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Eigenschaften von Folgen

Bildungsvorschrift, arithmetische Folge, geometrische Folge, Monotonie, Beschränktheit, Maximum, Minimum, obere Grenze, untere Grenze

Was ist eine Folge?

Im Alltag begegnet uns der Begriff Folge im Sinne einer Reihenfolge bestimmter Elemente, die genau festgelegt ist. Will man sich beispielsweise die Zähne putzen, muss zuerst die Pasta auf die Zahnbürste. Die Reihenfolge ist festgelegt, so dass die Anordnung der Elemente und ihrer Folgenglieder eine entscheidende Rolle spielt.

In der Mathematik betrachten wir eine Funktion als Folge, wenn der Definitionsbereich eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_{0}$ ist:

$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele für unendliche und endliche Zahlenfolgen.

Eine Folge, welche einer Position die jeweilige Primzahl zuordnet, ist wie folgt angegeben:

$f:\{1;2;3;4;5;...\} \rightarrow \{2;3;5;7;11;...\}$

Diese Zahlenfolge ist nach oben hin unbegrenzt, also unendlich. Nun betrachten wir eine Folge, welche der Menge der Quadratzahlen kleiner als $10$ die jeweiligen Wurzeln zuordnet:

$f:\{0;1;4;9\}\rightarrow \{0;1;2;3\}$

Diese Zahlenfolge ist nach oben hin begrenzt, also endlich.

Zur Schreibweise

Es gibt unterschiedliche Schreibweisen für Folgen. Wir schauen uns dazu die Folge gerader Zahlen an. Diese ordnet einer Position die jeweilige gerade Zahl zu:

$f:\{0;1;2;3;...\}\rightarrow\{0;2;4;6; …\}$

Die Folgenglieder können wir auch wie folgt angeben:

$\{0;2;4;6;...\}$

$\lt 0;2;4;6;...\gt$

Üblicherweise bezeichnen wir Folgen mit dem Buchstaben $a$ und geben sie wie folgt an:

  • $a:n \mapsto a(n)$
  • $n\mapsto a_{n}$.

Definition des Bildungsgesetzes:

$a = (a_{n}) = \{a_{0}; a_{1}; a_{2}; a_{3};...\} \in\mathbb{R}, a_{i} \in \mathbb{R}, i \in \mathbb{N}_{0}$

Bildungsgesetze

Wir haben weiter oben eine endliche Zahlenfolge kennengelernt. Hier wählen wir die Zahlenfolge ${ 1;3;5;7;9;11 }$ und erkennen eine endliche Folge mit einer vollständigen Aufzählung der Folgeglieder. Als unendliche Folge hätten wir dann folgende Darstellung:

$\{1;3;5;7; …\}$

Allgemein können wir die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen mit Hilfe der expliziten Bildungsvorschrift darstellen als:

$ a_{n} = 1 + 2(n - 1), \quad n\in\mathbb{N} \setminus{0}$

Die explizite Bildungsvorschrift erkennt man daran, dass das allgemeine Folgenglied $ a_{n}$ aus einem Term mit $n$ gebildet wird.

So lässt sich beispielsweise das fünfte Glied dieser Zahlenfolge berechnen, wenn wie folgt $n = 5$ in die Gleichung einsetzt wird:

$a_{5} = 1 + 2(5 - 1) = 9$

Alternativ lässt sich die Folge der ungeraden Zahlen auch mit der rekursiven Bildungsvorschrift darstellen:

$ a_{1} = 1$

$a_{n} = a_{n-1} + 2, \quad n\in\mathbb{N}, n\geq 2$

Hier gibt die Formel an, wie wir ein Folgenglied aus einem oder mehreren Folgegliedern berechnen können. Also: Das $n$-te Glied $(a_{n})$ entsteht dadurch, dass zum Vorgänger dieses Folgengliedes $(a_{n-1})$ noch $2$ addiert wird.

$a_{2} = a_{2-1} + 2 = a_{1} + 2 = 1 + 2 = 3$

$a_{3} = a_{3-1} + 2 = a_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$

$a_{4} = a_{4-1} + 2 = a_{3} + 2 = 5 + 2 = 7$

Für das fünfte Folgeglied erhalten wir:

$a_{5} = a_{5-1} + 2 = a_{4} + 2 = 7 + 2 = 9$

Ein Nachteil der rekursiven Bildungsvorschrift besteht darin, dass man das vorangegangene Glied kennen muss, um das Folgenglied zu bestimmen. Sehr lästig wird dies, wenn beispielsweise das hundertste Glied berechnet werden soll. Denn dazu wird das neunundneunzigste Glied benötigt:

$a_{100} = a_{99} + 2$

Unterteilung in Klassen

Bei Zahlenfolgen unterscheiden wir verschiedene Klassen:

konstante Folgen

$ a_{n} = d, \quad d\in\mathbb{R}$

Beispiel:

$a_{n} = {1;1;1; …}$

Die Glieder dieser Folge sind alle gleich.

arithmetische Folgen

$a_{n} = a_{0} + n\cdot d, \quad a_{0} \in\mathbb{R}, d \in\mathbb{R}$

$a = {a_0; a_1; a_2; a_3; …} = {a_0; a_0 + 1d; a_0 + 2d; a_0+ 3d …}$

Zwischen zwei Nachbarn ist die Differenz $d$ immer konstant, das heißt:

$a_{n+1} - a_{n} = a_{0} + (n + 1) \cdot d – (a_{0} + nd) = d$

Mit $a_{0} = 1$ und $d = 1$ erhalten wir die Folge:

$a_n = {1;2;3; …}, \quad d = 1, a_0 = 1$

Mit $b_{0} = 1$ und $d = 3$ ergibt sich die Folge

$b_{n} = {1;4;7;10 …}, \quad d = 3, b_0 = 1$

Diese Art von Zahlenfolgen findet man häufig auf Rätselseiten oder in Einstellungstest. Durch Überlegung lassen sich die Folgeglieder über die Differenz der Nachbarglieder leicht bestimmen.

geometrische Folgen

$a_n = a_0 \cdot q^{n}, \quad a_{0},q\in\mathbb{R}$

$a = {a_0; a_1; a_2; a_3; …} = {a_0; a_0\cdot q^{1}; a_0\cdot q^{2}; a_0\cdot q^{3}; …}$

Zwischen den Nachbarn ist der Quotient $q$ immer konstant, das heißt:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{a_{0}\cdot q_{n+1}}{a_{0}\cdot q_{n}} = q$

Beispiele:

$a_{n} = {a_{0};a_{1};a_{2};a_{3}; …} = {1;2;4;8, …}, a_{0} = 1, q = 2$

$b_{n} = {b_{0};b_{1};b_{2};b_{3}; …} = {1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}; …}= (\frac{1}{2})^{n}$

$n\in\mathbb{N}_{0}, a_{0} = 1, q = \frac{1}{2}$

Eigenschaften von Folgen

Monotonie

Eine wichtige Eigenschaft von Folgen ist die Monotonie

$(a_{n})$ heißt monoton fallend, wenn $a_{n+1}\leq a_{n}$

$(a_{n})$ heißt streng monoton fallend, wenn $a_{n+1}\lt a_{n}$

$(a_{n})$ heißt monoton steigend, wenn $a_{n+1}\geq a_{n}$

$(a_{n})$ heißt streng monoton steigend, wenn $a_{n+1}\gt a_{n}$

Wir betrachten beispielhaft die Folge der natürlichen Zahlen:

$a{n} = {1, 2, 3, …}$

Die Folge $a_{n}$ ist streng monoton steigend, da $a_{n+1}\gt a_{n}$.

Im Vergleich dazu betrachten wir eine andere Folge:

$b_{n} = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}$

Die Folge $b_{n}$ ist monoton steigend, da $a_{n+1}\geq a_{n}$

Als nächstes betrachten wir die Folge $c_{n}$:

$c_{n} = {1, 1, 1, …}$

Sie ist sowohl monoton steigend als auch monoton fallend, also konstant.

Schließlich erkennen wir in der Folge

$d_{n} = {1, 0, -1, 2, 3, -1, …}$

keinerlei Regelmäßigkeiten, sie ist folglich nicht monoton.

Beschränktheit

Eine weitere Eigenschaft von Folgen ist die Beschränktheit

Wir untersuchen vier verschiedene Folgen auf Beschränktheit.

$a_{n}$ heißt beschränkt, falls $k\gt 0$, so dass

$|a_{n}|\leq k$

$a_{n} = {1;2;3; …}$

ist nicht beschränkt, da sie nach oben hin offen ist.

$b_{n} = {-1;-2;-3, …}$

ist ebenso nicht beschränkt, da sie ist nach unten hin offen ist.

$c_{n} = {1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}; …}$

als dritte Folge ist dagegen beschränkt, da für $k = 1$ gilt:

$|c_{n}| = c_{n} \leq 1$

Diese Folge ist nach oben beschränkt durch die $1$, nach unten durch $0$.

Wir betrachten schließlich die Folge

$d_{n} = {-1, 1, -1, 1, …}$

Diese ist auch beschränkt für $k = 1$, da $d_{n} = (-1)^{n}$ betraglich nie über $1$ hinausgeht.

Fibonacci-Zahlen

Die besondere Zahlenfolge der Fibonacci Zahlen wurde 1202 von dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci entdeckt.

Als Veranschaulichung dient das Verhalten einer Kaninchenpopulation mit vier Regeln:

  • Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreife Kaninchen.
  • Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
  • Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
  • Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, in dem kein Tier die Population verlassen kann und kein Tier hinzukommt. Es stirbt auch keines der Kaninchen.

Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich:

Zu Beginn: $0$ Kaninchen, im ersten Monat ein Paar, im zweiten Monat ein Paar, im dritten Monat zwei Paare, im vierten Monat drei Paare, im fünften Monat fünf Paare, im sechsten Monat acht Paare, im siebten Monat dreizehn Paare, …

Dieser Sachverhalt lässt sich als Zahlenreihe folgendermaßen darstellen:

$a_{n} = {0;1;1;2;3;5;8;13;…}$

Um herauszufinden, wie die Folge sich weiter fortsetzt, muss die Bildungsvorschrift ermittelt werden. Zu erkennen ist, dass ein Nachfolgeglied immer aus der Summe der beiden Vorgänger gebildet wird, also der rekursiven Folge

$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$

mit den Anfangswerten

$a_{1} = a_{2} = 1$