40%

Cyber Monday-Angebot – nur bis zum 4.12.2022

sofatutor 30 Tage lang kostenlos testen & dann 40 % sparen!

Arithmetische und geometrische Folgen

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Gib eine Bewertung ab!

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Arithmetische und geometrische Folgen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Arithmetische und geometrische Folgen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, arithmetische und geometrische Folgen zu erkennen und mit ihnen zu rechnen.

Zunächst lernst du, wie arithmetische Zahlenfolgen aufgebaut sind. Anschließend erfährst du, wie geometrische Zahlenfolgen aufgebaut sind.

Arithmetische und geometrische Folgen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Zahlenfolge, Folgenglied, rekursiv, explizit, arithmetisch und geometrisch.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits explizite und rekursive Bildungsvorschriften kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Zahlenfolgen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Grenzwerte von Zahlenfolgen zu untersuchen.

Transkript Arithmetische und geometrische Folgen

„Arithmetische“ und „geometrische Folgen“ das klingt erstmal sehr abstrakt! Was bitte soll man sich denn unter solchen Begriffen vorstellen?! Nun ja, die Grundeigenschaft von arithmetischen Folgen ist, dass der Abstand von Folgenglied zu Folgenglied immer genau gleich groß ist. Etwa so wie bei einem maschinellen Ablauf, der immer in den exakt gleichen Abständen getaktet ist. Und ein prominentes Beispiel für eine geometrische Folge ist der Zinseszins! Hier wird nämlich immer wieder mit dem gleichen Faktor multipliziert! Aber immer der Reihe nach! In diesem Video schauen wir uns mal genau an, was es mit „arithmetischen und geometrischen Folgen“ auf sich hat! Zuerst die arithmetischen Folgen! Hier siehst du ein Beispiel. Wir nennen eine Zahlenfolge arithmetisch, wenn der Abstand beziehungsweise die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich groß ist. Sie beträgt in diesem Fall jeweils drei. Diese Folge ist also auch arithmetisch! Die Differenz ist jetzt eben negativ. Wirklich nicht kompliziert, oder? Wenn eine nicht näher bestimmte Folge arithmetisch sein soll, muss sie also grundsätzlich die Bedingung erfüllen, dass die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich groß ist. Wir bezeichnen diese Differenz üblicherweise mit „d“. Wie eigentlich immer in Mathe, können wir das Ganze natürlich auch allgemein mithilfe von Formeln darstellen. Dafür solltest du bereits den Unterschied zwischen einer expliziten und einer rekursiven Bildungsvorschrift von Folgen kennen. Wir schauen uns zuerst die explizite an. Diese lautet: „a-n“ ist gleich „a-eins“ plus „n minus eins in Klammern“ mal „d“. Wenn wir mit dieser Bildungsvorschrift zum Beispiel das vierte Folgenglied einer Folge berechnen wollen, nehmen wir das erste Folgenglied als Ausgangspunkt und addieren das, eins-, zwei-, dreifache von d. Die rekursive Bildungsvorschrift ist bei arithmetischen Folgen sogar noch einfacher. Sie lautet: „a-n-plus-eins“ ist gleich „a-n“ plus „d“. Wenn wir also mit der rekursiven Bildungsvorschrift das fünfte Glied der Folge bestimmen möchten, müssen wir nur das vierte Folgenglied kennen und dann noch die Differenz d addieren, die dafür natürlich auch bekannt sein muss. Schauen wir uns die Bildungsvorschriften doch nochmal kurz an einem konkreten Beispiel an. Bei dieser Zahlenfolge erkennen wir, dass d gleich minus fünf ist. Das erste Folgenglied „a-eins“ ist gleich vierzehn. Die explizite Bildungsvorschrift sieht also so aus und die rekursive Bildungsvorschrift so. Bei der rekursiven Darstellung müssen wir noch angeben, dass das erste Folgenglied gleich vierzehn ist. Sonst wäre die Zahlenfolge durch die Bildungsvorschrift nicht eindeutig festgelegt. Schon haben wir alles was wir brauchen, um ein beliebiges Folgenglied dieser arithmetischen Folge zu berechnen. Bleibt nur noch eine Frage: Warum heißen die Dinger denn jetzt ausgerechnet arithmetischen Folgen? Das liegt ganz einfach daran, dass jedes Glied einer arithmetischen Folge gleich dem „arithmetischen Mittel“ der Nachbarglieder ist. Wenn du magst, kannst du es ja mal überprüfen! Alles klar, dann widmen wir unsere Aufmerksamkeit den geometrischen Folgen! Mithilfe von geometrischen Folgen können wir Wachstumsprozesse beschreiben, bei denen etwas pro Zeiteinheit um einen bestimmten Faktor wächst oder schrumpft. Auch hierzu erstmal ein paar konkrete Beispiele. Erkennst du mit welchen Faktor wir jeweils multiplizieren müssen, um von einem Folgenglied auf das nächste zu kommen? Bei der ersten Folge mit drei und bei der zweiten Folge mit minus ein Halb! Bei geometrischen Folgen haben wir also einen konstanten Faktor, mit dem wir multiplizieren, um von Folgenglied auf Folgenglied zu kommen. Dieser wird allgemein meist als „q“ bezeichnet. Die Bezeichnung „geometrisch“ leitet sich hier übrigens davon ab, dass ein Folgenglied gleich dem „geometrischen Mittel“ der beiden Nachbarglieder ist. Auch geometrische Folgen können wir explizit und rekursiv darstellen. Die explizite Bildungsvorschrift lautet: „a-n“ gleich „a-eins“ mal „q hoch n-minus-eins“. Wie die rekursive Bildungsvorschrift aussieht, kannst du dir wahrscheinlich schon denken: „a-n-plus-eins“ gleich „a-n“ mal „q“. Wir schauen uns das mal an dem eingangs erwähnten Beispiels des Zinseszinses an. Wir nehmen an, dass wir ein Startkapital von zehntausend Euro haben. Das ist dann unser erstes Folgenglied. Außerdem gehen wir von einem Zinssatz von fünf Prozent aus. Nicht besonders realistisch, aber damit kann man schön rechnen. Der Faktor q ist also gleich 1,05. Jetzt können wir zum Beispiel mit der rekursiven Bildungsvorschrift ganz leicht das zweite und dritte Folgenglied bestimmen. Wir setzten die Werte zunächst für das zweite Folgenglied in die Formel ein und können mit dem Ergebnis dann auch das dritte Folgenglied bestimmen. Wenn wir ein höheres, wie zum Beispiel das achte Folgenglied bestimmen möchten, ist es einfacher, auf die explizite Bildungsvorschrift zurückzugreifen. Denn mit dieser können wir das Folgenglied berechnen, ohne den Vorgänger kennen zu müssen. Wir setzen einfach die gegebenen Werte ein. Der Taschenrechner spuckt uns dann dieses gerundete Ergebnis aus. Wir fassen nochmal zusammen: Wir haben in diesem Video gesehen was arithmetische und geometrische Folgen kennzeichnet. Beide weisen ein grundlegendes Muster auf, an denen wir sie erkennen können. Während arithmetische Folgen immer so aufgebaut sind, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist, ist es bei geometrischen Folgen der konstante Faktor, der zwei aufeinanderfolgende Glieder unterscheidet. Beide Folgentypen können wir sowohl explizit als auch rekursiv darstellen. Wir können Folgen übrigens auch im Koordinatensystem darstellen! Dabei kommen interessante Erkenntnisse zum Vorschein. Wie zum Beispiel, dass die Folgenglieder einer arithmetischen Folge als Punkte immer auf dem Graphen einer linearen Funktion liegen. Oder, wenn wir diese geometrische Folge betrachten, dass sich die zugehörigen Punkte in einem immer enger werdenden „Schlauch“ um die x-Achse befinden. Hier schließen sich Fragen nach dem Verhalten von Folgen im Unendlichen und nach Grenzwerten an. Wenn dich das interessiert, solltest du dir unbedingt auch die folgenden Videos anschauen!

Arithmetische und geometrische Folgen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Arithmetische und geometrische Folgen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die richtigen Bildungsvorschriften der Folge an.

    Tipps

    Es gibt zwei Arten von Bildungsvorschriften: explizit und rekursiv.

    Die explizite Bildungsvorschrift ist ein allgemeiner Term für das $n$-te Folgenglied, welches durch Einsetzen der Variable $n$ berechnet werden kann.
    Die rekursive Bildungsvorschrift ist ein Term für das $n$-te Folgenglied unter Verwendung seine Vorgänger.

    Allgemeine Form der rekursiven Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen:

    Allgemeine Form der expliziten Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen:

    Lösung

    Die Folge $(a_n) = (4,7,10,13,16,...)$ ist eine arithmetische Folge. Das bedeutet, dass das Muster der Folge eine konstante Addition ist und dass der Abstand der Folgenglieder immer gleich bleibt. Die Folge beginnt mit dem ersten Folgenglied $a_1=4$ und es werden immer $d = 3$ addiert.

    Es gibt zwei Arten, die Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen darzustellen:

    • Die explizite Bildungsvorschrift der Folge ist $a_n = 4 + (n-1) \cdot 3$.
    Mit der expliziten Bildungsvorschrift kann ein Folgenglied in Abhängigkeit des Index $n$ bestimmt werden.
    Wir können beispielsweise das dritte Folgenglied durch Einsetzen von $n = 3$ in die explizite Bildungsvorschrift berechnen:
    $a_3 = 4+ (3-1) \cdot 3 = 4 + 2\cdot3 = 10$

    • Die rekursive Bildungsvorschrift der Folge ist $a_{n+1}= a_n +3$, wobei das erste Folgenglied $a_1=4$ ist.
    Mit der rekursiven Bildungsvorschrift kann ein Folgenglied in Abhängigkeit seiner Vorgänger bestimmt werden. Aus diesem Grund muss immer das erste Folgenglied angegeben werden, um weitere Folgenglieder ausrechnen zu können.
    Wir bestimmen die nächsten Folgenglieder mit der rekursiven Bildungsvorschrift:
    $a_2 = 4+3 = 7$
    $a_3 = 7+3 = 10$

  • Bestimme die Bildungsvorschriften der Folge.

    Tipps

    Allgemeine Form der expliziten Bildungsvorschrift von geometrischen Folgen:

    Allgemeine Form der rekursiven Bildungsvorschrift von geometrischen Folgen:

    Die Folgenglieder werden immer mit $3$ multipliziert. Das bedeutet, dass wir in der Formel für $q$ die $3$ einsetzen können.

    Lösung

    Die Folge $(a_n) = (2,6,18,54,162,...)$ ist eine geometrische Folge. Die Folgenglieder werden stets jeweils mit den gleichen Faktor $q$ multipliziert. Diese Folge beginnt mit $a_1 = 2$ und die Folgenglieder werden immer mit $q=3$ multipliziert.

    Für die Bildungsvorschrift dieser geometrischen Folge gibt es nun zwei Möglichkeiten:

    • Die explizite Bildungsvorschrift ist $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.
    Mit dieser Bildungsvorschrift kann ein beliebiges Folgenglied anhand des Index $n$ bestimmt werden.
    Damit können wir zum Beispiel $a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$ direkt durch Einsetzen von $n=4$ berechnen.

    • Die rekursive Bildungsvorschrift ist $a_{n+1} = a_n \cdot 3$, wobei das erste Folgenglied $a_1 = 2 $ ist.
    Mit der rekursiven Bildungsvorschrift kann jedes Folgenglied mithilfe seiner Vorgänger bestimmt werden. Damit das funktioniert und wir alle Folgenglieder ausrechnen können, muss bei der rekursiven Bildungsvorschrift auch immer das erste Folgenglied $a_1$ angegeben werden.
    Demnach lassen sich beispielsweise die nächsten Folgenglieder bestimmen:
    $a_2 = a_1 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
    $a_3 = a_2 \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$

  • Kennzeichne die Teile der expliziten Bildungsvorschrift.

    Tipps

    Zunächst solltest du herausfinden, ob es sich bei der Folge um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt.

    Wenn du das Muster nicht erkennst, kann es hilfreich sein, die Folge mit den einzelnen Folgengliedern nacheinander mit der Vorschrift zu bestimmen und aufzuschreiben.

    Bei der arithmetischen Folge $(a_n) = (1,3,5,7,...)$ lässt sich zum Beispiel erkennen, dass die Folge bei $a_1=1$ beginnt und zu den Folgengliedern immer $d=2$ addiert wird. Wenn du das Muster so erkennen kannst, dann lässt sich die explizite Bildungsvorschrift beispielsweise auch schnell aufstellen: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 2$.

    Lösung

    Mithilfe der Bildungsvorschrift lassen sich die einzelnen Folgenglieder durch Einsetzen ihres Index $n$ berechnen. Dadurch können wir herausfinden, ob die Folge arithmetisch oder geometrisch ist. Denn dann wissen wir, ob sich die Folgenglieder um einen Summanden $d$ wie bei arithmetische Folgen oder einen Faktor $q$ wie bei geometrischen Folgen unterscheiden.

    Erste Folge: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$
    Setzen wir nacheinander natürliche Zahlen für $n$ ein, dann erhalten wir die Folgenglieder der Folge $(a_n) = (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},...)$. Anhand der Folgenglieder erkennen wir, dass diese Folge eine geometrische Folge ist, weil sich die Folgenglieder um den Faktor $q= \frac{1}{2}$ unterscheiden. Das erste Folgenglied ist hier außerdem $a_1 =1 $.

    Zweite Folge: $a_n = -9 + (n-1) \cdot 6$
    Durch Einsetzen verschiedener Werte für den Index $n$ können wir einige Folgenglieder der Folge $(a_n) = (-9,-3,3,9,15,...)$ bestimmen. Da die Differenz der Folgenglieder hier immer gleich ist, muss diese Folge eine arithmetische Folge sein. Die Folgenglieder unterscheiden sich um den gleichen Summanden $d=6$, wobei die Folge bei $a_1 = -9$ startet.

    Dritte Folge: $a_n = 12 + (n-1) \cdot (-5)$
    Setzen wir auch hier verschiedene Werte für den Index $n$ ein, dann lassen sich die ersten Folgenglieder der Folge $(a_n) = (12,7,2,-3,-8,...)$ bestimmen. Obwohl diese Folge immer kleiner wird, erkennen wir hier gut, dass der Abstand zweier Folgenglieder immer gleich ist. Diese Folge muss eine arithmetische Folge sein. Von den Folgengliedern werden stets $5$ subtrahiert. Das bedeutet, dass der Summand hier $d= -5$ ist. Außerdem können wir erkennen, dass das erste Folgenglied $a_1= 12$ ist.

    Vierte Folge: $ a_n = 2 \cdot 2^{n-1}$
    Die ersten Folgenglieder der Folge $(a_n)= (2,4,8,16,32,...)$ lassen sich durch Einsetzen der ersten natürlichen Zahlen für den Index $n$ bestimmen. Anhand der Folgenglieder erkennen wir, dass die Folge eine geometrische Folge sein muss. Denn wir sehen, dass die Folgenglieder sich stets um den Faktor $q=2$ unterscheiden. An den ersten Folgengliedern erkennen wir auch direkt: $a_1 = 2$.

  • Ermittle die expliziten Bildungsvorschriften der Folgen.

    Tipps

    Überlege zunächst, um welche Art von Folge es sich handelt.

    Beispiel einer expliziten Bildungsvorschrift für eine arithmetische Folge:

    Beispiel einer expliziten Bildungsvorschrift für eine geometrische Folge:

    Lösung

    Sowohl arithmetische als auch geometrische Folgen lassen sich mithilfe einer Bildungsvorschrift explizit darstellen.
    Die explizite Bildungsvorschrift für arithmetische Folgen lautet im Allgemeinen: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$.
    Für geometrische Folgen schreiben wir allgemein: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
    Mit expliziten Bildungsvorschriften lässt sich jedes Folgenglied direkt aus dem Index $n$ bestimmen. Die Bildungsvorschriften für die Folgen lauten:

    Erste Folge: $(a_n)= (3,6,12,24,48,...)$
    Hier handelt es sich um eine geometrische Folge, da sich der Wert der Folgenglieder stets um den Faktor $2$ verändert. Das erste Folgenglied ist $a_1 = 3$. Mit $q = 2$ erhalten wir die explizite Bildungsvorschrift:
    $a_n=3\cdot 2^{n-1}$
    Damit können wir zum Beispiel $a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ berechnen.

    Zweite Folge: $(a_n)= (6,10,14,18,22,...)$
    Diese Folge ist eine arithmetische Folge, da zu den Folgengliedern immer die gleiche Zahl $4$ addiert wird. Durch Einsetzen des ersten Folgengliedes $a_1=6$ und dem Summanden $d=4$ erhalten wir die explizite Bildungsvorschrift:
    $a_n=6+ (n-1) \cdot 4$
    Mit dieser Vorschrift lässt sich zum Beispiel das fünfte Folgenglied $a_5 = 6 + (5-1) \cdot 4 = 6 + 4\cdot 4 =$
    $6+16 = 22 $ direkt bestimmen.

    Dritte Folge: $(a_n)= (2,-6,18,-52,162,...)$
    Bei dieser Folge handelt es sich um eine geometrische Folge, da die Folgenglieder stets mit $-3$ multipliziert werden. Mit $q=-3$ und dem ersten Folgenglied $a_1 = 2$ ergibt sich die explizite Bildungsvorschrift:
    $a_n=2\cdot (-3)^{n-1}$
    Mithilfe dieser Vorschrift können wir beispielsweise das dritte Folgenglied $a_3 = 2 \cdot (-3)^{3-1} = 2 \cdot (-3)^2 =$
    $2 \cdot 9 = 18 $ einfach durch Einsetzen des Index $3$ des Folgengliedes bestimmen.

    Vierte Folge: $(a_n)= (2,8,14,20,26,...)$
    Die letzte Folge ist eine arithmetische Folge, da zu den Folgengliedern stets die gleiche Zahl $6$ addiert wird. Zusammen mit dem ersten Folgenglied $a_1 = 2$ und dem Summanden $d=6$ ergibt sich für die explizite Bildungsvorschrift:
    $a_n=2+ (n-1) \cdot 6$
    Damit lässt sich beispielsweise das vierte Folgenglied $a_4 = 2 + (4-1) \cdot 6 = 2+ 3\cdot 6 = 2+ 18 = 20$ einfach berechnen.

  • Vervollständige den Text zu arithmetischen und geometrischen Folgen.

    Tipps

    Um zwischen arithmetischen und geometrischen Folgen zu unterscheiden, solltest du überlegen, ob zwischen den Folgengliedern addiert oder multipliziert wird.

    Wenn du weißt, ob es eine arithmetische oder geometrische Folge ist, musst du im nächsten Schritt herausfinden, welche Zahl konstant addiert wird, bzw. mit welchem konstanten Faktor multipliziert wird.

    Lösung

    Die Folge $(a_n)=(2,6,10,14,18, ... )$ ist eine arithmetische Folge, weil zu den Folgengliedern konstant die gleiche Zahl addiert wird. Anders als bei geometrischen Folgen werden die Folgenglieder nicht mit einem konstanten Faktor multipliziert.
    Die Zahl, die bei dieser Folge zu jedem Folgenglied addiert wird, ist die $4$. Das heißt, nach dem fünften Folgenglied $a_5 = 18$ kommt das Folgenglied $a_6 = 22$.

  • Stelle die Bildungsvorschriften der Folge auf und ergänze das nächste Folgenglied.

    Tipps

    Um die explizite Bildungsvorschrift zu ermitteln, betrachten wir die Folge und versuchen, das gesamte Muster der Folge zu verstehen. Erkennen wir wie im Bild zum Beispiel, dass die Folgenglieder immer mit $2$ addiert werden, dann können wir die explizite Bildungsvorschrift mit $d=2$ notieren.

    Für die rekursive Bildungsvorschrift reicht es, zu betrachten, wie sich die Folgenglieder zueinander verändern. Erkennen wir, wie hier, eine Multiplikation mit dem Faktor $q = -\frac{1}{2}$, dann ergibt sich als rekursive Bildungsvorschrift für das nächste Folgenglied $a_{n+1} = a_n \cdot (-\frac{1}{2})$. Dabei ist $a_n$ der Vorgänger und wir geben das erste Folgenglied $a_1=1$ immer mit an.

    Lösung

    Um die Folgen zu ergänzen und die beiden Bildungsvorschriften zu bestimmen, muss erst untersucht werden, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt. Dann können wir die explizite und rekursive Bildungsvorschrift aufstellen, indem wir das erste Folgenglied $a_1$ und den Summanden $d$ für arithmetische Folgen bzw. den Faktor $q$ für geometrische Folgen identifizieren.

    Erste Folge: $(a_n)= (1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16},\mathbf{-\frac{1}{32}},...)$
    Bei dieser Folge handelt es sich um eine geometrische Folge, da sich die Folgenglieder stets um den Faktor
    $q = -\frac{1}{2}$ unterscheiden. Mit dem ersten Folgenglied $a_1 = 1$ ergeben sich die beiden Bildungsvorschriften:

    • explizit: $a_n=1 \cdot (\mathbf{-\frac{1}{2}})^{n-1}$
    • rekursiv: $a_{n+1} = a_n \cdot (-\frac{1}{2})$ mit $a_1=\mathbf{1}$

    Zweite Folge: $(b_n)= (16,11,6,1,-4,\mathbf{-9},...)$
    Diese Folge ist eine arithmetische Folge, weil der Wert der Folgenglieder im gleichen Abstand kleiner wird. Von den Folgengliedern wird immer $5$ abgezogen, sodass wir hier den Summanden $d=-5$ einsetzen können. Für die Bildungsvorschriften ergibt das:

    • explizit: $b_n=\mathbf{16} + (n-1) \cdot \mathbf{(-5)}$
    • rekursiv: $b_{n+1} = b_n - 5$ mit $b_1=16$

    Dritte Folge: $(c_n)= (9,-3,1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{9},\mathbf{-\frac{1}{27}},...)$
    Die letzte Folge ist eine geometrische Folge, weil sich die Folgenglieder hier um den konstanten Faktor $q = - \frac{1}{3}$ verändern.

    • explizit: $c_n=\mathbf{9} \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$
    • rekursiv: $c_{n+1} = c_n \cdot(\mathbf{-\frac{1}{3}})$ mit $c_1=9$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.062

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.281

Lernvideos

42.389

Übungen

37.454

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden