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Volumen von Rotationskörpern – Kegelvolumen 07:39 min

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Transkript Volumen von Rotationskörpern – Kegelvolumen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, wie man das Volumen von einem Kegel berechnet. Dazu wollen wir kurz überlegen, wie man einen Kegel als einen Rotationskörper beschreiben kann und dann mit Hilfe der Volumenformel für Rotationskörper, die du bereits kennengelernt hast, das Volumen dieses Kegels allgemein berechnen. Also wir haben jetzt einen Kegel gegeben mit der Höhe h und dem Radius r. Und wir suchen dessen Volumen. Ja, wir wollen jetzt dieses Volumen allgemein herleiten, das bedeutet, in unserer Volumenformel steht später die allgemeine Größe h und r drin, sodass man, egal wie groß dieser Kegel ist, quasi immer das Volumen berechnen kann. Und das ist auch die Formel, die im Tafelwerk zu finden ist. Wir haben jetzt hier einen Kegel, der hat eine Spitze und als Grundfläche einen Kreis. Jetzt wollen wir diesen Kegel als Rotationskörper beschreiben. Der entsteht, wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert. So, und so, wie er jetzt steht, kann man das nicht wirklich, deswegen drehen wir den Kegel so, dass die Spitze im Koordinatenursprung liegt und wir legen dann halt noch ein Koordinatensystem rein. Jetzt müssen wir überlegen, durch welche Funktion, die um die x-Achse rotiert, entsteht dieser Kegel? Und jetzt sieht man, dass es eine lineare Funktion ist. Und eine lineare Funktion hat ja immer den Aufbau: f(x) = mx + n. Und wir müssen jetzt diesen Anstieg m und den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen mit Hilfe der Höhe und dem Radius r. Das heißt, wir müssen überlegen im Bild, wo liegt diese Höhe und dieser Radius? Diese Höhe ist ja der Abstand der Spitze zur Grundfläche. Das heißt, die liegt hier bei uns auf der x-Achse. Und der Radius ist dann der Radius der Grundfläche des Kegels. Und jetzt können wir quasi zwei Punkte ablesen, durch die diese lineare Funktion geht. Nämlich einmal der Koordinatenursprung, also P(0|0) und dann haben wir hier oben noch einen Punkt Q und der hat dann die Koordinaten (h|r), von der Höhe h und dem Radius r. Und daraus können wir jetzt m und n berechnen. Also einmal aus P(0|0) und aus Q(h|r). Ja, durch P(0|0) sieht man jetzt direkt, dass dieser Schnittpunkt mit der y-Achse bei null liegt, also ist f(x) = mx, das n fällt weg. Und jetzt setzte ich diesen Punkt hier ein, um m zu berechnen. Also r = m×h. Und das können wir umstellen und dann haben wir m = r/h. Also ist unsere Funktion f(x) = (r/h)x. Jetzt müssen wir noch überlegen, in welchem Intervall diese Funktion um die x-Achse rotiert. Also dieses Integrationsintervall und das ist jetzt bei uns [0,h]. So und jetzt mit Hilfe der Volumenformel, die wir kennengelernt haben, V = πbaf(x)2 dx, können wir jetzt das Volumen berechnen, indem wir einfach einsetzen. Also V= πh0f(x)2 dx. Also wir quadrieren als erstes. Also (r2/h2) x2 dx. Jetzt brauchen wir die Stammfunktion. Die ist x2, da geht der Exponent einen hoch, also x3 und r2/h2 bleibt stehen. Aber wir müssen noch multiplizieren mit dem Kehrwert des neuen Exponenten, also mit 1/3. Also steht hier noch eine 3 im Nenner. In den Grenzen 0 bis h. Jetzt setzen wir ein, obere Grenze minus untere Grenze. Und das ist dann (r2/3h2)×h3. Und 03 ist ja wieder 0, also dieses ganze 0-Term, der fällt weg. Jetzt können wir noch kürzen. Diese h2 geht weg und das 3, nur ein h bleibt stehen. Und jetzt haben wir schon die allgemeine Formel: 1/3πr2h. Und das ist die allgemeine Formel zur Volumenberechnung eines Kegels, die auch im Tafelwerk steht. Ja, zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir wollten allgemein das Volumen eines Kegels berechnen mit der Höhe h und dem Radius r. Wir haben uns überlegt, dass dieser entsteht, wenn wir eine lineare Funktion um die x-Achse rotieren lassen. Dann haben wir mit Hilfe der zwei Punkte, die wir aus der Zeichnung abgelesen haben, die genaue Funktionsgleichung berechnet und dann haben wir in die Volumenformel eingesetzt und das allgemeine Volumen des Kegels erhalten. Ja, ich hoffe, du hast alles verstanden und auch ein bisschen Spaß gehabt. Bis zum nächsten Video, deine Anna.

2 Kommentare
  1. @ Api36: Hallo Api,

    hier wird ein bestimmtes Integral betrachtet. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, kann das bestimmte Integral einer Funktion f berechnen werden, indem man vom Funktionswert der F(b)(oberen Integrationsgrenze) einer Stammfunktion von f den Funktionswert F(a) (der unteren Integrationsgrenze) dieser Stammfunktion subtrahiert.
    Wenn also r²/h² x² aufgeleitet wird zu r²/(3h²) x³, ist das Integralzeichen nicht mehr notwendig.

    Hier kannst du das Thema auch nochmal detaillierter nachlesen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen/integralrechnung/hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung

    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Julia S., vor mehr als 2 Jahren
  2. Ich komme nicht heraus, wie man den Integral wegbekommt. ( Beim auflösen zur allgemeinen Formel)

    Von Api36, vor mehr als 2 Jahren

Volumen von Rotationskörpern – Kegelvolumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Kegelvolumen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, durch deren Rotation ein Kegel entsteht.

    Tipps

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet

    $f(x)=mx+n$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt.

    Die Gerade ist eine Ursprungsgerade, verläuft also durch den Koordinatenursprung.

    Der Punkt $(h|r)$ liegt auf der Geraden.

    Du könntest die Steigung $m$ auch durch ein Steigungsdreieck ablesen.

    Lösung

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet

    $f(x)=mx+n$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt.

    Da die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft, ist $n=0$. Die lineare Funktionsgleichung lautet also bisher $f(x)=mx$.

    Es muss noch die Steigung bestimmt werden. Hierfür schaut man sich einen Punkt an, der auf der Geraden liegt: $(h|r)$.

    Damit gilt $f(h)=r$ oder $m\cdot h=r$. Nun wird durch $h$ dividiert und man erhält allgemein

    $f(x)=\frac rh x+0=\frac rh x$.

  • Erstelle die Formel zur Berechnung des Kegelvolumens.

    Tipps

    Beachte die folgende Rechenregeln für Potenzen

    • $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
    • $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

    Verwende die Potenzregel der Integration

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ mit $n\neq -1$.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist $A=\pi~r^2$.

    Lösung

    Um diesen Kegel zu erhalten, wird die lineare Funktion $f(x)=\frac rh x$ um die x-Achse rotiert in den Grenzen $0$ bis $h$.

    Das Volumen des so entstandenen Rotationskörpers lässt sich mit Hilfe der Formel

    $V=\pi \int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$

    berechnen. Dabei sind

    • $a=0$,
    • $b=h$ und
    • $(f(x))^2=\frac{r^2}{h^2}x^2$.
    Zu der Funktion $(f(x))^2$ wird eine Stammfunktion benötigt, welche man mit Hilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ mit $n\neq -1$

    bestimmen kann. Somit ist

    $F(x)=\frac{r^2}{3h^2}x^3$

    eine solche Stammfunktion. Damit ist

    $V=\pi\left[\frac{r^2}{3h^2}x^3\right]_0^h=\pi\frac{r^2}{3h^2}h^3=\frac13~\pi~r^2~h$.

    Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels, dessen Höhe $h$ und dessen Radius der kreisförmigen Grundfläche $r$ lautet.

  • Berechne das Volumen der Kegel mithilfe der Formel $V=\frac13~\pi~r^2~h$.

    Tipps

    Setze die jeweiligen Größen in die Formel ein.

    Beachte, dass jeweils die Kreiszahl $\pi$ als Faktor stehen bleibt.

    Lösung

    Dies ist die Formel zur Berechnung eines Kegelvolumens. Wenn man nun für verschiedene Radien und Höhen das zugehörige Volumen berechnen soll, kann man diese Formel verwenden. Natürlich muss man nicht jedes Mal aufs Neue die Volumenformel für Rotationskörper anwenden:

    • $r=6~cm$ und $h=12~cm$ führt zu $V=\frac13~\pi~(6~cm)^2~(12~cm)=144~\pi~cm^2$
    • $r=12~cm$ und $h=6~cm$ führt zu $V=\frac13~\pi~(12~cm)^2~(6~cm)=288~\pi~cm^2$
    • $r=4~m$ und $h=9~m$ führt zu $V=\frac13~\pi~(4~m)^2~(9~m)=48~\pi~cm^2$
    • $r=6~m$ und $h=5~m$ führt zu $V=\frac13~\pi~(6~m)^2~(5~m)=60~\pi~cm^2$
  • Bestimme das Volumen eines Zylinders.

    Tipps

    Verwende diese Formel

    $V=\pi \int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$

    mit den entsprechenden Integrationsgrenzen und der linearen Funktion $f(x)$.

    Beachte, die begrenzende Gerade verläuft parallel zur x-Achse.

    Lösung

    Dieser Zylinder entsteht durch Rotation der konstanten Funktion $f(x)=r$ um die x-Achse.

    Also kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

    $V=\pi \int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$

    mit $a=0$ und $b=h$ verwendet werden.

    Damit ist

    $\begin{array}{rcl} V&=&\pi\int\limits_0^h~r^2~dx\\ &=&\pi[r^2~x]_0^h\\ &=&\pi~r^2~h \end{array}$.

    Dies ist die gesuchte Formel: $V=\pi~r^2~h$.

  • Gib an, welche Art von Funktionen rotiert werden muss, um einen Kegel zu erhalten.

    Tipps

    Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Durch Rotation einer konstanten Funktion, deren Graph parallel zur x-Achse verläuft, erhält man einen Zylinder.

    Der Graph der Funktion muss eine Gerade sein.

    Lösung

    Dieser Kegel wird nach oben (und auch nach unten) begrenzt durch eine Gerade.

    Insbesondere handelt es sich hier um eine Ursprungsgerade. Das bedeutet, sie verläuft durch den Koordinatenursprung.

    Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion: $f(x)=mx+n$.

    Ein spezieller Fall wäre eine Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft. Die zugehörige Funktion ist konstant. Der Körper, der durch Rotation einer konstanten Funktion um die x-Achse entsteht, ist ein Zylinder.

  • Leite eine Formel für einen Kegelstumpf her.

    Tipps

    Achte auf die Groß- und Kleinschreibung bei den Radien.

    Der y-Achsenabschnitt der linearen Funktion ist direkt abzulesen.

    Verwende die bekannten Punkte $(0|r)$ sowie $(h|R)$ zur Bestimmung der Steigung.

    Eine Stammfunktion der zu rotierenden Funktion lautet

    $\frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3+\frac{(R-r)r}{h}x^2+r^2x$.

    Das Volumen lässt sich wie folgt berechnen

    $V=\pi\left(\frac{(R-r)^2}{3h^2}h^3+\frac{(R-r)r}{h}h^2+r^2~h\right)$.

    Dieser Term muss noch weiter vereinfacht werden.

    Lösung

    Bestimmen der zu rotierenden Funktion $f(x)=mx+n$:

    Es ist $n=r$. Dies kann direkt abgelesen werden. Die Steigung ergibt sich durch die beiden bekannten Punkte $(0|r)$ sowie $(h|R)$. Damit ist

    $m=\frac{R-r}{h-0}=\frac{R-r}h$.

    Gesamt lautet die Funktion dann

    $f(x)=\frac{R-r}hx+r$.

    Diese muss nun

    1. quadriert und dann
    2. integriert werden.
    Zuerst quadrieren wir: $(f(x))^2=\left(\frac{R-r}hx+r\right)^2=\frac{(R-r)^2}{h^2}x^2+2\frac{(R-r)r}{h}x+r^2$

    Dann bilden wir eine Stammfunktion zu dieser Funktion mit Hilfe der Potenzregel der Integration

    $\frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3+\frac{(R-r)r}{h}x^2+r^2x$.

    Nun kann die Formel

    $V=\pi \int\limits_0^h~(f(x))^2~dx$

    zur Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes angewendet werden.

    $\begin{array}{rcl} V&=&\pi\left(\frac{(R-r)^2}{3h^2}h^3+\frac{(R-r)r}{h}h^2+r^2~h\right)\\ &=&\pi~h\left(\frac{(R-r)^2}{3}+(R-r)r+r^2\right)\\ &=&\frac{\pi~h}3\left((R-r)^2+3(R-r)r+3r^2\right)\\ &=&\frac{\pi~h}3\left(R^2-2Rr+r^2+3Rr-3r^2+3r^2\right)\\ &=&\frac{\pi~h}3\left(R^2+Rr+r^2\right) \end{array}$.

    Dies ist die Formel zur Berechnung eines Kegelstumpfes

    $V=\frac{\pi~h}3\left(R^2+Rr+r^2\right)$.