Zahlenfolgen – Bildungsvorschriften

Zahlenfolgen – Bildungsvorschriften Übung

• Beschreibe, was man unter einer rekursiven und expliziten Bildungsvorschrift versteht.

  Tipps

  Das Folgenglied $a_7$ hat den Index $7$ und ist das siebte Element der Folge $(a_n)$.

  Bei der Folge $(a_n)$ ist $a_n$ der Vorgänger von $a_{n+1}$.

  Lösung

  Die Bildungsvorschrift eine Zahlenfolge $(a_n)$ gibt an, wie die Folgenglieder bestimmt werden können.
  Dabei unterscheiden wir zwischen rekursiven und expliziten Bildungsvorschriften. Sie gelten immer für die ganze Folge, müssen also so formuliert sein, dass wir damit jedes beliebige Folgenglied berechnen können.

  Rekursive Bildungsvorschrift:
  Jedes Folgenglied wird aus den vorherigen Folgengliedern bestimmt, deren Kenntnis vorausgesetzt wird. Das erste Folgenglied ist vorgegeben. Werden zur Berechnung mehrere vorherige Folgenglieder herangezogen, wie zum Beispiel bei der Fibonacci Folge, so muss die entsprechende Anzahl an Elementen am Beginn der Folge bekannt sein, um die weiteren Folgenglieder bilden zu können:
  $a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}$
  mit $a_1 = 1$ und $a_2 = 1$
  $\Rightarrow a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2$.

  Explizierte Bildungsvorschrift:
  Jedes Folgenglied wird aus dem Index $n$ bestimmt. Die Kenntnis des Vorgängers ist hier nicht nötig. Daher ist sie besonders nützlich, um Folgenglieder mit einem hohen Index schnell berechnen zu können.

  Beispiel:
  Folge $(a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)$ der natürlichen Zahlen

  Rekursive Bildungsvorschrift:
  $a_{n+1} = a_n + 1\ \$ mit $a_1 = 1$
  Hier wird das nächste Folgenglied durch die Addition von $1$ aus dem Vorherigen Folgenglied gebildet.

  Explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n = n$
  Hier entspricht jedes Folgenglied seinem Index $n$.

• Nenne Bildungsvorschriften von Folgen und deren Eigenschaften.

  Tipps

  Eine rekursive Bildungsvorschrift beschreibt, wie ein Folgenglied mithilfe vorheriger Folgenglieder bestimmt werden kann.
  Eine explizite Bildungsvorschrift beschreibt, wie ein Folgenglied aus dem Index bestimmt werden kann.

  $a_7$ ist das siebte Glied der Folge $(a_n)$.

  Lösung

  Wir können bestimmte Abfolgen von Zahlen durch eine Bildungsvorschrift beschreiben. Dabei unterscheiden wir zwischen expliziten und rekursiven Bildungsvorschriften einer Folge $(a_n)$:

  • explizit – ein Folgenglied wird aus dem Index bestimmt.
  • rekursiv – ein Folgenglied wird mithilfe vorheriger Folgeglieder bestimmt.

  Es gibt Zahlenfolgen, für die beide Arten von Bildungsvorschriften angegeben werden können und solche, bei denen es nur eine der beiden gibt. Wir kennen auch Zahlenfolgen, für die wir keine Bildungsvorschrift angeben können. Zum Beispiel die Folge der Primzahlen $(2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)$.

  Korrekte Aussagen:

  Der Index $n$ einer Folge $(a_n)$ durchläuft die natürlichen Zahlen.
  Eine Folge beginnt immer mit dem ersten Folgenglied $a_1$, die weiteren Elemente sind mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert.

  $a_{n+1} = a_n +1$ ist eine rekursive Darstellung der Folge der natürlichen Zahlen.
  Hier wird das nächste Folgenglied $a_{n+1}$ aus dem vorherigen Folgenglied $a_n$ bestimmt.
  Beispiel: $a_1 = 1$
  $\Rightarrow \quad a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

  Einzelne Folgenglieder lassen sich besonders schnell über eine explizite Bildungsvorschrift bestimmen.
  Wollen wir mit der rekursiven Vorschrift $a_{n+1} = a_n +1$ zum Beispiel das fünfte Folgenglied bestimmen, so müssen wir zunächst das Vierte ermitteln. Dazu benötigen wir das Dritte, usw.
  Mit der expliziten Vorschrift $a_n = n$ können wir das fünfte Folgenglied $a_5 = 5$ dagegen direkt angeben.

  Falsche Aussagen:

  Jede Folge hat eine explizite Bildungsvorschrift.
  Es gibt sogar Folgen, für die keine Bildungsvorschrift bekannt ist, wie zum Beispiel die Folge der Primzahlen.

  $a_n = n^2$ ist eine rekursive Darstellung der Folge der Quadratzahlen.
  Hier wird das $n$-te Folgenglied aus dem Index $n$ ermittelt, nicht aus dem vorherigen Folgenglied. Es handelt sich also um eine explizite, nicht um eine rekursive Bildungsvorschrift.

• Formuliere eine explizite und eine rekursive Bildungsvorschrift.

  Tipps

  Eine explizite Bildungsvorschrift gibt an, wie ein Folgenglied aus seinem Index $n$ berechnet werden kann.

  Beispiel:

  $(a_n) = (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...)$

  $a_1 = 3 = 1 \cdot 3$
  $a_2 = 6 = 2 \cdot 3$
  $a_5 = 15 = 5 \cdot 3$

  $\Rightarrow a_n = n \cdot 3 = 3n$

  Lösung

  Für viele Folgen können wir eine rekursive und eine explizite Bildungsvorschrift angeben. Dazu betrachten wir, wie die einzelnen Folgenglieder von ihrem Index (explizit) und den vorangehenden Folgengliedern (rekursiv) abhängen.

  Wir betrachten die Folgen:

  • $(a_n) = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)$

  Wir sehen, dass wir hier alle Folgenglieder als Vielfache von $2$ schreiben können:
  $a_1 = 2 = 1 \cdot 2$
  $a_2 = 4 = 2 \cdot 2$
  $a_3 = 6 = 3 \cdot 2$
  $...$

  Daraus ergibt sich die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n = n \cdot 2 = 2n$.

  Betrachten wir, wie sich die Folgenglieder von einem zum nächsten verändern, dann erkennen wir, dass diese stets um $2$ größer werden.
  Daraus ergibt sich die rekursive Bildungsvorschrift:
  $a_{n+1} = a_n + 2\,$ mit $\,a_1 = 2$.

  • $(a_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)$

  Wir sehen, dass wir hier alle Folgenglieder um genau $1$ geringer sind als bei der ersten Folge:
  $a_1 = 1 = 2 - 1 = (1 \cdot 2) - 1$
  $a_2 = 3 = 4 - 1 = (2 \cdot 2) - 1$
  $a_3 = 5 = 6 - 1 = (3 \cdot 2) - 1$
  $...$

  Daraus ergibt sich die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n = (n \cdot 2) - 1 = 2n - 1$.

  Betrachten wir, wie sich die Folgenglieder von einem zum nächsten verändern, dann erkennen wir, dass diese auch hier stets um $2$ größer werden.
  Daraus ergibt sich die rekursive Bildungsvorschrift:
  $a_{n+1} = a_n + 2\,$ mit $\,a_1 = 1$.

  
  

  Hinweis: Die beiden Folgen sind die Folge der geraden und die der ungeraden Zahlen.

• Entscheide, welche Bildungsvorschriften dieselbe Folge beschreiben.

  Tipps

  Beispiel:

  $a_n = \dfrac{1}{2^n}$ und

  $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2}\,$ mit $\,a_1 = \dfrac{1}{2}$

  beschreiben beide die Folge:

  $(a_n) = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{32}, ... \right)$

  Bestimme einige Folgenglieder über die Bildungsvorschriften.

  Lösung

  Wir können dieselbe Folge oft mit einer expliziten und einer rekursiven Bildungsvorschrift beschreiben.
  Ob zwei Bildungsvorschriften zu derselben Folge gehören, können wir feststellen, indem wir einige Folgenglieder nach der Bildungsvorschrift berechnen und vergleichen.

  Beispiel 1: $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5} \quad$ mit $a_1 = \dfrac{1}{5}$
  $\quad a_1 = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$

  $\quad a_2 = \dfrac{5^{-1}}{5} = 5^{-1-1} = 5^{-2}$

  $\quad a_3 = \dfrac{5^{-2}}{5} = 5^{-2-1} = 5^{-3}$

  $\quad a_4 = \dfrac{5^{-3}}{5} = 5^{-3-1} = 5^{-4}$

  $\Rightarrow a_n = 5^{-n}$
  Folge: $\left(\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{25}, \dfrac{1}{125}, \dfrac{1}{625}, \dfrac{1}{3\,125}, \dfrac{1}{15\,625}, ... \right)$

  Beispiel 2: $a_{n+1} = a_n + 3 \quad$ mit $a_1 = 5$
  $\quad a_1 = 5 = 5 + 0 \cdot 3$
  $\quad a_2 = 5 + 3 = 5 + 1 \cdot 3$
  $\quad a_3 = 5 + 1 \cdot 3 + 3 = 5 + 2 \cdot 3$
  $\quad a_4 = 5 + 2 \cdot 3 + 3 = 5 + 3 \cdot 3$
  $\Rightarrow a_n = 5 + 3(n - 1) = 2 + 3n$
  Folge: $(5, 8, 11, 14, 17, 20, ...)$

  Beispiel 3: $a_{n+1} = a_n + 2n - 1 \quad$ mit $a_1 = 2$
  $\quad a_1 = 2 = 1 + 1$
  $\quad a_2 = 2 + 2 \cdot 2 - 1 = 5 = 4 + 1$
  $\quad a_3 = 5 + 2 \cdot 3 - 1 = 10 = 9 + 1$
  $\quad a_4 = 10 + 2 \cdot 4 - 1 = 17 = 16 + 1$
  $\Rightarrow a_n = n^2 + 1$
  Folge: $(2, 5, 9, 17, 26, 37, ...)$

  Beispiel 4: $a_{n+1} = 5a_n \quad$ mit $a_1 = 10$
  $\quad a_1 = 10 = 2 \cdot 5$
  $\quad a_2 = 5 \cdot 10 = 50 = 2 \cdot 25$
  $\quad a_3 = 5 \cdot 50 = 250 = 2 \cdot 125$
  $\quad a_4 = 5 \cdot 250 = 1\,250 = 2 \cdot 625$
  $\Rightarrow a_n = 2 \cdot 5^n$
  Folge: $(10, 50, 250, 1\,250, 6\,250, 31\,250, ...)$

• Bestimme die Folgenglieder.

  Tipps

  Bildungsvorschriften für $(a_n)$:

  rekursiv: $\quad a_{n+1} = a_n + 2$ mit $a_1 = 2$

  explizit: $\quad a_n = 2n$

  Beispiel:

  $a_{30} = 2 \cdot 30 = 60$

  Lösung

  Wir können die Folge $(a_n)$ der geraden Zahl aufschreiben:

  $(a_n) = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, ...) = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)$

  Dabei sind die Folgenglieder durch den Index $n$ nummeriert. Wir sehen: $a_1 = 2$, $a_2 = 4$ und $a_3 = 6$.
  Um die Folgenglieder $a_{10}$ und $a_{50}$ zu bestimmen, können wir uns Arbeit sparen, indem wir eine Bildungsvorschrift für die Folge finden:

  rekursiv: $\quad a_{n+1} = a_n + 2$ mit $a_1 = 2$

  explizit: $\quad a_n = 2n$

  Wir nutzen die explizite Vorschrift und erhalten:
  $a_{10} = 2 \cdot 10 = 20$ und
  $a_{50} = 2 \cdot 50 = 100$

  Damit ergibt sich die folgende Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} a_1 & a_2 & a_3 & a_{10} & a_{50} \\ \hline 2 & 4 & 6 & 20 & 100 \\ \end{array}$

• Ermittle die passenden Bildungsvorschriften.

  Tipps

  Für Potenzen gilt:

  • $z^0 = 1$
  • $z^1 = z$
  • $z^{k+1} = z^k \cdot z$

  Wenn du eine Vermutung für eine passende Bildungsvorschrift hast, kannst du diese durch Ausprobieren überprüfen.

  Lösung

  Wenn wir zu einer gegebenen Folge $(a_n)$ die Bildungsvorschriften finden wollen, betrachten wir zunächst die Folgenglieder und suchen dabei nach einer Struktur. Dabei ist es manchmal einfacher, die explizite und manchmal einfacher die rekursiver Bildungsvorschrift zu formulieren.

  Wir betrachten die Folge: $(a_n) = (1, x, x^2, x^3, x^4, x^5, ...)$.

  Um eine Struktur der Folgenglieder besser sehen zu können, schreiben wir zunächst die ersten Folgenglieder ebenfalls als Potenzen von $x$:

  $a_1 = 1 = \color{#99CC00}{x^0}$
  $a_2 = x = \color{#99CC00}{x^1}$
  $a_3 = x^2$
  $a_4 = \color{#99CC00}{x^3}$

  Für die explizite Bildungsvorschrift überlegen wir nun, wie jedes Folgenglied von seinem Index $n$ abhängt. Wir erkennen:
  Die Folgenglieder sind Potenzen mit Basis $\color{#99CC00}{x}$. Der Exponent ist um $1$ geringer als der Index.

  $\Rightarrow \quad a_n = \color{#99CC00}{x^{n-1}}$

  Für die rekursive Bildungsvorschrift überlegen wir dann, wie sich ein Folgenglied aus seinem Vorgänger bestimmen lässt. Wir stellen fest:
  Es wird immer mit $x$ multipliziert, da sich der Exponent um eins erhöht: $x^{k+1} = x^k \cdot x$.

  $\Rightarrow \quad a_{n+1} = \color{#99CC00}{a_n \cdot x}$ mit $a_1 = 1$

  Hinweis: Du kannst die gefundenen Bildungsvorschriften überprüfen, indem du weitere Folgenglieder berechnest.