Integralrechnung – Fläche zwischen zwei Graphen

Die Integralrechnung ist wirklich fantastisch! Wer hätte gedacht, dass man Flächeninhalte zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse in einem „bestimmten Intervall“, wie diesen hier, oder auch diesen so präzise berechnen kann. Tja, Integral machen's möglich! Aber auch die Integralrechnung hat ihre Grenzen! Diesen Flächeninhalt zwischen den zwei Funktionsgraphen werden wir ja wohl kaum berechnen können, oder? Geht auch!? Mit Integralrechnung!? Ach, hör mir auf! Das glaube ich erst, wenn ich es mit eigenen Augen gesehen habe! Da muss anscheinend noch Überzeugungsarbeit geleistet werden. Wir schauen uns die Sachlage mal ganz nüchtern an. Von der Idee her ist es eigentlich ganz einfach: Wenn wir den Flächeninhalt zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse und auch den Flächeninhalt zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse kennen, erhalten wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen, indem wir den kleineren Flächeninhalt vom größeren Abziehen. In diesem einfachen Fall, in dem beide Funktionsgraphen oberhalb der x-Achse verlaufen und sich in dem betrachteten Intervall nicht schneiden, ist der Flächeninhalt zwischen den Graphen einfach gleich der Differenz der bestimmten Integrale der Funktionen f und g. Diese Differenz von zwei Integralen können wir dann auch zu einem Integral zusammenfassen. Vom Prinzip her gar nicht so kompliziert! Aber was ist, wenn die Funktionsgraphen nicht ausschließlich oberhalb der x-Achse verlaufen und sich in einem oder mehreren Punkten schneiden? So wie es hier der Fall ist. Wenn wir einen kühlen Kopf bewahren und uns überlegen, wie wir vorgegangen sind, als wir Flächeninhalte zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnet haben, kriegen wir auch dieses Problem mit einfachen Hilfsmitteln gelöst. Zuerst sollten wir uns klar machen, in welchem Intervall der Flächeninhalt bestimmt werden soll. Hierzu gibt es grundsätzlich zwei Aufgabentypen, zwischen denen wir unterscheiden müssen. Manchmal haben wir bereits ein konkretes Intervall mit oberer und unterer Grenze in der Aufgabenstellung gegeben. Dann interessiert uns der Flächeninhalt, der in diesem Intervall von den beiden Graphen eingeschlossen wird. Oft geht es aber einfach darum, den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionsgraphen zu berechnen, der ohne weitere Intervallgrenzen von den beiden Graphen eingeschlossen wird. In diesem Fall müssen wir die Intervallgrenzen selbst herausfinden. Dafür müssen wir die Schnittpunkte der Graphen bestimmen. Wir beginnen dann bei der ersten Schnittstelle ganz links, und enden schließlich bei der letzten Schnittstelle ganz rechts im Koordinatensystem. Wir sollten uns zu Beginn also einmal klar machen, welchen Flächeninhalt wir tatsächlich berechnen sollen. Wir möchten hier den Flächeninhalt berechnen, der insgesamt zwischen den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird.
Wenn das klar ist, müssen wir als nächstes dann die Differenzfunktion von f und g aufstellen. Die berechnen wir, indem wir „g von x“ von „f von x“ subtrahieren und nennen sie „h von x“. In unserem Fall ergibt das diesen Funktionsterm. Bei der Berechnung nicht vergessen, Klammern um den zweiten Funktionsterm zu setzen. Wenn wir diesen Schritt erledigt haben, läuft der Rest eigentlich genauso, wie wir es schon von der Flächenberechnung zwischen einem Graph und der x-Achse kennen. Als nächstes müssen wir dann nämlich die Nullstellen der Differenzfunktion bestimmen. Denn diese entsprechen den Schnittstellen von f und g, weil wir die beiden Funktionsterme so praktisch gleichsetzen. Auch wenn wir die Schnittstellen hier theoretisch schon am Graphen ablesen könnten, bestimmen wir sie rechnerisch. Das ist meistens gefordert. Wir setzen den Funktionsterm von „h von x“ also gleich null. Die Nullstellen erhalten wir, indem wir x ausklammern, – das liefert uns die erste Nullstelle „x-eins gleich null“ – und anschließend die noch verbliebene quadratische Gleichung mit Hilfe der „p-q-“ oder „Mitternachtsformel“ lösen. So erhalten wir die zweite und dritte Nullstelle. Jetzt müssen wir nur noch die Integrale der Differenzfunktion zwischen den Nullstellen, die ja gleichzeitig Schnittstellen von f und g sind, berechnen. Wir zerlegen also das insgesamt betrachtete Intervall an jeder Schnittstelle in Teilintervalle. In unserem Fall berechnen wir einmal das Integral der Differenzfunktion zwischen null und zwei und einmal das Integral von zwei bis drei. Nachdem wir eine entsprechende Stammfunktion von h aufgestellt haben, liefert uns das diese Werte. Das zweite Integral hat einen negativen Wert, was daran liegt, dass der Funktionsgraph von g in diesem Intervall oberhalb von f verläuft. Wir müssen also die Beträge dieser Werte addieren. Auch das kennen wir schon von der Flächenberechnung mit dem bestimmten Integral. So gehen wir sicher, dass die berechneten Werte positiv sind und damit auch wirklich den Flächeninhalt für dieses Intervall widerspiegeln. Und wenn wir Betragsstriche verwenden, müssen wir uns auch keine Gedanken darüber machen, welcher Funktionsgraph in welchem Intervall über dem anderen verläuft. Wir kommen auf „siebenunddreißig Zwölftel“ als Ergebnis. Geschafft! Am Besten fassen wir die Vorgehensweise nochmal kurz und knapp zusammen! Wenn wir den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen, müssen wir zuerst klären, ob in der Aufgabenstellung Intervallgrenzen angegeben sind, oder einfach die eingeschlossene Fläche zwischen den Schnittstellen der zwei Graphen gemeint ist. Ist letzteres der Fall, ist die kleinste Schnittstelle, sprich die, die am weitesten links liegt, unsere untere und die größte Schnittstelle ganz rechts unsere obere Integrationsgrenze. Dann stellen wir zunächst die Differenzfunktion der beiden Funktionen auf. Denn wenn wir die Nullstellen von dieser bestimmen, haben wir gleichzeitig die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmt. Um den gesuchten Flächeninhalt zu ermitteln, müssen wir nur noch die bestimmten Integrale mit den Schnittstellen als untere und obere Grenzen berechnen, und anschließend die Beträge der erhaltenen Werte addieren. So können wir dann die verrücktesten Flächen, nach ihrer Größe bemessen. Ist das zu fassen? Ja, Integralen sei Dank!