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Lineare Funktionen: f(x) = m·x + n

Lineare Funktionen und Geraden kommen in vielen verschiedenen Zusammenhängen vor: Hier lernst du, wie du zu einer linearen Funktionsgleichung eine Gerade zeichnest und umgekehrt aus einer Gerade eine Funktionsgleichung herleitest.

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion oder genauer Funktionsgleichung ist gegeben in der Form

$f(x)=m\cdot x+b$.

Dabei sind $m$ und $b$ Parameter der linearen Funktion.

Ein Beispiel für eine lineare Funktion siehst du hier:

$f(x)=\frac32x-3$

  • Hier ist $m=\frac32$ und
  • $b=-3$.

Der passende Funktionsgraph zu dieser Funktionsgleichung sieht so aus:

998_deltaxundy.jpg

Wie du leicht erkennen kannst, schneidet der Funktionsgraph, eine Gerade, die y-Achse bei $y= -3$ Daher bezeichnet man den Parameter $b$ der Funktionsgleichung auch als $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen.

Die Steigung des Funktionsgraphen kannst du bestimmen, indem du die Differenz zweier y-Werte ($\Delta y$) der Funktion durch die Differenz der zugehörigen x-Werte ($\Delta x$) der Funktion teilst. Dann kommt genau der Parameter $m$ der Funktionsgleichung heraus:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac32$

Daher bezeichnet man den Parameter $m$ der Funktionsgleichung auch als Steigung $m$ des Funktionsgraphen.

Dass du sowohl die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ des Funktionsgraphen, direkt aus der zugehörigen Funktionsgleichung ablesen kannst, hilft dir auch beim Zeichnen eines Funktionsgraphen.

Zeichnen von Graphen linearer Funktionen

Das Zeichnen von Funktionsgraphen kann auf unterschiedlichen Wegen erfolgen.

Zeichnen einer Geraden mit dem y-Achsenabschnitt und der Steigung

Schaue dir das obige Beispiel an.

$f(x)=\frac32x-3$

Um die zugehörige Gerade zu zeichnen, trägst du zunächst den y-Achsenabschnitt $b=-3$ in ein Koordinatensystem ein. Dies ist die Stelle, in welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

Nun betrachtest du die Steigung $m=\frac32$:

Von dem Punkt $(0|-3)$ ausgehend zeichnest du ein Steigungsdreieck:

  • Du gehst um $2$, dies ist der Nenner der Steigung, Einheiten nach rechts (der rote Pfeil) und
  • $3$, dies ist der Zähler der Steigung, nach oben (der blaue Pfeil).
  • So erhältst du einen weiteren Punkt der Geraden.

Verbindest du die beiden Punkte, erhältst du die Gerade (grün).

989_y_3_2x-3.jpg

Zeichnen einer Geraden mit Hilfe einer Wertetabelle

Eine Wertetabelle hat zwei Zeilen:

  • In der oberen Zeile stehen verschiedene Werte für das Argument $x$.
  • In die Zeile darunter schreibst du die zugehörigen Funktionswerte $y=f(x)$.

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Um diese zu zeichnen, gehst du für das Beispiel

$f(x)=\frac32x-3$

wie folgt vor:

  • Erstelle eine Wertetabelle:

989_y_3-2x-3_Wertetabelle.jpg

  • Übertrage die geordneten Paare $(x|y)$ in ein Koordinatensystem.
  • Zuletzt verbindest du die Punkte miteinander zu der gesuchten Geraden. (Übrigens: Es genügen zwei Punkte!)

989_x_3-2x-3_2.jpg

Bestimmen einer linearen Funktionsgleichung

Umgekehrt kannst du auch von einer Geraden wieder zu der zugehörigen linearen Funktionsgleichung gelangen.

Ablesen einer Funktionsgleichung

Schaue dir diese Gerade an.

989_y_-1-2x-1.jpg

Du benötigst für eine lineare Funktionsgleichung einen y-Achsenabschnitt sowie eine Steigung. Der y-Achsenabschnitt ist hier $b=-1$.

An den Gitterlinien kannst du die Steigung erkennen:

  • Gehe um zwei Einheiten nach rechts und
  • eine Einheit nach unten.

Das bedeutet, dass die Steigung $m=-\frac12$ ist.

Damit lautet die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac12x-1$.

Dieses Vorgehen hat einen großen Nachteil: Sowohl der y-Achsenabschnitt als auch die Steigung können gegebenenfalls nicht exakt abgelesen werden.

Erstellen einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Schaue dir die gleiche Gerade noch einmal an. Dieses Mal sind zwei Punkte der Geraden gegeben.

989_y_-1-2x-1_2.jpg

Zunächst einmal bestimmst du die Steigung, indem du die Differenz der y-Koordinaten durch die der x-Koordinaten dividierst. Achte dabei auf die Reihenfolge.

$m=\frac{q_y-p_y}{q_x-p_x}$

Dies kannst du gleich einmal für die beiden Punkte $P(-2|0)$ sowie $Q(2|-2)$ üben.

$m=\frac{-2-0}{2-(-2)}=\frac{-2}4=-\frac12$

Nun kannst du den y-Achsenabschnitt bestimmen. Hierfür setzt du einen der beiden Punkte (egal welchen!) in die Funktionsgleichung ein, zum Beispiel $Q(2|-2)$, und formst diese nach $b$ um.

$\begin{array}{rclll} -2&=&-\frac12\cdot 2+b&|&+1\\ -1&=&b \end{array}$

Natürlich erhältst du die gleiche Funktionsgleichung $f(x)=-\frac12x-1$.

Erstellen einer Funktionsgleichung zu einer parallelen Geraden durch einen Punkt

Du siehst, wenn du die Steigung einer Geraden kennst, kannst du deren y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes in die Funktionsgleichung bestimmen. Ebenso kannst du bei dem folgenden Beispiel vorgehen.

Gesucht ist die Funktionsgleichung $g(x)$ zu der Geraden, welche parallel zu der Geraden zu $f(x)=2x-3$ durch den Punkt $R(3|2)$ verläuft.

  • Da die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen, haben sie die gleiche Steigung $m=2$.
  • Damit ist $g(x)=2x+n$.
  • Nun können die Koordinaten von $R$ in diese Gleichung eingesetzt werden: $2=2\cdot 3+b$.
  • Subtraktion von $6$ führt zu $b=-4$ und somit $g(x)=2x-4$.

Schnittpunkt von Geraden

Wenn zwei Geraden nicht parallel zueinader verlaufen, schneiden sie sich in einem Punkt. Dies kannst du hier sehen.

989_Schnittpunkt.jpg

Hier sind die beiden Geraden zu den linearen Funktionen

$f(x)=-\frac12x+1$

sowie

$g(x)=2x+6$

zu sehen. Der Schnittpunkt ist $S(-2|2)$. Auch diesen kannst du normalerweise nicht ablesen. Um ihn zu bestimmen formst du die Gleichung $f(x)=g(x)$ nach $x$ um

$\begin{array}{rclll} -\frac12x+1&=&2x+6&|&+\frac12x\\ 1&=&\frac52x+6&|&-6\\ -5&=&\frac52x&|&\cdot \frac25\\ -2&=&x \end{array}$

Dies ist die x-Koordinate des Schnittpunktes. Um die y-Koordinate zu erhalten,setzt du $x=-2$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein:

$y=2\cdot (-2)+6=-4+6=2$

Also ist $S(-2|2)$ der gesuchte Schnittpunkt.