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Vierfeldertafel – Einführung

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Martin Wabnik
Vierfeldertafel – Einführung
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Vierfeldertafel – Einführung

Die Vierfeldertafel

Hast du schon einmal von der Vierfeldertafel gehört? Das ist ein mathematisches Werkzeug, mit dem man zufällige Ereignisse oder Stichproben in einen Zusammenhang bringen kann. Wir wollen uns das im Folgenden etwas genauer anschauen.

Was ist eine Vierfeldertafel?

Wir können mithilfe einer Vierfeldertafel verschiedene Größen betrachten: Absolute Häufigkeiten, relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. Die grundsätzliche Darstellung ist dabei immer gleich und sieht wie folgt aus:

Vierfeldertafel Darstellung

In den äußeren Feldern stehen zunächst die Ereignisse $\text{A}$ und $\text{B}$ sowie ihre Gegenereignisse $\overline{\text{A}}$ und $\overline{\text{B}}$. In der Mitte befinden sich die vier Felder, in denen sich die Wahrscheinlichkeiten oder Häufigkeiten ihrer Schnittmengen befinden. Weil das alles etwas abstrakt klingt, wollen wir uns ein einfaches Beispiel anschauen.

Vierfeldertafel – Beispiel

Wir betrachten einen Beutel, in dem sich verschiedene Formen aus Holz in verschiedenen Farben befinden. Es gibt Kugeln, Zylinder und Würfel. Außerdem gibt es diese Formen alle in Blau und Rot.

Wir wollen zunächst eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten zeichnen. Dazu müssen wir zunächst definieren, welche Ereignisse $\text{A}$ und $\text{B}$ wir betrachten wollen. In diesem Beispiel wählen wir:

$\text{A} = \text{Das Objekt ist eine Kugel}$

$\text{B} = \text{Das Objekt ist blau}$

Damit ergeben sich automatisch die Gegenereignisse:

$\overline{\text{A}} = \text{Das Objekt ist keine Kugel.}$

$\overline{\text{B}} = \text{Das Objekt ist nicht blau.}$

Nehmen wir an, der Beutel enthält die folgenden Objekte: 20 rote Kugeln und 10 blaue Kugeln, 10 rote Zylinder und 20 blaue Zylinder, 20 rote Würfel und 20 blaue Würfel. Die Vierfeldertafel sieht dann folgendermaßen aus:

Vierfeldertafel Beispiel absolute Häufigkeit

Die Schnittmenge aus $\text{A}$ und $\text{B}$ sind alle Objekte, die eine Kugel und blau sind – es gibt 10 solche Objekte. Die Schnittmenge von $\text{A}$ und $\overline{\text{B}}$ sind alle Objekte, die zwar eine Kugel, aber nicht blau sind. Das sind gerade die $20$ roten Kugeln. In der dritten Zeile unter $\text{A}$ steht die Anzahl aller Objekte, die zu $\text{A}$ gehören. Das ist die Gesamtzahl von Kugeln, also $30$. In der dritten Zeile unter $\overline{\text{A}}$ steht die Gesamtzahl aller Objekte, die nicht zu $\text{A}$ gehören, die also keine Kugeln sind. Das sind in diesem Beispiel $70$. Zählt man alle Objekte, die Kugeln sind, mit allen Objekten, die keine Kugeln sind, zusammen, erhält man die Gesamtanzahl aller Objekte im Beutel. Das sind $100$. Die Gesamtzahl kann man auch berechnen, indem man alle Objekte, die blau sind, mit denen zusammenzählt, die nicht blau sind.

Wir können für die Vierfeldertafel auch die relativen Häufigkeiten berechnen. Dazu dividieren wir den Wert in jedem Feld einfach durch die Gesamtzahl. Das Ergebnis sieht dann so aus:

Vierfeldertafel relative Häufigkeit

Zu guter Letzt kann man auch die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse und der Schnittmengen in der Vierfeldertafel notieren. Allgemein sieht das so aus:

Vierfeldertafel Wahrscheinlichkeiten

Fasst man alle einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammen, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $1$. In unserem Beispiel des Ziehens der verschiedenen Objekte aus dem Beutel können wir die Wahrscheinlichkeiten mit den relativen Häufigkeiten gleichsetzen. Das geht im Allgemeinen allerdings nicht!. Daher muss man an dieser Stelle vorsichtig sein.

Wenn du zum Thema Vierfeldertafel eine Aufgabe oder Übungen lösen musst, weißt du nun, wie du vorgehst.

Dieses Video

In diesem Video erhältst du einen ersten Überblick zum Thema Vierfeldertafel. Du lernst, was du in einer solchen Tafel eintragen und wie du sie lesen kannst. All das wird mit einem einfachen Beispiel erklärt.

Transkript Vierfeldertafel – Einführung

Hallo. Was ist eine Vierfeldertafel, das ist unser Thema. Und, Freunde, was soll ich euch sagen - erstens hat die Vierfeldertafel keine vier Felder, sondern mehr und zweitens gibt es drei Versionen von Vierfeldertafeln. Ich zeige alle drei, kein Problem, das kriegen wir hin. Also eine Vierfeldertafel hat in der Regel in der Mitte vier Felder und deshalb heißt sie auch so. Aber drum herum gibt es auch noch etwas. Und zwar können wir uns vorstellen eine Grundgesamtheit - irgendeine ... die Schüler einer Schule, die Einwohner einer Stadt ... Die Objekte oder Individuen dieser Grundgesamtheit können die Eigenschaft A oder auch die Eigenschaft nicht-A haben. Sie können außerdem die Eigenschaft B beziehungsweise die Eigenschaft nicht-B haben. Wenn wir jetzt die Grundgesamtheit gut genug kennen, können wir z.B. sagen, ok, 24 dieser Elemente der Grundgesamtheit haben die Eigenschaft A und die Eigenschaft B. Ich nehme jetzt hier Zahlen aus einem Zufallsversuch, die schon einmal vorgekommen sind. Nehmen wir mal an, 30 von denen haben die Eigenschaft A und die Eigenschaft nicht-B. 16 haben die Eigenschaft nicht-A und B. 20 haben die Eigenschaft nicht-A und nicht-B. Und wie dir vielleicht aufgefallen ist, sage ich manchmal "die Eigenschaft A und B" und manchmal sage ich "die Eigenschaften A und B". Da ist es nicht ganz klar, wie man das auffassen soll, ob zum Beispiel rot und rund eine Eigenschaft ist, die aus zwei Teilen besteht oder ob das zwei Eigenschaften sind, die einem Objekt zukommen können. Ich hoffe, du nimmst das nicht ganz so genau. Wenn wir jetzt diese Zahlen hier kennen, können wir weitere Zahlen hinschreiben, z. B. wissen wir jetzt auch, dass 54 Elemente unserer Grundgesamtheit die Eigenschaft A haben, 36 Elemente haben die Eigenschaft nicht-A. Hier können wir sehen, dass 24 plus 16 Elemente die Eigenschaft B haben, das sind 40. Und hier sehen wir dass 50 Elemente die Eigenschaft nicht-B haben und zusammen sind es 90 Elemente. Manchmal zeichnet man das hier auch noch weiter, das ist letzten Endes egal, Hauptsache man weiß, was gemeint ist. Ja, kommen wir zu einer weiteren Version. Wir können, wenn wir unsere Grundgesamtheit genau kennen, auch die relativen Häufigkeiten hinschreiben. Und das geht so. Wir haben wieder vier Felder. Wir haben hier die Eigenschaft A und auch die Eigenschaft nicht-A. Hier die Eigenschaft B, nicht-B, alles da. Wir wissen jetzt, dass 24/90 die relative Häufigkeit der Elemente in dieser Grundgesamtheit ist, die die Eigenschaft A und auch die Eigenschaft B haben. 30/90 unserer Menge hat die Eigenschaft A und nicht-B. Hier sind es 16/90 und 20/90. Also hier werden einfach die relativen Häufigkeiten hingeschrieben. Hier dann natürlich auch die relative Häufigkeit von B in unserer Grundmenge ist 40/90. Auch hier kürze ich wieder die Brüche nicht, um die Struktur besser zeigen zu können. 50/90 haben die Eigenschaft nicht-B und 54/90 haben die Eigenschaft A. 36/90 haben die Eigenschaft nicht-A und zusammen sind es dann 90/90. Wenn wir die hier addieren oder die hier addieren kommen wir jeweils auf 90/90. Also der Anteil der Elemente, die irgendeine dieser Eigenschaften haben in dieser Grundgesamtheit ist gleich eins, also 90/90. Es gibt noch eine dritte Version und die können wir uns so vorstellen: Wir haben wieder hier vier Felder in der Mitte und wir stellen uns irgendeinen Zufallsversuch vor. Und da gibt es die Eigenschaft A und die Eigenschaft nicht-A und die Eigenschaft B und auch die Eigenschaft nicht-B. Und wir können eine Wahrscheinlichkeit erreichnen für A ∩ B und diese Wahrscheinlichkeit können wir hier in dieses Feld schreiben. Entsprechend hat man hier A ∩ nicht-B, also die Wahrscheinlichkeit für A ∩ nicht-B und hier für A ∩ nicht-B. Und hier kommt die Wahrscheinlichkeit für nicht-A ∩ nicht-B. hin. Hier haben wir dann die Wahrscheinlichkeit für B und auch da sieht man wieder, man muss nur diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren, um zur Wahrscheinlichkeit von B zu kommen. Hier haben wir die Wahrscheinlichkeit für nicht-B. Und wenn man hier entlang addiert, also diese Wahrscheinlichkeiten dann kommt man zur Wahrscheinlichkeit von A und hier zur Wahrscheinlichkeit von nicht-A. Und hier steht dann eine 1, denn die Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1, also wenn man zum Beispiel für A plus die Wahrscheinlichkeit für nicht-A nimmt, kommt hier 1 heraus. Eine kleine Anmerkung zu den Unterschieden zumindest dieser beiden Vier-Felder-Tafeln. Wenn wir eine Grundgesamtheit haben und alle Elemente der Grundgesamtheit persönlich kennen, also immer wissen, ob sie die Eigenschaften A, B, nicht-A oder nicht-B haben, dann kann man solche relativen Häufigkeiten hinschreiben und wenn man sich jetzt einen Zufallsversuch vorstellt, nämlich wir ziehen ein Element aus dieser Grundgesamtheit, dann ist die Wahrscheinlichkeit, ein Element mit den Eigenschaften A und B zu erhalten gleich 24/90. Das bedeutet, die relative Häufigkeit ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit. Aber das ist nur in diesem Fall so. Hier geht es um irgendwelche Zufallsversuche, die Ereignisse haben A und B und die irgendwelche solche Wahrscheinlichkeiten haben. Es ist immer gut, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auseinander zu halten. Das ist ein großes Thema, Viele verwechseln das, da muss man sehr genau sein. Du wirst noch viele Testverfahren kennenlernen, da geht es darum, dass man von einer relativen Häufigkeit auf eine Wahrscheinlichkeit schließt und das heißt auch, relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten sind in der Regel nicht dasselbe können aber in seltenen Fällen wir hier auch mal gleich sein. Viel Spaß damit. Tschüss.      

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Tja Annett Nast,
    wie weit bist du mit deinem Referat? Anscheinend gab es keine Antwort, also hast du dein Referat zwei Jahre verschoben, oder? xD

    Tolles Video, ich habe alles verstanden

    Von Lucanico2000, vor 8 Monaten
  2. Hallo Herr Wabnik,

    ich sitze gerade über einem Referat zur 4-Felder-Tafel und die Erklärungen habe ich bereits.
    Gibt es einen geschichtlichen Hintergrund dazu (Wer, wann und warum)? Ich habe bereits im Netz recherchiert. Bin aber nirgends fündig geworden. Ich freue mich über eine Nachricht von Ihnen.
    Lieber Gruß
    Paul

    Von Annett Nast, vor etwa 3 Jahren
  3. Ja, das ist mir auch nicht klar

    Von Suping Wang, vor etwa 4 Jahren
  4. sehr gut erklärt!! nur ist mir noch nicht ganz klar, wann diese Felder zum Einsatz kommen. Ist dann in der Aufgabe gefragt: wie ist die relative Häufigkeite oder woran erkenne ich, wann ich das verwenden muss? :)

    Von Stephanie♥, vor mehr als 7 Jahren
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