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Arithmetische und geometrische Folgen

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Team Digital
Arithmetische und geometrische Folgen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Arithmetische und geometrische Folgen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, arithmetische und geometrische Folgen zu erkennen und mit ihnen zu rechnen.

Zunächst lernst du, wie arithmetische Zahlenfolgen aufgebaut sind. Anschließend erfährst du, wie geometrische Zahlenfolgen aufgebaut sind.

Arithmetische und geometrische Folgen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Zahlenfolge, Folgenglied, rekursiv, explizit, arithmetisch und geometrisch.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits explizite und rekursive Bildungsvorschriften kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Zahlenfolgen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Grenzwerte von Zahlenfolgen zu untersuchen.

Transkript Arithmetische und geometrische Folgen

„Arithmetische“ und „geometrische Folgen“ das klingt erstmal sehr abstrakt! Was bitte soll man sich denn unter solchen Begriffen vorstellen?! Nun ja, die Grundeigenschaft von arithmetischen Folgen ist, dass der Abstand von Folgenglied zu Folgenglied immer genau gleich groß ist. Etwa so wie bei einem maschinellen Ablauf, der immer in den exakt gleichen Abständen getaktet ist. Und ein prominentes Beispiel für eine geometrische Folge ist der Zinseszins! Hier wird nämlich immer wieder mit dem gleichen Faktor multipliziert! Aber immer der Reihe nach! In diesem Video schauen wir uns mal genau an, was es mit „arithmetischen und geometrischen Folgen“ auf sich hat! Zuerst die arithmetischen Folgen! Hier siehst du ein Beispiel. Wir nennen eine Zahlenfolge arithmetisch, wenn der Abstand beziehungsweise die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich groß ist. Sie beträgt in diesem Fall jeweils drei. Diese Folge ist also auch arithmetisch! Die Differenz ist jetzt eben negativ. Wirklich nicht kompliziert, oder? Wenn eine nicht näher bestimmte Folge arithmetisch sein soll, muss sie also grundsätzlich die Bedingung erfüllen, dass die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich groß ist. Wir bezeichnen diese Differenz üblicherweise mit „d“. Wie eigentlich immer in Mathe, können wir das Ganze natürlich auch allgemein mithilfe von Formeln darstellen. Dafür solltest du bereits den Unterschied zwischen einer expliziten und einer rekursiven Bildungsvorschrift von Folgen kennen. Wir schauen uns zuerst die explizite an. Diese lautet: „a-n“ ist gleich „a-eins“ plus „n minus eins in Klammern“ mal „d“. Wenn wir mit dieser Bildungsvorschrift zum Beispiel das vierte Folgenglied einer Folge berechnen wollen, nehmen wir das erste Folgenglied als Ausgangspunkt und addieren das, eins-, zwei-, dreifache von d. Die rekursive Bildungsvorschrift ist bei arithmetischen Folgen sogar noch einfacher. Sie lautet: „a-n-plus-eins“ ist gleich „a-n“ plus „d“. Wenn wir also mit der rekursiven Bildungsvorschrift das fünfte Glied der Folge bestimmen möchten, müssen wir nur das vierte Folgenglied kennen und dann noch die Differenz d addieren, die dafür natürlich auch bekannt sein muss. Schauen wir uns die Bildungsvorschriften doch nochmal kurz an einem konkreten Beispiel an. Bei dieser Zahlenfolge erkennen wir, dass d gleich minus fünf ist. Das erste Folgenglied „a-eins“ ist gleich vierzehn. Die explizite Bildungsvorschrift sieht also so aus und die rekursive Bildungsvorschrift so. Bei der rekursiven Darstellung müssen wir noch angeben, dass das erste Folgenglied gleich vierzehn ist. Sonst wäre die Zahlenfolge durch die Bildungsvorschrift nicht eindeutig festgelegt. Schon haben wir alles was wir brauchen, um ein beliebiges Folgenglied dieser arithmetischen Folge zu berechnen. Bleibt nur noch eine Frage: Warum heißen die Dinger denn jetzt ausgerechnet arithmetischen Folgen? Das liegt ganz einfach daran, dass jedes Glied einer arithmetischen Folge gleich dem „arithmetischen Mittel“ der Nachbarglieder ist. Wenn du magst, kannst du es ja mal überprüfen! Alles klar, dann widmen wir unsere Aufmerksamkeit den geometrischen Folgen! Mithilfe von geometrischen Folgen können wir Wachstumsprozesse beschreiben, bei denen etwas pro Zeiteinheit um einen bestimmten Faktor wächst oder schrumpft. Auch hierzu erstmal ein paar konkrete Beispiele. Erkennst du mit welchen Faktor wir jeweils multiplizieren müssen, um von einem Folgenglied auf das nächste zu kommen? Bei der ersten Folge mit drei und bei der zweiten Folge mit minus ein Halb! Bei geometrischen Folgen haben wir also einen konstanten Faktor, mit dem wir multiplizieren, um von Folgenglied auf Folgenglied zu kommen. Dieser wird allgemein meist als „q“ bezeichnet. Die Bezeichnung „geometrisch“ leitet sich hier übrigens davon ab, dass ein Folgenglied gleich dem „geometrischen Mittel“ der beiden Nachbarglieder ist. Auch geometrische Folgen können wir explizit und rekursiv darstellen. Die explizite Bildungsvorschrift lautet: „a-n“ gleich „a-eins“ mal „q hoch n-minus-eins“. Wie die rekursive Bildungsvorschrift aussieht, kannst du dir wahrscheinlich schon denken: „a-n-plus-eins“ gleich „a-n“ mal „q“. Wir schauen uns das mal an dem eingangs erwähnten Beispiels des Zinseszinses an. Wir nehmen an, dass wir ein Startkapital von zehntausend Euro haben. Das ist dann unser erstes Folgenglied. Außerdem gehen wir von einem Zinssatz von fünf Prozent aus. Nicht besonders realistisch, aber damit kann man schön rechnen. Der Faktor q ist also gleich 1,05. Jetzt können wir zum Beispiel mit der rekursiven Bildungsvorschrift ganz leicht das zweite und dritte Folgenglied bestimmen. Wir setzten die Werte zunächst für das zweite Folgenglied in die Formel ein und können mit dem Ergebnis dann auch das dritte Folgenglied bestimmen. Wenn wir ein höheres, wie zum Beispiel das achte Folgenglied bestimmen möchten, ist es einfacher, auf die explizite Bildungsvorschrift zurückzugreifen. Denn mit dieser können wir das Folgenglied berechnen, ohne den Vorgänger kennen zu müssen. Wir setzen einfach die gegebenen Werte ein. Der Taschenrechner spuckt uns dann dieses gerundete Ergebnis aus. Wir fassen nochmal zusammen: Wir haben in diesem Video gesehen was arithmetische und geometrische Folgen kennzeichnet. Beide weisen ein grundlegendes Muster auf, an denen wir sie erkennen können. Während arithmetische Folgen immer so aufgebaut sind, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist, ist es bei geometrischen Folgen der konstante Faktor, der zwei aufeinanderfolgende Glieder unterscheidet. Beide Folgentypen können wir sowohl explizit als auch rekursiv darstellen. Wir können Folgen übrigens auch im Koordinatensystem darstellen! Dabei kommen interessante Erkenntnisse zum Vorschein. Wie zum Beispiel, dass die Folgenglieder einer arithmetischen Folge als Punkte immer auf dem Graphen einer linearen Funktion liegen. Oder, wenn wir diese geometrische Folge betrachten, dass sich die zugehörigen Punkte in einem immer enger werdenden „Schlauch“ um die x-Achse befinden. Hier schließen sich Fragen nach dem Verhalten von Folgen im Unendlichen und nach Grenzwerten an. Wenn dich das interessiert, solltest du dir unbedingt auch die folgenden Videos anschauen!

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