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Rationale Zahlen

Rationale Zahlen können als Bruchzahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden. Sie stellen einen sehr wichtigen und interessanten Zahlenbereich in der Mathematik dar.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Zahlenbereiche bis zu den rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen stellen einen Zahlenbereich in der Mathematik dar. Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, von denen du sicherlich schon ein paar kennst.

Ganz früh lernst du in der Schule den natürlichen Zahlenbereich der natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ kennen, also die Zahlen

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...$

Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Schüler in deine Klasse gehen, oder wie viele Stifte in deinem Etui sind.

Mathematisch kannst du das auch folgendermaßen ausdrücken:

$\mathbb{N}=\{1;2;3;4;...\}$

Wenn du zwei natürliche Zahlen addierst oder die kleinere von der größeren Zahl subtrahierst, erhältst du wieder eine natürliche Zahl. Wenn du jedoch von einer natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl subtrahierst, zum Beispiel $3-7=-4$, erhältst keine natürliche Zahl mehr. Dies ist auch beim Dividieren der Fall, zum Beispiel hier:

$14:4=3{,}5$

Das Ergebnis ist keine natürliche Zahl. Deswegen werden die Zahlenbereiche nach und nach erweitert.

Als Nächstes lernst du die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z})$ kennen, die sich aus den natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen zusammensetzen. Hier ist auch die $0$ enthalten (die oft nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt wird):

$\mathbb{Z}=\{...\,;\,-4\,;\,-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,...\}$

Wenn du zum Beispiel die Tordifferenz einer Fußballmannschaft berechnen möchtest, spielen die ganzen Zahlen eine Rolle. Wenn eine Mannschaft $5$ Tore geschossen und $8$ Gegentore kassiert hat, beträgt die Tordifferenz $5-8=-3$.

Bei den rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ schließlich kommt auch noch das Komma ins Spiel, zum Beispiel im Zusammenhang mit Geld. Stell dir vor, du sollst $10\,\text{€}$ gleichmäßig auf $4$ Freunde verteilen. Wie viel bekommt jeder? Da $10$ kein Vielfaches von $4$ ist, ist $10$ nicht ohne Rest durch $4$ teilbar. Die Rechnung sieht so aus:

$10:4=2{,}5\,\text{€}$ oder $2{,}50\,\text{€}$

Alternativ können wir das auch als Bruch darstellen:

$\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

Das klappt auch mit negativen Zahlen, die du am Minuszeichen erkennst. Wenn zum Beispiel am Mittag die Temperatur bei $5{,}3\,^\circ\text{C}$ lag und dann bis zum Abend um $7{,}5\,^\circ\text{C}$ gefallen ist, können wir die Abendtemperatur wie folgt berechnen:

$5{,}3 - 7{,}5 = -2{,}2$

Die Temperatur am Abend beträgt also $-2{,}2\,^\circ\text{C}$.

Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen lässt sich allgemein so formulieren:

$\mathbb{Q}=\left\{\frac {a}{b}\,;~a\in\mathbb{Z}\,;~b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$

Dabei ist $a$ eine negative oder positive ganze Zahl (auch die $0$ ist möglich), während $b$ eine natürliche Zahl ist (die nicht $0$ sein darf).
Jede rationale Zahl lässt sich durch einen solchen Bruch $\left( \frac{a}{b} \right)$ darstellen. In der Menge der rationalen Zahlen sind also die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen enthalten.

Rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Um rationale Zahlen am Zahlenstrahl darzustellen, verwendest du den gleichen Zahlenstrahl, den du schon von den ganzen Zahlen kennst. Neu ist, dass unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei ganzen Zahlen liegen.

Hier kannst du an einem Zahlenstrahl Beispiele für rationale Zahlen sehen:

Zahlenstrahl.jpg

  • Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl, zum Beispiel $11$.
  • Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, zum Beispiel $-3$.
  • Jeder endliche Dezimalzahlbruch ist eine rationale Zahl, zum Beispiel $6{,}7$.

Daneben sind auch periodische Dezimalbrüche rationale Zahlen, zum Beispiel $0{,}\overline{3}$. Denn auch solche Zahlen können als Bruch dargestellt werden, wie du hier siehst:

$0{,}\overline{3} = \dfrac{1}{3}$