Verschachtelte Klammern
Lerne die Regeln für verschachtelte Klammern mit Variablen kennen und entdecke, warum die Reihenfolge der Auflösung entscheidend sein kann. Mit einfachen Beispielen und Tipps wird dir geholfen, komplexe Terme erfolgreich zu vereinfachen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Verschachtelte Klammern
Was sind verschachtelte Klammern?
Von verschachtelten Klammern spricht man in Mathe, wenn in einem Term mehrere Klammern stehen, die ineinander geschachtelt sind. Beim Rechnen mit verschachtelten Klammern haben wir gelernt, dass man die Klammern sinnvollerweise von innen nach außen auflöst, wenn man den gegebenen Term vereinfachen will. Man rechnet also zuerst die innerste Klammer aus und arbeitet sich dann nach außen vor, wie im folgenden Beispiel zu sehen ist:
$6\cdot (1-(20-19)) = 6\cdot (1-1) = 6\cdot(0) = 0$
Bestehen die Terme aber nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Variablen, können wir den Wert einer Klammer nicht direkt ausrechnen. Wie wir in Termen mit Variablen verschachtelte Klammern auflösen können, wird im folgenden Text einfach erklärt.
Wie löst man verschachtelte Klammern mit Variablen auf?
Auch bei der Klammerrechnung mit Variablen ist das Wichtigste, dass wir alle Klammerregeln beachten. Es ist aber nicht zwangsläufig so, dass es am sinnvollsten ist, die Klammern von innen nach außen aufzulösen.
Wir schauen uns dazu ein Beispiel an. Zunächst lösen wir hier die Klammern mit dem bekannten Vorgehen von innen nach außen auf:
$1-\left(3x-(5-(3x-6))\right) = 1-(3x-(5-3x+6))$
Wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht, drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um, wenn wir die Klammer auflösen. Bevor wir die nächste Klammer auflösen, fassen wir schon mal in der innersten Klammer zusammen:
$1-(3x-(5-3x+6)) = 1-(3x-(11-3x)) $
Und genauso gehen wir weiter von innen nach außen vor und vereinfachen damit soweit wie möglich:
$1-(3x-(11-3x)) =1-(3x-11+3x) = 1-(6x-11) $
$= 1-6x+11 = 12-6x$
Wir können aber auch mit der äußersten Klammer anfangen:
$1-(3x-(5-(3x-6))) = 1-3x+(5-(3x-6)) = 1-3x+5-(3x-6)$
$= 6-3x-(3x-6) = 6-3x-3x+6 = 12-6x$
In diesem Fall war die Anzahl der benötigten Umformungen ähnlich, egal ob wir von innen nach außen oder andersherum vorgegangen sind.
Wir schauen uns noch ein weiteres Beispiel mit verschachtelten Klammern an, bei dem die Reihenfolge wichtig ist, wenn man möglichst wenige Umformungen und somit einen möglichst geringen Rechenaufwand will. Wir möchten den Term $\left(x^{2}-(x-1)\cdot (x+1)\right)^{2}$ vereinfachen.
Wir beginnen nun wieder so, dass wir von innen nach außen die Klammern auflösen. Um die beiden inneren Klammern zu multiplizieren, wenden wir die dritte binomische Formel an:
$\left(x^{2}-(x-1)\cdot(x+1)\right)^{2} = \left(x^{2}-\left(x^{2}-1\right) \right)^{2} $
$= \left(x^{2}-x^{2}+1\right)^{2} = 1^{2}=1$
Wie sieht diese Rechnung aus, wenn wir die Klammern von außen nach innen auflösen? Dann beginnen wir mit der äußersten Klammer und wenden zunächst die zweite binomische Formel an:
$\left(x^{2}-(x-1)\cdot(x+1)\right)^{2} = \left(x^{4} -2x^{2}\cdot(x-1)\cdot(x+1)+ (x-1)^{2}\cdot(x+1)^{2} \right)$
Hier sehen wir schon nach dem ersten Umformungsschritt, dass der Term viel länger geworden ist und wir voraussichtlich deutlich mehr Rechenschritte benötigen werden als bei der Rechnung oben.
Dieses Beispiel soll zeigen, dass bei der Klammerrechnung mit mehreren verschachtelten Klammern die Reihenfolge, in der man die Klammern auflöst, durchaus von Bedeutung sein kann, wenn man den Rechenaufwand gering halten möchte. Bevor man mit der Bearbeitung einer Aufgabe mit verschachtelten Klammern und Variablen startet, ist es daher sinnvoll, sich kurz zu überlegen, mit welcher Klammer man am besten beginnt.
Wie rechnet man mit verschachtelten Klammern mit Variablen? – Zusammenfassung
Beim Rechnen mit verschachtelten Klammern beachten wir alle Klammerregeln. Für Terme, die nur Zahlen enthalten, vereinfachen wir die Terme, indem wir die Klammern von innen nach außen ausrechnen und auflösen. Sind Variablen im Term enthalten, kann auch eine andere Reihenfolge beim Auflösen sinnvoll sein. Deswegen überlegen wir uns zunächst, welche Klammer wir als Erstes auflösen.
Transkript Verschachtelte Klammern
Arvid der Abenteurer ist wieder einmal auf Schatzsuche. Diesmal haben ihn die Hinweise in die Tiefen des indischen Dschungels geführt. Was ihn hier wohl erwartet? Viele spannende Rätsel mit „Verschachtelten Klammern“. Arvid hat sich vor der Reise schon mal auf das Thema vorbereitet. Wenn in einem Term mehrere, ineinander verschachtelte Klammern vorkommen, ist es am besten, wenn wir diese von innen nach außen berechnen. Das ist die innerste Klammer. Ihr Ergebnis ist drei. Danach können wir diese Klammer lösen. Hier müssen wir die „Punkt-vor-Strich-Regel“ beachten und erhalten vierzehn. Damit haben wir den Term wesentlich vereinfacht, und können nun viel leichter zusammenfassen. Dreißig minus achtundzwanzig ergibt zwei. Aber, was ist das? In diesen Termen sind auch Variablen enthalten! Damit hat Arvid nicht gerechnet. Die Tiere des Dschungels wollen ihn wohl verwirren. Arvid weiß: Wenn wir einen Term mit einer Variable gegeben haben, können wir das Ergebnis nicht ausrechnen, weil wir ja noch gar nicht wissen, welchen Zahlenwert die Variable hat. Aber wir können den Term vereinfachen. Da wartet auch schon die erste Aufgabe auf unseren Abenteurer. Hm, was ist wohl die Lösung? Sollte er hier lieber nach links oder nach rechts gehen? Zum Glück hat er für solche Fälle sein Notizbuch dabei! Wir fangen auch hier mit der innersten Klammer an. „zwei x“ und „minus sieben“ dürfen wir nicht weiter zusammenfassen. Stattdessen schauen wir einmal, was wir beachten müssen, wenn wir die Klammer auflösen wollen. Vor der Klammer steht ein minus, also eigentlich der Vorfaktor „minus eins“. Deshalb müssen wir die beiden Summanden in der Klammer mit „minus eins“ multiplizieren. Dann wird aus „plus zwei x“, „Minus zwei x“. Und minus sieben, wird zu plus sieben. Durch das Minus vor der Klammer wurden also die Vorzeichen in der Klammer umgekehrt. Jetzt können wir die Summanden in der eckigen Klammer noch ordnen, und schonmal ein wenig zusammenfassen. Vor der äußeren Klammer steht ein Plus, das heißt, wir können die Klammer einfach auflösen, ohne dass wir etwas verändern müssen. Dann können wir den Term wieder neu ordnen und fassen die Summanden zusammen, die ein x enthalten. Wir erhalten „zwei x plus zehn“. Arvid muss also die linke Brücke nehmen. Auf der anderen Seite angekommen, weisen ihm die Lemuren wieder den Weg naja, oder die Wege. „Auf welchen soll er hören? Auf diesen Kollegen mit Sicherheit nicht.“ Wir rechnen nach. In der innersten Klammer subtrahieren wir zuerst acht und sechs. Nun müssen wir in der eckigen Klammer die Punkt-vor-Strich-Regel beachten. Wir multiplizieren zuerst, und subtrahieren anschließend. Nun fallen auch die eckigen Klammern weg, und wir können das Ergebnis berechnen. Arvid weiß jetzt also, wo es langgeht. eine letzte Aufgabe liegt noch vor ihm. Dieses Mal sind zwei Variablen und drei Klammerpaare im Term enthalten! Welchen der beiden Schalter soll er in Gang setzen? Wir dürfen nicht die Nerven verlieren und schauen uns den Term ganz in Ruhe an. Zuerst suchen wir wieder die innerste Klammer. Dieses Minus vor der Klammer ändert alle Vorzeichen IN der Klammer. So haben wir schonmal die innerste Klammer erfolgreich aufgelöst. Nun können wir den Term in der eckigen Klammer weiter zusammenfassen. „minus x minus x“ sind „minus zwei x“, und „vier y minus ein y“ sind „drei y“. Jetzt können wir die eckige Klammer auflösen, indem wir beide Terme mit zwei multiplizieren. Das sind „sechs y minus vier x“. Nun sieht der Term auch gar nicht mehr so schlimm aus. Vor der geschweiften Klammer steht noch ein Minus. Das heißt, wir müssen wieder die Vorzeichen in der Klammer umdrehen. Die letzte Addition ist ein Kinderspiel. Wir haben es geschafft! Arvid ist sich sicher: dieser Schalter bringt ihn zum sagenumwobenen Schatz des indischen Dschungels. Bevor wir ihm folgen, fassen wir kurz zusammen. Wenn wir Terme mit verschachtelten Klammern vereinfachen wollen, beginnen wir mit der innersten Klammer, und können uns so stückweise von innen nach außen vorarbeiten. Dabei müssen wir natürlich die Punkt-vor-Strich-Regel beachten. Wenn vor der Klammer, die wir gerade auflösen wollen, ein Vorfaktor steht, muss dieser auf alle Summanden - oder in diesem Fall Minuend und Subtrahend - in der Klammer angewendet werden. Ein Minus vor der Klammer ändert dabei die Vorzeichen der Summanden. Aus Plus wird Minus und aus Minus wird Plus. Und was wird aus Arvid? Was erwartet ihn in dieser geheimnisvollen Höhle? Dann hoffen wir mal, dass Arvid nicht nur gut rechnen, sondern auch gut rennen kann!
Verschachtelte Klammern Übung
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Benenne die angewandte Regel.
TippsBeispiel: $ ( 2x \cdot \underbrace{( 5 + 3 )}_{\text{innere Klammer}} ) $
Punkt-vor-Strich-Regel:
Zur Punktrechnung zählen Multiplikation und Division und zur Strichrechnung zählen Addition und Subtraktion.
Beispiel:
$ 2 - 5 \cdot 2y = 2 - 10y$
Hier muss also erst multipliziert werden: $ 5 \cdot 2y = 10y $.LösungFür Terme mit verschachtelten Klammern gibt es Regeln, die du befolgen musst, um die Terme zu berechnen bzw. zu vereinfachen.
Mit der innersten Klammer beginnen.
Die erste Regel bezieht sich auf die Klammern. In einer Rechnung können mehrere Klammern vorkommen. Dabei ist es wichtig, dass du mit der innersten Klammer anfängst, diese soweit wie möglich berechnest und dann von innen nach außen arbeitest.
$3 \cdot [7a-2a \cdot (8-6)] $
Wir beginnen mit der Rechnung $8-6 = 2$ in der inneren Klammer und lösen dann weiter auf. Es ergibt sich:
$3 \cdot [7a-2a \cdot (8-6)] = 3 \cdot [7a-2a \cdot 2] = 3 \cdot [7a-4a] = 3 \cdot 3a = 9a$Vorfaktor vor der Klammer bezieht sich auf alle Summanden.
Die zweite Regel bezieht sich auf den Vorfaktor vor Klammern.
$ 2 \cdot (2x +6)$
Hier wird die $2$ mit jedem Term in der Klammer multipliziert.
$ 2 \cdot (2x +6) = 2 \cdot 2x + 2 \cdot 6 = 4x +12 $Minuszeichen vor der Klammer ändert die Vorzeichen in der Klammer.
Die dritte Regel bezieht sich auf den Fall, dass ein Minus vor der Klammer steht.
$ - ( x - 5) $
Dies ist ein Sonderfall der Vorfaktor-Regel, da man auch statt dem $-$ ein $ \cdot (-1) $ schreiben kann und somit alle Terme in der Klammer mit $ \cdot (-1) $ verrechnet werden. Somit drehen sich alle Vorzeichen um. Es ergibt sich:
$-(x-5)=-x+5$Punkt vor Strich
Die vierte Regel ist die Punkt-vor-Strich-Regelung. Zur Punktrechnungen zählen Multiplikation und Division und zur Strichrechnung zählen Addition und Subtraktion. Das heißt, es muss immer erst multipliziert und dividiert werden, und erst danach addiert und subtrahiert.
$ ( 7x + 3 \cdot 4x ) + 5x $
Hier muss also in der Klammer $3 \cdot 4x$ zuerst gerechnet werden.
$( 7x + 3 \cdot 4x ) + 5x = ( 7x + 12x ) + 5x = 19x + 5x = 24x $Hinweis: Beachte, dass die Regel Klammer zuerst Vorrang vor der Punkt-vor-Strich-Regel gilt.
-
Vereinfache die Terme.
TippsDenke daran, die Klammern von innen nach außen aufzulösen. Faktoren, die vor oder hinter einer Klammer stehen, werden dabei mit jedem Element in der Klammer multipliziert.
Achte auf die richtigen Rechen- und Vorzeichen.
LösungDie Aufgaben werden folgendermaßen gelöst:
Erste Aufgabe:
$ 4x + [ 3 - ( 2x -7) ] $
$ \mapsto $ Die innere Minusklammer wird aufgelöst, Vorzeichen drehen sich um:
= $ 4x + [ 3 - 2x +7 ] $
$ \mapsto $ In der Klammer wird so weit wie möglich vereinfacht:
= $ 4x + [ 10 - 2x ] $
$ \mapsto $ Die äußere Klammer fällt weg:
= $ 4x + 10 - 2x $
$ \mapsto $ Der Term wird zusammengefasst:
$ 2x+ 10 $Zweite Aufgabe:
$ 3 \cdot [ 7a - 2a \cdot (8-6)] $
$ \mapsto $ Die innere Klammer wird berechnet:
= $ 3 \cdot [ 7a - 2a \cdot 2 ]$
$ \mapsto $ Punkt vor Strich wird beachtet:
= $ 3 \cdot [ 7a - 4a ]$
$ \mapsto $ Die zweite Klammer wird berechnet:
= $ 3 \cdot 3a$
$ \mapsto $ Der Vorfaktor wird mit der Klammer multipliziert:
= $9a$ -
Fasse die Terme richtig zusammen.
TippsAchte darauf, dass ein Minuszeichen vor der Klammer die Rechenzeichen in der Klammer umkehrt.
Beispiel:
$9z - [5 \cdot (2z - 10) + 5z] =$
$9z - [10z - 50 + 5z] =$
$9z - [15z - 50] =$
$9z - 15z + 50 =$
$-6z + 50$LösungBei dieser Aufgabe sollst du die Terme richtig zusammenfassen und dabei die Regeln beachten. Die einzelnen Terme sind ähnlich, nur die Vorzeichen und Klammern unterscheiden sich. Deshalb ist es wichtig, die Regeln Klammern zuerst und Punktrechnung vor Strichrechnung zu beachten.
Erste Aufgabe:
$ -(7x+5x) + 15y \cdot (3+4) $
$ = -12x + 15y \cdot 7 \quad$ Wir berechnen zuerst beide Klammern.
$ = -12x + 105y $Zweite Aufgabe:
$ [(7x-5x) \cdot 3] +15y $
$ = 2x \cdot 3 + 15y \quad$ Wir fassen zunächst in der inneren Klammer zusammen und multiplizieren im nächsten Schritt.
$ = 6x +15y $Dritte Aufgabe:
$ 7x- [3 \cdot (5y - 15x) -3y]\quad$ Wir multiplizieren den Faktor $3$ mit der Klammer.
$ = 7x - [15y - 45x -3y] $
$ = 7x - [12y - 45x] \quad$ Wir fassen in der Klammer zusammen.
$= 7x - 12y + 45x \quad$ Die Minusklammer dreht die Vorzeichen um.
$ = 52x -12y$Vierte Aufgabe:
$ 3y - [(5x+7x) - 15y] \quad$ Wir fassen in der inneren Klammer zusammen.
$ = 3y - [12x - 15y]$
$ = 3y - 12x +15y \quad$ Die Minusklammer dreht die Vorzeichen um.
$ = -12x + 18y $ -
Löse die Klammern auf und fasse den Term zusammen.
TippsWenn wir eine Klammer auflösen wollen, die einen Vorfaktor hat, muss dieser auf alle Elemente in der Klammer angewendet werden.
Beispiel: gleichnamige Terme zusammenfassen:
$7y - x + 5x + 19y = 7y + 19 y - x + 5x = 26y + 4x$
LösungUm diese Aufgabe zu lösen, benötigst du die folgenden Regeln zum Lösen von verschachtelten Klammern.
- innerste Klammer zuerst
- Punkt vor Strich
- Vorfaktor vor Klammern wird beim Auflösen auf alle Summanden angewendet
- Minuszeichen vor der Klammer dreht beim Auflösen alle Vorzeichen um
$ [(3a -2a) - 4\cdot( 13 b - a ) + 5b] +a $
Zuerst wird die innerste Klammer mit dem Vorfaktor $ - 4 $ aufgelöst. Dazu wird der Subtrahend und der Minuend mit $-4$ multipliziert. Da ein Minuszeichen vor der $4$ steht, werden die Vorzeichen dabei umgekehrt. Auch in der vorderen Klammer kann direkt $3a - 2a = a$ berechnet werden. Die äußere Klammer wird dann nicht mehr benötigt.
$= a - 52b + 4a +5b + a $
Abschließend werden alle Terme mit $a$ und alle Terme mit $b$ zusammengefasst und man erhält das Ergebnis:
$ =6a - 47b $
Die zweite Aufgabe wird wie folgt gelöst:
$ (3a +2a) + 4\cdot 13 b - a - (5b + a ) $
Zuerst wird der Term $ 4\cdot 13 b $ zusammengefasst und die hintere Klammer aufgelöst. Dazu werden die Vorzeichen in der Klammer umgekehrt. Auch in der vorderen Klammer kann direkt $3a + 2a = 5a$ berechnet werden.
= $ 5a + 52b- a- 5b - a $
Abschließend werden alle Terme mit $a$ und alle Terme mit $b$ zusammengefasst und man erhält das Ergebnis:
= $ 3a + 47b $
-
Berechne den Wert des Terms.
TippsWenn in einem Term mehrere ineinander verschachtelte Klammern vorkommen, musst du sie von innen nach außen berechnen.
Beispiel:
$ 3 \cdot [ 5 \cdot \underbrace{( 4 + 7 )}_{\text{innere Klammer}} +5 ] - 15$
LösungUm den Term in der richtigen Reihenfolge zusammenzufassen, musst du dir überlegen, welche Klammern als erstes berechnet werden müssen. Es gilt die Regel, dass man mit der innersten Klammer anfängt und sich dann von innen nach außen durcharbeitet.
Die Aufgabe hat folgende Reihenfolge:
- $ 30 - 2 \cdot [ 3 \cdot (12 - 9 ) +5 ] $
$\rightarrow$ Rechnung: $ 12 - 9 = 3$- $30 - 2 \cdot [ 3 \cdot \underbrace{(12 - 9)}_{3} +5 ] = 30 - 2 \cdot [ 3 \cdot 3 +5 ]$
$\rightarrow$ Rechnung: $ 3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14$- $30 - 2 \cdot \underbrace{[3 \cdot 3 + 5]}_{14} = 30 - 2 \cdot 14 $
$\rightarrow$ Rechnung: $ 2 \cdot 14 = 28$- $30 - \underbrace{2 \cdot 14}_{28} = 30 - 28$
- $30-28 = 2$
-
Fasse die Terme so weit wie möglich zusammen.
TippsAchte auf Minusklammern: Wenn ein Minus vor der Klammer steht, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.
Zum Beispiel:
$ 2x - ( 4y - 5) = 2x - 4y + 5 $Beispiel:
$ 3 [2x-3(y+x)] $
= $ 3 [2x -3y - 3x] $
= $ 3 [-x -3y] $
= $ -3x -9y $LösungDa es sich um Terme mit verschachtelten Klammern handelt, verwenden wir die folgenden Regeln:
Wir beginnen mit der innersten Klammer.
Ein Vorfaktor vor einer Klammer bezieht sich auf alle Summanden.
Ein Minuszeichen vor der Klammer ändert die Vorzeichen in der Klammer.
Wir beachten Punkt-vor-Strich-Rechnung.Die erste Aufgabe wird wie folgt gelöst:
$ 5x - \{7 \cdot [3y - x - ( 2y -4x) ]\} $
Die innerste Klammer kann nicht zusammengefasst werden, deshalb lösen wir gleich die Minusklammer auf.
= $ 5x - \{ 7 \cdot [ 3y - x - 2y + 4x ]\}$
Dann werden in der eckigen Klammer alle Terme mit $x$ und $y$ zusammengefasst.
= $ 5x - \{ 7 \cdot [ y + 3x ]\} $
Der Vorfaktor wird mit der Klammer verrechnet.
= $ 5x - \{ 7y + 21x \} $
Die Minusklammer wird aufgelöst.
= $ 5x - 7y - 21x $
Die beiden Terme mit $x$ werden zusammengefasst und wir erhalten das Ergebnis:
= $ -16x - 7y $Die zweite Aufgabe wird wie folgt gelöst:
$ [(13x \cdot 2 ) + 4x ] - (27x - 4 ) $
Zuerst wird die innerste Klammer berechnet.
= $ [26x + 4x] - (27x - 4 ) $
Die erste Klammer kann nun weggelassen werden. Beim Auflösen der hinteren Minusklammer werden die Vorzeichen umgedreht.
= $ 26x + 4x - 27x +4 $
Anschließend werden die Terme mit $x$ zusammengefasst zu:
= $ 3x + 4 $Die dritte Aufgabe wird wie folgt gelöst:
$ 9y - \{[ - ( 14x : 2 ) \cdot 5 ] - 27y\} $
Zuerst wird die innerste Klammer berechnet.
= $ 9y - \{[ -7x \cdot 5 ] -27y\} $
Dann wird der Ausdruck in der eckigen Klammer zusammengefasst.
= $ 9y - \{-35x -27y\} $
In der Minusklammer werden die Vorzeichen umgedreht.
= $ 9y + 35x + 27y $
Anschließend wird der Term zusammengefasst zu:
= $ 36y + 35x $
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