Warum gilt die erste binomische Formel?

Warum gilt die erste binomische Formel? Übung

• Löse die Klammern ohne Anwendung der binomischen Formel.

  Tipps

  Beachte, dass Punktrechnung vor Strichrechnung ausgeführt werden muss.

  Dank des Kommutativgesetzes gilt auch $a\cdot b = b \cdot a$.

  Das Quadrat einer Zahl entspricht dem Produkt dieser Zahl mit sich selbst, kurz: $x^2=x \cdot x$.

  Lösung

  Wie du Klammern richtig auflöst, hast du schon gelernt. Falls du dich nicht mehr genau an das Distributivgesetz erinnerst, kannst du dir die Videos zu diesem Thema noch einmal zur Wiederholung anschauen. Dabei solltest du dir merken, dass du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizierst.

  Ein Beispiel:

  • $2(2x + 3) = 4x + 6$

  Wenn du zwei Klammern multiplizierst, musst du jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer multiplizieren. Für unseren Term $(a+b)^2$ gilt also:

  • $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$.

  Ein Beispiel anhand konkreter Terme könnte folgendermaßen aussehen:

  • $(x +1)(2x + 2)$ = $x\cdot 2x + x\cdot 2 + 1\cdot 2x + 1\cdot 2$ = $2x^{2} + 4x + 2$ .

• Bestimme, welche Aussagen zur 1. binomischen Formel stimmen.

  Tipps

  Werden $\large{a = 3}$ und $\large{b =2}$ in den Term $\large{(a + b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}}$ eingesetzt, erhalten wir: $\large{(3 + 2)^{2} = 3^{2} +2\cdot 3\cdot 2 + 2^{2} = 25}$.

  Der Term $\large{a+b}$ nimmt für $\large{a=2\cdot x}$ und $\large{b=y}$ die Form $\large{2 \cdot x + y}$ an.

  Lösung

  • Die Aussage $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ist falsch, da hier die Klammern nicht richtig aufgelöst wurden. Richtig ist $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Dies liegt unter anderem am Distributivgesetz.

  • Die Aussage, dass $(a + b)^{2}$ für $a = 2x$ und $b =y$ gleich $(2x + y)^{2}$ wäre, ist genau richtig. Die anderen beiden Ergebnisse sind somit falsch. Schaue dir die Terme genau an und beachte bei der Umformung die Klammerregeln. Letztlich dürfen die beiden Terme, welche gleichgesetzt sind, nicht doppelt vorkommen oder sich überschneiden.

  • Wenn wir $(a + b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}$ mit $a = 2$ und $b = 1$ einsetzen, erhalten wir $(2 + 1)^{2} = 2^{2} +2\cdot 2 \cdot 1 + 1^{2} = (3)^{2} = 9$.

• Entscheide, welche Terme ergebnisgleich sind.

  Tipps

  Schaue dir die Terme genau an und vergleiche sie mit der allgemeinen Form der 1. binomischen Formel.

  Ähnliche Überlegungen kannst du auch beim Satz des Pythagoras anstellen. Um zu überprüfen, ob ein bestimmtes Dreieck rechtwinklig ist, setzt du auch Werte wie $a=3$, $b=4$ und $c=5$ in die Gleichung ein. Es ergibt sich dann $3^2+4^2=5^2$.

  Die Terme sind eindeutig lösbar. Allerdings ist es nicht entscheidend, welcher der beiden Teilterme in der binomischen Formel nun $a$ und welcher $b$ ist.

  Lösung

  Für $a$ und $b$ kannst du beliebige Terme einsetzen. Zum Beispiel kann $a$ eine beliebige Zahl sein, oder auch ein komplizierter Term.

  Wichtig ist, dass du, wenn $a$ und $b$ quadriert werden, die Klammern beachtest. Du musst jeden Faktor einzeln quadrieren.

  • $(2a)^{2} = 4a^{2}$
  • $(3a^{2})^{2} = 9a^{4}$
  • $(2ab)^{2} = 4a^{2}b^{2}$

  Ebenso lassen sich die Terme durch die 1. binomische Formel ausrechnen:

  • $(3u + 2v)^2 = 9u^2 + 12uv + 4v^2$

  • $(5 + 4)^2 = 25 + 40 + 16 = 81$

  • $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

  • $(3x^2 + 2x)^2 = 9x^4 + 12x^3 + 4x^2$

  • $(3uv + 2)^2 = 9u^2v^2 + 12uv + 4$

• Ermittle die Ergebnisse der Terme.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Für $a$ und $b$ kannst du beliebige Zahlen oder auch Terme einsetzen.

  $2(a + b)^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 4ab + 2b^2$

  Lösung

  Wir lösen die Gleichungen mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

  • $(3a + b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$

  • $2(a + 7)^2 = 2(a^2 + 14a +49) = 2a^2 + 28a + 98$

  • $(3x + 2x)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 2x + (2x)^2 = 9x^2 + 12x^2 + 4x^2 = 25x^2$

  • $(nf + 3v)^2 = (nf)^2 + 2 \cdot nf\cdot 3v + (3v)^2 = n^2f^2 + 6nfv + 9v^2$

• Ermittle die richtigen Terme.

  Tipps

  Die 1. binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  In der Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ kannst du auch $a$ durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzen. Dann erhältst du:

  $(x + y)^{2}=x^2+2xy+y^2$

  Das Ergebnis des nur aus Zahlen bestehenden Terms ist $529$.

  Lösung

  Gegeben ist der Term: $(a + b)^{2}=a^2 + 2 \cdot ab + b^2$.

  Wenn wir nun $a$ durch $3u$ ersetzen und $b$ durch $2v$, erhalten wir $(3u + 2v)^{2}$. Multiplizieren wir dies aus, so ergibt sich $(3u + 2v)^{2} = (3u)^2 + 2 \cdot 3u \cdot 2v + (2v)^2$.

  Wir können nun $u = 5$ und $v = 4$ einsetzen, dann erhalten wir $(3 \cdot 5 + 2 \cdot 4)^2 = (15 + 8)^2 = 15^2 + 2 \cdot 15 \cdot 8 + 8^2$.

  Das Ergebnis dieses Terms lautet $529$.

• Ermittle den faktorisierten Term mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

  Tipps

  Faktorisieren heißt hier, die ursprüngliche Form der binomischen Formel wiederherzustellen.

  Es gilt ja $a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2$.

  Ebenso lässt sich der Term $4x^2 + 8x + 1$ umformen. Wichtig ist zu verstehen, dass in unserem Term $4x^2$ die Rolle von $a^2$ übernimmt und $1$ die Rolle von $b^2$.

  Lösung

  Hier soll die erste binomische Formel rückwärts angewendet werden. Dafür müssen wir den Term faktorisieren.

  $a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2$

  Ebenso lässt sich der Term $4x^2 + 12x + 9$ vereinfachen.

  Anhand der ersten binomischen Formel erkennen wir, dass $a^2 = 4x^2$ und $b^2 = 9$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen und erhalten somit: $a = 2x$ und $b = 3$.

  Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 ~~\checkmark$

  Schauen wir uns nun den Term $9u^2 + 30uv + 25v^2$ an.

  Anhand der ersten binomischen Formel erkennen wir, dass $a^2 = 9u^2$ und $b^2 = 25v^2$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen und erhalten: $a = 3u$ und $b = 5v$.

  Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(3u + 5v)^2 = 9u^2 + 30uv + 25v^2 ~~\checkmark$

  Letztlich wollen wir noch ein Auge auf den etwas schwierigeren Term $8x^2 + 24x + 18$ werfen.

  Anhand der ersten binomischen Formel würden wir erkennen, dass $a^2 = 8x^2$ und $b^2 = 18$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen. Aus den Zahlen $8$ und $18$ können wir aber nicht bequem die Wurzel ziehen. Wenn wir uns den Term genau angucken, fällt auf, dass wir $2$ ausklammern können und somit Folgendes erhalten:

  • $8x^2 + 24x + 18 = 2(4x^2 + 12x + 9)$.

  Wir erhalten für $a^2 = 4x^2$ und für $b^2 = 9$. Nun können wir die Wurzel problemlos ziehen und erhalten: $a = 2x$ und $b = 3$.

  Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $2(2x + 3)^2 = 2(4x^2 + 6x + 9) = 8x^2 + 24x + 18 ~~\checkmark$