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Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel 12:54 min

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Transkript Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute zwei Wege, das Volumen eines Fasses zu bestimmen. Dabei werden wir eine näherungsweise Lösung kennenlernen, die man die Keplersche Fassformel nennt. Kepler trank sehr gern Wein und ließ sich diesen Wein in Fässern anliefern. Er konnte aber nie nachvollziehen, wie sein Weinhändler den Inhalt dieser Fässer bestimmte. Deswegen überlegte er sich selbst eine Methode, um dieses Volumen des Fasses abzuschätzen. Ja, wir wollen als erstes überlegen, wie man so ein Fass als Rotationskörper beschreiben kann. Und deswegen gucken wir uns hier so ein Fass mal an. Und um es als Rotationskörper beschreiben zu können, müssen wir erst einmal so ein Koordinatensystem reinlegen. Und zwar so, dass der Koordinatenursprung direkt in der Mitte des Fasses liegt. Jetzt sieht man - allso jetzt kann man sich hier gut vorstellen, dass dieses Fass entsteht, indem eine Funktion so senkrecht um eine Achse rotiert. Wir wollen aber das so, dass eine Funktion waagerecht um die x-Achse rotiert und so das Fass erzeugt. Deswegen drehen wir das Fass mal um 90 Grad und jetzt entsteht dieses Fass durch eine Funktion, die halt so waagerecht um die x-Achse rotiert. Ja welche Maße gibt es in so einem Fass? Einmal die Höhe des Fasses h. Dann gibt es den Radius klein r, das ist der Radius der Grundfläche des Fasses. Und dann gibt es noch den Radius groß R, das ist der Radius an der Stelle, an dem sich das Fass am stärksten wölbt. Ja aus diesen Maßen kann man jetzt Punkte ablesen, durch die die Funktion, die wir suchen, gehen soll. Und da haben wir einmal den Punkt S, der liegt hier bei (0;R). Und wir haben einmal den Punkt P, der liegt bei (h/2;r). Und h/2, weil hier diese Höhe so halbiert wird. Ja gleich zeig ich Dir, wie man jetzt auf die konkrete Funktionsgleichung für dieses Fass kommt. Ja wie kommt man jetzt auf die konkrete Funktionsgleichung? Dafür muss man sich erstmal überlegen, dass diese Funktion eine quadratische Funktion ist und dass S sogar der Scheitelpunkt der Funktion ist. Das heißt, wir können direkt in die Scheitelpunktform für quadratische Funktionen einsetzen und die steht hier. Das ist also f(x)=a(x-xs)2+ys. Und xs, ys sind die Koordinaten des Scheitelpunktes. Und das machen wir jetzt auch einfach. S hat ja Koordinaten (0;R), das bedeutet f(x)=ax2+R (xs ist null). So und jetzt müssen wir noch dieses klein a bestimmen und das machen wir über den zweiten Punkt P und der hat ja die Koordinaten (h/2;r). Den setzen wir auch einfach mal ein. Also r=a(h2/4)+R. Jetzt müssen wir nach a umstellen. Also ziehen wir erstmal R ab: r-R=a(h2/4). Und jetzt können wir einmal mit vier multiplizieren, also 4 mal (r-R) und dann müssen wir noch teilen durch h2 und das ist dann a. Ja wie sieht jetzt unsere Funktion f(x) aus? Ich setze einfach mal ein, wir haben jetzt: f(x)=4((r-R)/h2)x2+R. So wir wollen ja das Volumen dieses Fasses berechnen und die Idee von Kepler war jetzt, dass dieses Fassvolumen die Fläche unter Q(x) ist. Also wir nennen das jetzt mal die erste Idee und die war, dass man dieses Volumen V berechnen kann als Integral der Querschnittsfläche des Fasses dx. Q(x) ist also die Querschnittsfläche an jeder einzelnen Stelle von diesem Fass. Und jetzt müssen wir uns überlegen, wie berechnet man Q(x). Q(x) ist ja selber ein Kreis und die Fläche eines Kreises berechnet man immer mit Pi mal dem Radius des Kreises zum Quadrat. Also Integral Pi. Jetzt müssen wir uns überlegen, was ist denn der Radius dieses Kreises? Das ist: Dieses Q(x) läuft ja quasi durch. Das ist dann immer abhängig von der Funktion. Das ist nämlich f(x). Da wir quadrieren müssen, haben wir hier nochmal ein Quadrat. Also Pi f(x)2 dx. und das ist jetzt quasi diese Volumenformel für Rotationskörper. Darauf sind wir jetzt gekommen. So zu Keplers Zeiten konnte man so ein Integral noch nicht lösen. Aber Kepler war ja clever, der hat sich schon selber eine Formel ausgedacht, nämlich die Keplersche Fassregel. Damit kann man solche Integrale approximieren. Man berechnet also ein Integral von a bis b f(x) dx mit ((b-a)/6)(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)). Und a und b sind diese Integrationsgrenzen. Also wir wollen das jetzt anwenden auf unser Problem, wir haben also Pi Integral. Jetzt müssen wir überlegen, was sind unsere Integrationsgrenzen. Von wo bis wo geht das Fass. Und das geht von minus h/2 bis h/2. Und dann haben wir f(x)2dx. Und jetzt wenden wir einfach diese Keplersche Fassregel auf diesen Term an. Also rund, weil das ja jetzt approximativ ist. Und der Unterschied ist ja hier, dass wir hier f2 haben und hier f. Und das bedeutet, dass wir hier an diesen Stellen einfach auch immer f2 nehmen. Also (b-a)/6 ist ja h/2 minus minus h/2 ist wieder h. Also h/6 Pi nicht vergessen von da, und dann haben wir f(-h/2)2 plus 4, jetzt brauchen wir den Mittelpunkt von a und b und das ist Null. Also 4f(0)2 plus f(h/2)2</. Jetzt muss man sich noch überlegen, was ist denn f(-h/2), f(0) und f(h/2). Und das kann man eigentlich hier aus diesem Bild schnell ablesen. f(-h/2)=r, f(0)=R und f(h/2)=r. Und das setzen wir hier jetzt ein. Also wir kommen jetzt auf h/6Pi(r2+4R2+r2). Jetzt kann man noch ein bisschen kürzen. Und zwar r2+r2=2r2 und dann kann man hier noch eine zwei rauskürzen. Und dann kommt man auf h/3Pi(r2+2R2). Ja dieses Ergebnis wollen wir gleich noch mit dem exakten Ergebnis vergleichen. Ja wir haben jetzt die Keplersche Fassformel berechnet, das ist die näherungsweise Lösung. Und wir wollen das jetzt noch vergleichen mit dem exakten Wert. Das bedeutet, man rechnet jetzt diese Formel exakt aus. Also V ist gleich PI mal dem Integral von -h/2 bis +h/2 f(x)2 dx. Da das ziemlich lange dauert, das auszurechnen, werde ich nur kurz die Schritte erklären, die man machen muss und das Endergebnis vorstellen. Als erstes überlegt man sich, dass man diese Formel hier auch vereinfachen kann. f ist ja achsensymmetrisch, also auch f(x)2. Und dann kann man quasi 2 Pi rechnen und dann ist das Integral- geht nicht mehr von -h/2, sonder von null bis h/2. f(x)2dx. Ja und jetzt würde man diese Funktion f hier einsetzen, quadrieren, die Stammfunktion bilden und dann die Grenzen einsetzen. Und dann würde man darauf kommen, dass wir h/15 Pi haben mal 8R2+4rR+3r2. Und man sieht jetzt schon, dass diese beiden Ergebnisse unterschiedlich sind, da wir hier so einen gemischten Term haben und hier dieser gemischte Term fehlt. Wenn man jetzt hier mal Beispiele einsetzen würde für h,r und R, würde man feststellen, dass diese Näherung, also diese Keplersche Fassformel, ziemlich nah an diesem exakten Wert dran ist. Zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben ein Fass als Rotationskörper beschrieben und dafür haben wir die Funktionsgleichung berechnet aus den Maßen des Fasses. Dann haben wir uns die erste Idee von Kepler angeguckt und die Keplersche Fassformel hergeleitet. Das ist die näherungsweise Lösung dieses Problems. Und dann haben wir uns noch einmal kurz den exakten Wert dazu angeguckt. Ja ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, Deine Anne.

Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Gleichung der quadratischen Funktion an, welche den Rand des Fasses beschreibt.

    Tipps

    Du kannst den Scheitelpunkt direkt anhand des Funktionsgraphen ablesen.

    Beachte: Die Parabel ist nach unten geöffnet und symmetrisch zur y-Achse.

    Damit ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes bereits bekannt.

    Nun setzt du die Koordinaten des Scheitelpunktes in die Scheitelpunktform ein.

    Du erhältst eine Gleichung, in welcher nur noch $a$ unbekannt ist.

    Lösung

    Die obere Begrenzungslinie dieses Fasses ist eine nach unten geöffnete, achsensymmetrische Parabel. Durch Rotation dieser Parabel um die x-Achse entsteht dieses Fass.

    Da die Parabel achsensymmetrisch ist, liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist $S(0|R)$. Nun kann dieser in die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-x_S)^2+y_S$ eingesetzt werden und man erhält

    $f(x)=ax^2+R$.

    Der Streckfaktor $a$ muss noch bestimmt werden. Hierfür wird der bekannte Punkt $\left(\frac h2\bigg\vert r\right)$ verwendet. Mit diesem Punkt erhält man die Gleichung

    $f\left(\frac h2\right)=a\frac{h^2}4+R=r$.

    Durch Subtraktion von $R$ und anschließende Multiplikation mit $4$ gelangt man zu

    $a~h^2=4(r-R)$.

    Zuletzt wird durch $h^2$ dividiert:

    $a=\frac{4(r-R)}{h^2}$.

    Die quadratische Gleichung lautet somit

    $f(x)=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2+R$.

  • Berechne näherungsweise das Volumen des Fasses mit der Kepler'schen Fassregel.

    Tipps

    Du kannst die Funktionswerte $f \left(-\frac h2\right)$, $f \left(\frac h2\right)$ und $f(0)$ hier ablesen.

    Diese müssen noch quadriert werden.

    Wenn du die Funktionswerte in der Kepler'schen Fassregel eingesetzt hast, kannst du den so erhaltenen Term noch weiter vereinfachen.

    Lösung

    Es soll das Volumen eines Fasses, welches durch das Integral

    $V=\pi\int\limits_{-\frac h2}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx$

    beschrieben werden kann, näherungsweise mit der Kepler'schen Fassregel

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx\approx\frac{b-a}6\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)$

    bestimmt werden.

    Dabei ist $f(x)$ die obere begrenzende Parabel mit der zugehörigen Funktionsgleichung

    $f(x)=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2+R$.

    Man benötigt

    • die Länge des Intervalls $b-a=\frac h2-\left(-\frac h2\right)=h$,
    • $f \left(-\frac h2\right)=f \left(\frac h2\right)=r$ sowie
    • $f(0)=R$.
    Die Funktionswerte erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Man kann diese auch aus der nebenstehenden Skizze ablesen.

    Nun können diese Größen in die Fassregel eingesetzt werden. Dann kann noch weiter vereinfacht werden:

    $\begin{array}{rcl} V=\pi\int\limits_{-\frac h2}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx&\approx&\pi\frac h6\left(r^2+4R^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac h6\left(2\left(r^2+2R^2\right)\right)\\ &=&\pi\frac h3\left(r^2+2R^2\right) \end{array}$

  • Berechne das bestimmte Integral.

    Tipps

    Verwende die 1. binomische Formel, um $(f(x))^2$ zu berechnen

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Dabei sind

    • $a=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2$ und
    • $b=R$.

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $F'(x)=f(x)$ ist.

    Verwende für die Stammfunktion die Potenzregel der Integration

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, für $n\neq -1$.

    Hier kannst du einen Teil der Rechnung sehen.

    Lösung

    Um dieses bestimmte Integral zu berechnen, muss zunächst die zu integrierende Funktion bestimmt werden, also $(f(x))^2$. Diese kann mit Hilfe der 1. binomischen Formel ermittelt werden:

    $(f(x))^2=\frac{16(r-R)^2}{h^4}x^4+\frac{8(r-R)R}{h^2}x^2+R^2$.

    Das bestimmte Integral wird mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $F'(x)=f(x)$ ist. Also muss eine Stammfunktion von $(f(x))^2$ berechnet werden. Hierfür verwendet man die Potenzregel der Integration

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, für $n\neq -1$.

    Eine Stammfunktion von $(f(x))^2$ ist gegeben durch

    $\frac{16(r-R)^2}{5h^4}x^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}x^3+R^2x$.

    Da die Funktion symmetrisch ist, kann das bestimmte Integral

    $\pi\int\limits_{0}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx=\left(\frac{16(r-R)^2}{5h^4}\left(\frac h2\right)^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}\left(\frac h2\right)^3+R^2\left(\frac h2\right)\right)$

    berechnet werden. $\begin{array}{rcl} \pi\int\limits_{0}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx&=&\pi\left(\frac{16(r-R)^2}{5h^4}\left(\frac h2\right)^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}\left(\frac h2\right)^3+R^2\left(\frac h2\right)\right)\\ &=&\pi\left(\frac{(r-R)^2~h}{10}+\frac{(r-R)R~h}{3}+\frac{R^2h}{2}\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(3(r-R)^2+10(r-R)R+15R^2\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(3r^2-6rR+3R^2+10rR-10R^2+15R^2\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(8R^2+4rR+3r^2\right) \end{array}$

    Dieser Term wird zuletzt mit $2$ multipliziert, weil wir ja nicht das Intervall $[0;\frac{h}2]$, sondern das Doppelte $[-\frac{h}2; \frac{h}2]$ betrachten. Also ist $V=\pi\frac{h}{15}\left(8R^2+4rR+3r^2\right)$.

  • Vergleiche die Ergebnisse der verschiedenen Rechnungen mit $R=10$, $r=7$ und $h=12$.

    Tipps

    Setze die gegebenen Größen in die oben angegebenen Formeln ein.

    Der Betrag einer Zahl ist wie folgt definiert

    $|x|= \begin{cases} x& \text{wenn }x\ge 0 \\ -x& \text{wenn }x<0 \end{cases}$.

    Wenn du eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umrechnen willst, multipliziere die Dezimalzahl mit $100$.

    Lösung

    Da das Volumen eines Fasses

    • mithilfe der Kepler'schen Fassregel $V\approx\pi\frac h3\left(r^2+2R^2\right)$ näherungsweise und
    • durch das bestimmte Integral $V=\pi\frac{h}{15}\left(8R^2+4rR+3r^2\right)$ exakt
    berechnet werden kann, ist es auch sinnvoll, die Approximation zu überprüfen. Wir wollen also wissen, wie genau die Annäherung ist.

    Hierfür werden die gegebenen Größen $R=10$, $r=7$ und $h=12$ in diese Formeln eingesetzt:

    • Kepler'sche Fassregel: $V_{\text{ungefähr}}\approx \pi\frac {12}3\left(7^2+2\cdot10^2\right)=996\pi$
    • exaktes Integral: $V_{\text{exakt}}=\pi\frac{h}{15}\left(8 \cdot 10^2+4\cdot 7\cdot 10+3\cdot 7^2\right)=981,6\pi$
    Die Werte sind schon recht nah beieinander. Wie genau die Approximation ist, kann man erkennen, wenn man die prozentuale Abweichung mit dieser Formel berechnet:

    $\large{\frac{|V_{\text{exakt}}-V_{\text{ungefähr}}|}{V_{\text{exakt}}}}$$=\frac{|981,6\pi-996\pi|}{981,6\pi}=\frac{14,4}{981,6}=\frac{6}{409}\approx0,01466=1,47~\%$

    Daran kann man erkennen, dass die Annäherung durch die Kepler'sche Fassregel schon sehr genau ist.

  • Gib die Kepler'sche Fassregel an.

    Tipps

    Der Klammerterm ist in nur einem Fall fehlerhaft.

    Einmal muss die Länge des Intervalls $I=[a;b]$ geteilt werden.

    Lösung

    Mithilfe dieser Formel konnte Johannes Kepler schon recht früh ein bestimmtes Integral näherungsweise berechnen. Dies ist recht beeindruckend, da Kepler im 16./17. Jahrhundert lebte.

    Die Theorie der Integration geht in ihren Anfängen auf Augustin-Louis Cauchy (um 1823) zurück.

    Erst später (im 20. Jahrhundert) entstand der Begriff des Integrals und damit auch die entsprechende Theorie.

  • Leite näherungsweise das Volumen des Fasses mit der Höhe $R$ und den Radien $R=2r$.

    Tipps

    Um die Kepler'sche Fassregel anzuwenden, musst du die Funktion nicht bestimmen.

    Diese ist $f(x)=\frac{r-R}{r^2}x^2+R$.

    Du kannst die Formel entweder in Abhängigkeit von $r$ oder $R$ angeben.

    Beachte, dass die zu integrierende Funktion $(f(x))^2$ ist.

    Nach der Kepler'schen Fassregel ist

    $V\approx \pi\frac{2r}{6}\left(r^2+4R^2+r^2\right)$.

    Beachte, dass

    • $R=2r$ oder umgekehrt
    • $r=\frac R2$ ist.
    Lösung

    Die Kepler'sche Fassregel ist hier abgebildet.

    Nun kann $R=2r$ verwendet werden. Dies führt zu

    $\begin{array}{rcl} V&\approx& \pi\frac {2r}6\left(r^2+4(2r)^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac {2r}6\left(r^2+16r^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac {2r}6\cdot 18r^2\\ &=&\pi~6r\cdot r^2\\ &=&6\pi~r^3 \end{array}$

    Da $r=\frac R2$ ist, kann diese Formel auch in Abhängigkeit von $R$ angegeben werden:

    $V\approx 6\pi~\left(\frac R2\right)^3=\frac34\pi~R^3=0,75\pi~R^3$.