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Partielle Integration

Partielle Integration – Die Zauberformel zum einfachen Integrieren von Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen

Wiederholung: Produktregel als Ableitungsregel

Die partielle Integration ist eine Technik zum Integrieren spezieller Funktionen. Diese Funktionen bestehen aus dem Produkt zweier Funktionen, deren Ableitungen bekannt sind.

Um die Herleitung der partiellen Integration besser nachvollziehen zu können, musst du dich an die Produktregel erinnern. Diese ist eine Ableitungsregel. Wir verwenden sie, um das Produkt von Funktionen $u(x)\cdot v(x)$ abzuleiten:

$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.

In deiner Formelsammlung findest du vielleicht auch die Kurzschreibweise $(uv)'=u'v+uv'$.

Herleitung der partiellen Integration

Mithilfe der Produktregel kann die partielle Integration hergeleitet werden: Die Produktregel besagt, dass zwei Funktionen gleich sind: $\left(u(x)\cdot v(x)\right)'$ ist dasselbe wie $u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.

Somit stimmen auch die unbestimmten Integrale dieser Funkionen überein. Das sehen wir, indem wir beide Seiten nach der Variablen integrieren. („Wir setzen einfach auf beiden Seiten ein Integral davor.“)

$\begin{align} \int\left(u(x)\cdot v(x)\right)'dx & =\int\left(u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\right)dx\\\ &= \int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx+\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx\end{align}$

Da sich die Differentiation und die Integration gegenseitig aufheben, also $\int f'(x)dx=f(x)$ gilt, können wir wie folgt umformen:

$u(x)\cdot v(x)=\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx+\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung den Term $\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$:

$u(x)\cdot v(x)-\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx=\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx$

Zur besseren Übersicht vertauschen wir noch die beiden Seiten der Gleichung:

$\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx=u(x)\cdot v(x)-\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$

Die hier abgebildete Regel heißt partielle Integration oder auch Produktintegration. Leichter merken lässt sich folgende Kurzschreibweise:

$\int (u'v) dx= uv-\int (uv')dx$

Erklärung der partiellen Integration

Wann wendet man die partielle Integration an?

Die partielle Integration wenden wir an, um eine Funktion zu intergrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren besteht. Beispiele für solche Funktionen sind:

  • $f(x)=x\cdot e^x$
  • $g(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)$
  • $h(x)=x\cdot \ln(x)$

Was sollte man bei der partiellen Integration beachten?

Du kannst erkennen, dass auf beiden Seiten der partiellen Integration ein Integral steht. Worin soll da nun ein Vorteil liegen? Wir wollen es doch leichter haben und nicht schwerer!

Zu diesem Zweck müssen wir bei der Integration einer Produktfunktion überlegen, welcher der beiden Faktoren „die Rolle von $u'(x)$ spielt“. Von dieser Funktion müssen wir auch die Stammfunktion kennen. Die andere Funktion „spielt dann die Rolle von $v(x)$“.

Beispiel

Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^2\cdot x$. Natürlich kannst du diese Funktion mithilfe der Potenzregel der Integration auch einfacher integrieren. Es gilt nämlich $f(x)=x^2\cdot x=x^3$ und damit ist:

$\int f(x) dx=\frac14x^4+c$

Dieses Beispiel ist aber gut geeignet, um die Technik der partiellen Integration zu erläutern und ihre Gültigkeit zu veranschaulichen. Für die partielle Integration nehmen wir nun folgende Funktionen an:

  • $u'(x)=x^2$
  • $v(x)=x$

Außerdem benötigen wir noch die Ableitung von $v(x)$ und die Funktion $u(x)$:

  • $u(x)=\frac 13 x^3$
  • $v'(x)=1$

Damit ergibt sich die folgende Rechnung:

$\begin{align} \int \underbrace{x^2}_{u'(x)}\cdot \underbrace{x}_{v(x)}dx&=\underbrace{\frac13x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{x}_{v(x)}-\int\underbrace{\frac13x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{1}_{v'(x)}dx\\ &=\frac13x^4-\frac1{12}x^4+c\\ &=\frac3{12}x^4+c\\ &=\frac14 x^4+c \end{align}$

Diese Stammfunktion mit $c\in\mathbb{R}$ entspricht der obigen Stammfunktion, die wir mittels der Potenzregel bestimmt haben.

Aufgaben zur Anwendung der partiellen Integration

Im Folgenden schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, welcher der beiden Faktoren der zu integrierenden Produktfunktion die Rolle von $u'(x)$ spielen sollte und wie wir die partielle Integration schließlich anwenden.

Exponentialfunktionen

Wir wollen das unbestimmte Integral $\int (x\cdot e^x) dx$ berechnen.

Wir wählen $u'(x)=e^x$ und $v(x)=x$, weil die Stammfunktion von $u'(x)$, nämlich $u(x)=e^x$, bekannt ist und weil $v'(x)=1$ leicht zu handhaben ist.

Beim Ableiten von Polynomen wird der Exponent immer um $1$ kleiner. Deswegen wählst du bei Exponentialfunktionen der obigen Gestalt immer das Polynom als $v(x)$ und den exponentiellen Faktor als $u'(x)$. Dies wird oft auch als Abräumen von Polynomen bezeichnet.

Nun können wir die partielle Integration anwenden.

$\begin{align} \int (x\cdot e^x)dx & = x\cdot e^x-\int (1\cdot e^x)dx\\ & = x\cdot e^x-e^x+c\\ & = (x-1)\cdot e^x+c \end{align}$

Zweifellos ist das rechte Integral leichter zu berechnen. Wenn wir $f(x)=x^2\cdot e^x$ integrieren wollen, gehen wir genauso vor. Es muss jedoch zweimal partiell integriert werden.

Trigonometrische Funktionen

Ein häufiges Anwendungsgebiet für die partielle Integration sind die trigonometrischen Funktionen. Nehmen wir als Beispiel die Funktion $f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)$. Bestimmen wir zunächst, was wir später brauchen:

  • $u'(x)=\sin(x)$
  • $u(x)=-\cos(x)$
  • $v(x)=\cos(x)$
  • $v'(x)=-\sin(x)$

Dann können wir anfangen zu rechnen.

$\begin{align} \int (\sin(x)\cdot \cos(x))dx&= -\cos(x)\cdot \cos(x)-\int((-\cos(x))\cdot (-\sin(x)))dx\\ &= -(\cos(x))^2-\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx \end{align}$

Wie wir sehen, taucht das Ausgangsintegral wieder auf. Wenn wir auf beiden Seiten $\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx$ addieren, erhalten wir

$\begin{align}2\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx&=-(\cos(x))^2&|&:2\\ \int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx&=-\frac12(\cos(x))^2 \end{align}$

Logarithmusfunktionen

Zuletzt wenden wir noch einen Trick zur Integration von Logarithmusfunktionen an. Betrachten wir das einfache Beispiel $f(x)=\ln(x)$. Um diese Funktion partiell zu integrieren, ergänzen wir den Faktor $1$, da wir ja ein Produkt benötigen: $ \int \ln(x)dx=\int(1\cdot \ln(x))dx$. Dann gilt:

  • $u'(x)=1$
  • $u(x)=x$
  • $v(x)=\ln(x)$
  • $v'(x)=\frac 1x$

Die partielle Integration sieht dann wie folgt aus:

$\begin{align} \int \ln(x)dx&=\int(1\cdot \ln(x))dx\\ &=x\cdot \ln(x)-\int\left(x\cdot \frac1x\right)dx\\ &=x\cdot \ln(x)-\int 1dx\\ &=x\cdot \ln(x)-x+c \end{align}$

Da die Ableitung von $\ln(x)$ gerade $\left(\ln(x)\right)'=\frac1x $ ist, heben sich $x$ und $\frac1{x}$ auf. Deswegen wählst du immer das Polynom als $u'(x)$ und den Logarithmus als $v(x)$.

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