenfolge der Subtraktion.

    Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Umgangssprachlich könntest du auch sagen: „Minus mal Minus ergibt Plus.“

    Hier siehst du den ersten Schritt der Berechnung der Determinante mit den Brüchen.

    Du kannst auch jeweils die Minuszeichen beim Multiplizieren weglassen, wenn beide Faktoren negativ sind.

    Lösung

    Zur Berechnung einer Determinante werden von oben links nach unten rechts die Diagonalelemente multipliziert und dann das Produkt der beiden übrigen Elemente subtrahiert.

    $\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{cc} 2 &-5\\ 10&-4 \end{array} \right|&=&2\cdot (-4)-10\cdot (-5)\\ &=&-8+50\\ &=&42 \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{cc} -\frac13 &-\frac12\\ -\frac26&-\frac54 \end{array} \right|&=&\frac13\cdot \frac54-\frac26\cdot \frac12\\ &=&\frac5{12}-\frac2{12}\\ &=&\frac3{12}=\frac14 \end{array}$

    In der ersten Zeile der unteren Rechnung wurden die Minuszeichen weggelassen, da das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist.

  • Berechne jeweils die Determinante.

    Tipps

    Zur Berechnung einer zweireihigen Determinante multiplizierst du die Diagonalelemente oben links und unten rechts und subtrahierst davon das Produkt der beiden übrigen Elemente.

    Der Wert der Determinante kann durchaus negativ sein.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Berechnen einer Determinante.

    Lösung

    Eine Determinante wird berechnet, indem man die Diagonalelemente oben links und unten rechts multipliziert und von diesem Produkt das Produkt der beiden übrigen Elemente subtrahiert.

    $\left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right| = 1\cdot 4-3\cdot 2=4-6=-2$

    $\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array} \right| = 2\cdot 3-4\cdot 1=6-4=2$

    $\left| \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = 4\cdot 2-1\cdot 3=8-3=5$

    $\left| \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = 3\cdot 1-2\cdot 4=3-8=-5$

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Determinanten.

    Tipps

    Zur Berechnung einer Determinante werden die Diagonalelemente oben links und unten rechts multipliziert und von diesem Produkt das der beiden übrigen Elemente subtrahiert.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung einer Determinante.

    Hier siehst du ein weiteres Beispiel für die Berechnung der Determinante.

    Lösung

    Allgemein kann man die zweireihige Determinante - wie hier zu sehen ist - aufschreiben.

    Das bedeutet: Man multipliziert die Diagonalelemente von oben links nach unten rechts und subtrahiert von diesem Produkt das Produkt der übrigen beiden Elemente.

    Wenn man die Reihenfolge der Spalten vertauscht, passiert das Folgende:

    $\left| \begin{array}{cc} b_x&a_x \\ b_y & a_y \end{array} \right| = b_xa_y-b_ya_x$.

    Dies ist der gleiche Wert wie der der Ausgangsdeterminante nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Ebenso ist dies beim Vertauschen zweier Zeilen. Das bedeutet insbesondere, dass der Wert einer Determinante auch durchaus negativ sein kann.

    Man kann unter gewissen Voraussetzungen mit Hilfe der zweireihigen Determinante den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen.

    Wenn in der Determinante spaltenweise zwei Vektoren stehen, so gibt die Determinante den Flächeninhalt des zugehörigen Parallelogramms, welches durch diese beiden Vektoren aufgespannt wird, an. Dabei müssen

    • beide Vektoren den gleichen Startpunkt oder auch Fußpunkt haben und
    • der Vektor, welcher links in der Determinante steht, muss derjenige sein, welcher bei Drehung um den Startpunkt gegen den Uhrzeigersinn über die Fläche streicht.

  • Gib an, wofür man die Determinante verwenden kann.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Kreises ist berechenbar durch $\pi\cdot r^2$, dabei ist $r$ die Länge des Radius.

    Die Höhe eines Dreiecks kann man zum Beispiel mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder dem Sinus oder dem Kosinus.

    Der Umfang eines Vielecks ist die Summe der Längen der einzelnen Seiten.

    Lösung

    Die Determinante dient zur Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen.

    Der Wert einer Determinante kann aber durchaus auch negativ sein. Dann kann es sich nicht um eine Determinante handeln, die einen Flächeninhalt beschreibt.

    Ein Parallelogramm wird durch zwei Richtungsvektoren aufgespannt, die denselben Fußpunkt besitzen. Diese beiden Richtungsvektoren stehen als Spaltenvektoren in der Determinante. Dabei muss der Vektor, welcher gegen den Uhrzeigersinn gedreht das Parallelogramm überstreicht, links stehen. Dann ist der Wert der Determinante der Flächeninhalt des betreffenden Parallelogramms.

  • Verwende die Sarrus-Regel zur Berechnung der dreireihigen Determinante.

    Tipps

    Hier siehst du die Sarrus-Regel anschaulich. Das Ergebnis ist

    $aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb)$.

    Die Summe der Diagonalen von oben links nach unten rechts ist

    $6+3-20$.

    Das Ergebnis ist eine ganze negative Zahl.

    Lösung

    Die Sarrus-Regel ist eine Merkregel zur Berechnung dreireihiger Determinanten.

    Diese ist hier zu sehen.

    • Die ersten beiden Spalten der Determinante werden nochmals rechts von der Determinante aufgeschrieben.
    • Dann werden die Elemente entlang den grün markierten Diagonalen multipliziert und addiert.
    • Ebenso werden die Elemente entlang den rot markierten Diagonalen multipliziert und addiert.
    • Zuletzt wird die Differenz aus der ersten und der zweiten Summe gebildet.
    Dies ist hier an einem Beispiel zu sehen.

    $\begin{array}{rcl} \begin{array}{|ccc|cc} 1 & 3 &5&1&3 \\ -2 & 2&1&-2&2\\ 1& 2 & 3 &1&2 \end{array} &=&1\cdot 2\cdot 3+3\cdot 1\cdot 1+5\cdot (-2)\cdot 2-\\ &&(1\cdot 2\cdot 5+2\cdot 1\cdot 1+3\cdot (-2)\cdot 3)\\ &=&6+3-20-(10+2-18)\\ &=&-11-(-6)\\ &=&-11+6\\ &=&-5 \end{array}$

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