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Die erste binomische Formel

Unter Verwendung der erste binomische Formel kannst du das Quadrat einer Summe berechnen:

$(a+b)^{2}=a^{2} +2 \cdot a \cdot b +b^{2}$

In der 1.binomischen Formeln werden Binome quadriert. Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome. Ein Monom ist ein eingliedriger Term. Monome sind zum Beispiel $2x$ oder $4$. Ein Monom ist also ein Produkt. Dieses besteht aus einem Koeffizienten, sowie einer Potenz mit einer Variablen als Basis. Die Terme in der Klammer $a+b$ werden als Binome bezeichnet.

Das Distributivgesetz definiert, wie eine Multiplikation ausgeführt wird, wenn einer der Faktoren eine Summe ist. Formal lautet das Distributivgesetz wie folgt:

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Die linke Seite der Gleichung sagt aus, dass du zuerst die Summe von $a$ und $b$ bildest und das Ergebnis mit $c$ multiplizierst. Die rechte Seite sagt dass du zuerst die Faktoren multiplizierst und dann das Produkt addierst. Das Gleichheitszeichen sagt dir, dass das Ergebnis das Gleiche ist.

Herleitung der 1. binomischen Formel

Im folgenden Abschnitt siehst du nun die rechnerische Herleitung der 1. binomischen Formel mittels ausmultiplizieren und unter Anwendung des Distributivgesetzes. Anschließend folgt die anschauliche Herleitung.

Rechnerische Herleitung der 1. binomischen Formel

Warum gilt die erste binomische Formel?

Du hast ja bereits gesehen, dass du den Term $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$ mit Hilfe des Distributivgesetzes berechnen kannst:

$\begin{array}{rcl} (a+b)\cdot (a+b)&=&(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b\\\ &=&a\cdot a+b\cdot a+a\cdot b+b\cdot b\\\ &=&a^2+ab+ab+b^2\\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{array}$

Wenn du bei jedem Quadrat einer Summe so rechnen musst, hast du viel zu tun. Schneller geht es,wenn du die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ verwendest.

Anschauliche Herleitung der 1. binomischen Formel

Du kannst die erste binomische Formel auch anschaulich begründen:

Hier siehst du ein grünes Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$. Dessen Flächeninhalt beträgt $(a+b)^2$. Das ist die linke Seite der ersten binomischen Formel.

946_1.bF_1.jpg

Dieses Quadrat kannst du aufteilen in das rote und das blaue Quadrat, sowie zwei gelbe Rechtecke.

946_1.bF_2.jpg

Das bedeutet dass sich der Flächeninhalt des grünen Quadrates so aufteilen lässt, wie du dies hier sehen kannst.

946_1.bF_3.jpg

Es gilt also $(a+b)^2=a^2+b\cdot a+a\cdot b+b^2$. Mit dem Kommutativgesetz gilt $b\cdot a=a\cdot b$. Das bedeutet, dass du bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darfst. Nun kannst du weiter zusammenfassen: $(a+b)^2=a^2+2a b+b^2$

Anwendung der 1. binomische Formel

Wenn du eine Summe quadrieren sollst, verwendest du die erste binomische Formel. Schau dir dies an Beispielen an:

1.Binomische Formel Beispiel 1

Schau du dieses Quadrat an: $(2x+3y)^2$

  • Hier spielt $2x$ die Rolle von $a$ und $3y$ die von $b$.
  • Du erhältst dieses Mal $(2x+3y)^2=(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot (3y)+(3y)^2$.
  • Beachte, dass du beim Quadrieren von Produkten jeden Faktor quadrieren musst:
  • $(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$

1.Binomische Formel Beispiel 2

Du kannst die erste binomische Formel auch verwenden um Quadrate von Zahlen zu berechnen:

  • $102^2=(100+2)^2$
  • Du kannst nun die erste binomische Formel anwenden: $(100+2)^2=100^2+2\cdot 100\cdot 2+2^2=10000+400+4=10404$

1.Binomische Formel Beispiel 3

Du kannst die erste binomische Formel auch in der umgekehrten Reihenfolge anwenden. Lass uns dies einmal an dem Term $9x^2+6x+1$ üben.

  • Zunächst sieht dies noch nicht so sehr nach der rechten Seite der ersten binomischen Formel aus. Schreibe den ersten und dritten Summanden jeweils als Quadrat: $(3x)^2+6x+1^2$
  • Siehst du es schon?
  • Wenn du den mittleren Faktor umschreibst $6x=2\cdot (3x)\cdot 1$, kannst du die erste binomische Formel erkennen. $3x$ spielt die Rolle von $a$ und $1$ die von $b$.
  • $(3x)^2+2\cdot (3x)\cdot 1+1^2=(3x+1)^2$

Gesamt erhältst du dann $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$.

Brüche kürzen mit der 1.binomischen Formel

Du kannst nun das folgende Beispiel verwenden, um einen Bruch zu kürzen: $\frac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}$

Im Folgenden darf $x$ weder $0$ noch $-\frac13$ sein, da ansonsten der Nennerterm den Wert $0$ annehmen würde. Du weißt ja, dass die Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

  • Forme den Zählerterm um: $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$
  • Damit ist $\frac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\frac{(3x+1)^2}{x(3x+1)}$.
  • Nun siehst du, dass das Binom $3x+1$ sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm als Faktor auftaucht. Das bedeutet, dass du dies kürzen kannst:
  • $\frac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\frac{(3x+1)^2}{x(3x+1)}=\frac{3x+1}x$

Die binomischen Formeln

Überblick binomische Formeln

Hier siehst du die drei binomischen Formeln im Überblick:

Unterschiede der binomischen Formeln

Schau dir zunächst die jeweils linken Seiten an:

  • Bei der ersten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Summe.
  • Bei der zweiten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Differenz.
  • Bei der dritten binomischen Formel werden eine Summe und eine Differenz mit den gleichen Monomen multipliziert.

Wie rechnest du, wenn der Exponent größer ist als 2?

Du kannst auch solche Terme $(a+b)^n$ umformen, wenn $n>2$ ist. Lass uns dies einmal für $n=3$ machen.

$\begin{array}{rclll} (a+b)^3&=&(a+b)^2\cdot (a+b)&|&\text{1. binomische Formel}\\\ &=&(a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\\\ &=&a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\\ &=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{array}$

Das Pascal'sche Dreieck

Das Pascal'sche Dreieck ist wie folgt aufgebaut:

  • Es beginnt an der Spitze mit einer $1$.
  • Darunter, in der zweiten Zeile, folgen versetzt zwei weitere $1$-en.
  • In der dritten Zeile und jeder folgenden stehen links und rechts jeweils eine $1$. Die Zahlen dazwischen ergeben sich als Summe der beiden Zahlen darüber:

946_Pascal'sches_Dreieck.jpg

Das Schöne an diesem Dreieck ist, dass sich darin die Koeffizienten der Terme in der binomischen Formel verbergen:

  • In der dritten Zeile findest du die Zahlen $1$; $2$ und $1$. Dies sind die Koeffizienten in der ersten binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Den Faktor $1$ vor $a^2$ und $b^2$ schreibst du nicht hin.
  • In der vierten Zeile findest du die Zahlen $1$; $3$; $3$ und $1$. Das sind die Koeffizienten bei der Formel $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Du kannst erkennen, dass der Exponent der Potenzen mit $a$ als Basis von $3$ über $2$ zu $1$ und schließlich $0$ fällt. Der Exponent der Potenzen mit $b$ als Basis beginnt mit $0$ und wächst über $1$ und $2$ zu $3$.

Abschließend kannst du noch die Formel für $(a+b)^4$ aufschreiben:

$\begin{array}{rcl} (a+b)^4&=&1\cdot a^4b^0+4\cdot a^3b^1+6\cdot a^2b^2+4\cdot a^1b^3+1\cdot a^0b^1\\\ &=&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{array}$

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1. binomische Formel (1 Video)

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