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ggT und kgV

gemeinsamer Teiler, gemeinsames Vielfaches, Primfaktorzerlegung, ggT, kgV

größter gemeinsamer Teiler ($\text{ggT}$)

Ein Gärtner pflanzt $45$ Eichen und $27$ Kiefern. Pro Reihe soll nur eine Art mit der gleichen Anzahl Bäume stehen. Gesucht ist die größte Anzahl Bäume, die der Gärtner pro Reihe pflanzen kann.

Wald_Baumreihe.png

Um in dieser Aufgabe die Bäume auf Reihen aufzuteilen, schauen wir uns die Teilermengen der Zahlen $45$ und $27$ an. Wir finden also die Teiler dieser Zahlen, durch die eine Division ohne Rest möglich ist. Die Zahl $1$ ist Teiler jeder Zahl.

$T_{45} = \{1;3;5;9;15;45\}$

$T_{27} = \{1;3;9;27\}$

In beiden Teilermengen kommen die Zahlen $1$, $3$ und $9$ vor.

Die größte dieser Zahlen heißt größter gemeinsamer Teiler und ist in diesem Beispiel $9$. Somit können pro Reihe $9$ Bäume gepflanzt werden. Der Gärtner hat dann fünf Reihen mit je $9$ Eichen und drei Reihen mit je $9$ Kiefern.

Unter den gemeinsamen Teilern von zwei oder mehreren Zahlen gibt es einen größten Teiler. Er heißt größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen, kurz $\text{ggT}$ genannt.

Schreibweise: $\text{ggT}$ von $27$ und $45$ wird geschrieben als $\text{ggT}(27;45)$

Möglichkeiten, den $\text{ggT}$ zu ermitteln

Wir betrachten drei Wege und legen das Beispiel $\text{ggT}(12;40)$ zugrunde.

1. Möglichkeit

Wir können beide Teilermengen aufschreiben:

$T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\}$

$T_{40} = \{1;2;4;5;8;10;20;40\}$

Die gemeinsamen Teiler von $12$ und $40$ sind $1$, $2$ und $4$. Die größte davon ist die $4$, also $\text{ggT}(12;40) = 4$.

2. Möglichkeit

Als zweite Möglichkeit kann man auch die Teilermenge der kleineren Zahl aufschreiben:

$T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\}$

Wir prüfen, welcher Teiler davon der größte ist, der auch die $40$ teilt:

$12$ ist kein Teiler von $40$, $6$ auch nicht. Aber $4$ ist ein Teiler, da die Division $40:4$ ohne Rest möglich ist. Wir erhalten wieder $\text{ggT}(12;40) = 4$.

3. Möglichkeit

Als dritte Möglichkeit bietet sich die Primfaktorzerlegung an:

$40 = 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 5$

$12 = 2\cdot 2\cdot 3$

Den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ finden wir, wenn wir die Primfaktoren, die sowohl in der Primfaktorzerlegung von $40$ als auch von $12$ vorkommen, multiplizieren. In diesem Fall erhalten wir also $2\cdot 2 = 4$ und somit $\text{ggT}(12;40) = 4$.

4. Möglichkeit

Eine interessante rechnerische Möglichkeit, den $\text{ggT}$ zweier Zahlen zu bestimmen, bietet der Euklidische Algorithmus, bei dem man gerade bei größeren Zahlen schneller zum Ergebnis kommt.

Subtraktionskette

Bei der Subtraktionskette zieht man immer die kleinere von der größeren Zahl ab, bis schließlich der Subtrahend der Differenz entspricht.

Wir probieren das am Beispiel $\text{ggT}(105;360)$ aus:

$\begin{array}{lll} 360 - 105 &=& 255 \\ 255 - 105 &=& 150 \\ 150 - 105 &=& 45 \\ 105 - 45 &=& 60 \\ 60 - 45 &=& 15 \\ 45 - 15 &=& 30 \\ 30 - 15 &=& 15 \end{array}$

Somit ist $\text{ggT}(105;360) = 15$.

Divisionskette

Die Divisionskette verspricht einen noch schnelleren Weg zum Ziel. Dabei wird die kleinere Zahl immer durch den Rest geteilt. Dies wird so lange wiederholt, bis der Rest $0$ ist.

  • $360:105 = 3$, der Rest ist $45$, dann
  • $105:45 = 2$, der Rest ist $15$ und
  • $45:15 = 3$, der Rest ist schließlich $0$

$\text{ggT}(105;360) = 15$

kleinstes gemeinsames Vielfaches ($\text{kgV}$)

Auf eine Seite der Wippe werden Gewichte mit je $42 \text{kg}$ gelegt, auf die andere Seite Stücke mit je $24 \text{kg}$. Welches Gewicht liegt mindestens auf jeder Seite, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Wippe.png

Um herauszufinden, wie viele Gewichtsstücke auf jeder Seite zu platzieren sind, schauen wir uns die Vielfachenmengen der Zahlen $42$ und $24$ an:

$V_{24} = \{24;48;72;96;120;144;168;192;216;...\}$

$V_{42} = \{42;84;126;168;210;252;...\}$

In beiden Mengen befinden sich unendlich viele Vielfache, aber es gibt nur eine Zahl, die das kleinste gemeinsame Vielfache ist. In diesem Fall ist das die Zahl $168$, also liegen auf jeder Wippenseite mindestens $168 \text{kg}$. Demnach befinden sich auf der einen Seite sieben Gewichtsstücke mit je $24 \text{kg}$ und auf der anderen Seite vier Gewichtsstücke mit je $42 \text{kg}$.

Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen gibt es ein kleinstes und es wird kurz mit $\text{kgV}$ bezeichnet.

Schreibweise: $\text{kgV}$ von $24$ und $42$ wird geschrieben als $\text{kgV}(24;42)$

Möglichkeiten, das $\text{kgV}$ zu ermitteln

Wir betrachten drei Wege und legen das Beispiel $\text{kgV}(6;8)$ zugrunde.

1. Möglichkeit

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, können wir zuerst Vielfachenmengen aufschreiben

$V_{6} = \{6;12;18;24;30;36;...\}$

$V_{8} = \{8;16;24;32;40;48;...\}$

Es folgt $\text{kgV}(6;8) = 24$.

2. Möglichkeit

Schneller geht es, wenn wir nur Vielfache der größeren Zahl bilden

$8\cdot 1 = 8$, was kein Vielfaches von $6$ ist.

$8\cdot 2 = 16$, was kein Vielfaches von $6$ ist.

$8\cdot 3 = 24$, was ein Vielfaches von $6$ ist.

Also ist $\text{kgV}$(6;8) = 24$

3. Möglichkeit

Wie schon bei der Bestimmung des $\text{ggT}$ kann uns auch beim $\text{kgV}$ die Primfaktorzerlegung von Nutzen sein. Wieder wird jede der Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt. Wir schreiben die Primfaktoren untereinander. Nun markieren wir alle Primfaktoren derjenigen Zahl, bei der dieser Primfaktor am häufigsten vorkommt. Die markierten Primfaktoren multiplizieren miteinander:

$6 = 2\cdot 3$

$8 = 2\cdot 2\cdot 2$

Es folgt also

$\text{kgV}(6;8) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3= 24$

Anwendung in der Bruchrechnung

Es besteht eine Verbindung zwischen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen und der Bruchrechnung, wenn man beispielsweise das Kürzen betrachtet:

Der Bruch $\frac{36}{48}$ wird umständlich durch $2$ gekürzt zu $\frac{18}{24}$,

dann gekürzt durch $3$ zu $\frac{6}{8}$ und schließlich durch $2$ gekürzt zu $\frac{3}{4}$.

Dieses schrittweise Kürzen ist sehr umständlich und kann mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers und der Primfaktorzerlegung abgekürzt werden:

$36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$

$48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$

$\text{ggT}(36;48) = 2\cdot 2\cdot 3 = 12$

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen können wir den Hauptnenner schnell finden, wenn wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bilden.

Für die Aufgabe $\frac{7}{8} + \frac{5}{12}$ bilden wir folglich $\text{kgV}(8;12)$.

Die Primfaktorzerlegung liefert:

$8 = 2\cdot 2\cdot 2$

$12 = 2\cdot 2\cdot 3$

Es folgt also $\text{kgV}(8;12) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24$

Zurück zu unserer Aufgabe bedeutet das:

$\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$

$\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$

$\frac{21}{24} + \frac{10}{24} = \frac{31}{24} = 1 \frac{7}{24}$