Verschachtelte Klammern (mit Variablen)

Verschachtelte Klammern (mit Variablen) Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Auflösen von Klammern.

  Tipps

  Steht ein Faktor vor der Klammer, lässt sich die Klammer auflösen. Dies geschieht durch Multiplikation des Faktors vor der Klammer mit jedem Wert innerhalb der Klammer. Sieh dir hierzu das folgende Beispiel an:

  • $ -2 \cdot (x − 2) = -2x + 4 $

  Achte beim Auflösen einer Klammer immer besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer.

  Binomische Formeln mit Anwendungsbeispiel:

  1. binomische Formel: $~(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$
  2. binomische Formel: $~(x\ −\ 2)^2 = (x\ −\ 2)(x\ −\ 2) = x^2 − 4x + 4$
  3. binomische Formel: $~(x + 2)(x − 2) = x^2 − 4$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  „Ein Pluszeichen vor der Klammer lässt die Vorzeichen beim Auflösen umkehren.“

  • Bei einem Pluszeichen vor der Klammer ändern sich die Vorzeichen nicht und bei einem Minuszeichen vor der Klammer kehren sich die Vorzeichen beim Auflösen um.

  „Steht hinter einem Term in Klammern der Exponent $2$, z. B. bei $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$, entspricht dies beim Auflösen der Klammer genau einmal dem Inhalt der Klammer.“

  • Steht hinter einem Term in Klammern die Potenz $2$, zum Beispiel bei $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$, wird der Inhalt der Klammer zweimal hingeschrieben. Das bedeutet, dass der Term $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$ sich auch wie folgt schreiben lässt:

  $~~(x^2 - (x - 1)(x + 1))(x^2 - (x - 1)(x + 1))$

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  „Ein Minuszeichen vor der Klammer lässt die Vorzeichen beim Auflösen umkehren.“

  • Bei einem Minuszeichen vor der Klammer wird jeder Wert in der Klammer mit $(-1)$ multipliziert. Deshalb ändern sich die Vorzeichen der einzelnen Werte.

  „Das Auflösen der Klammern von „innen nach außen“ und von „außen nach innen“ führt zu demselben Ergebnis.“

  „Das Auflösen der Klammern von „innen nach außen“ ist einfacher und führt bei großen und komplizierten Termen schneller zum Ergebnis als das Auflösen von „außen nach innen“.“

• Vereinfache den Term $1-(3x-(5-(3x-6))) $, indem du Klammerausdrücke von innen nach außen auflöst.

  Tipps

  Bei Klammerausdrücken mit einem negativen Vorfaktor ändern sich beim Ausmultiplizieren die Vorzeichen der Koeffizienten innerhalb der Klammer.

  Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  • $-(2-3x)= -2+3x$

  Lösung

  Wir möchten den Term $1-(3x-(5-(3x-6)))$ vereinfachen, indem wir die Klammerausdrücke von innen nach außen auflösen.

  Da die Klammern von innen nach außen aufgelöst werden, beginnt man im ersten Rechenschritt mit dem Klammerausdruck $-(3x-6)$. Dieser wird aufgelöst, indem man die Koeffizienten jeweils mit dem Faktor $-1$ multipliziert. Das Ergebnis ist $(5 -3x + 6)$.

  Im zweiten Schritt wird der Klammerausdruck $-(5 -3x + 6)$ aufgelöst. Die Multiplikation der Koeffizienten innerhalb der Klammer mit dem Faktor $-1$ ergibt $(-5+3x-6)$.

  Im dritten Schritt wird der Klammerausdruck $-(3x - 5 + 3x - 6)$ aufgelöst, indem man die Werte und Variablen mit dem Faktor $-1$ multipliziert. Das Ergebnis ist $-3x + 5 - 3x + 6$.

  Im letzten Schritt werden die einzelnen Werte und Variablen zusammengefasst und man erhält $12-6x$ als Endergebnis.

• Erschließe die Schritte der Rechnung.

  Tipps

  Achte auf binomische Formeln!

  Zur Erinnerung ein Anwendungsbeispiel:
  $1.$ binomische Formel: $ (4x+1)^2= 16x^2+8x+1 $
  $2.$ binomische Formel: $(4x-1)^2= 16x^2-8x+1 $
  $3.$ binomische Formel: $(4x+1)(4x-1) = 16x^2-1 $

  Fasse gleichartige Termglieder zusammen.

  Multipliziere richtig mit dem Faktor vor der Klammer aus!

  Vergiss dabei nicht, jeden Wert innerhalb der Klammer mit dem Faktor zu multiplizieren.

  Z. B.: $4(2x-8) = 8x-32$

  Lösung

  Erklärungen:

  In der 2. Zeile wird der Ausdruck $(4x-2)^2$ aufgelöst:

  • $(4x-2)^2 = (4x-2)(4x-2) = 16x^2 -8x -8x +4 = \color{#669900}{16}x^2- \color{#669900}{16}x + 4$

  In der 3. Zeile werden die Terme $4(x-2)$ und $\frac{1}{4}(16x^2-16x + 4)$ und $(2x-4)(2x+4)$ vereinfacht, das ergibt:

  • $4(x-2) = \color{#669900}{4x- 8}$
  • $\frac{1}{4}(16x^2-16x + 4) = \color{#669900}{4x^2 - 4x + 1}$
  • $(2x-4)(2x+4) = \color{#669900}{(4x^2- 16)}$

  In der 4. Zeile wird die letzte innere Klammer aufgelöst und alle gleichartigen Terme werden zusammengefasst:

  • $(4x-8+4x^2-4x+1-(4x^2-16))^2=(4x-8+4x^2-4x+1-4x^2+16)^2=(9)^2$

  Zuletzt wird der berechnete Wert quadriert: $9^2=9\cdot 9= 81$

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  $2^3 = 2 \cdot 2\cdot 2 = 8$

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  • $2x^2 = 2 \cdot x \cdot x $

  • $2^2 x = 2 \cdot 2 \cdot x = 4 x $

  • $(2x)^2 = 2x \cdot 2x = 4 x^2 $

  Lösung

  Man kommt durch richtiges Auflösen der verschachtelten Terme zum richtigen Ergebnis.

  Vorgehensweise mit Zwischenschritten:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{lll} \\ ((x+3)x-(x+1)(x+2))^2 &=& (x^2+3x-(x^2+x+2x+2))^2 \\ &=& (x^2+3x-x^2-3x-2)^2 \\ &=& (-2)^2 \\ &=& 4\\ \\ \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{lll} \\ ((x+1)^2-(x-1)^2)^2 &=& (x^2+2x+1-(x^2-2x+1))^2 \\ &=& (x^2+2x+1-x^2+2x-1)^2 \\ &=& (4x)^2\\ &=& 16x^2 \\ \\ \end{array}$

  Beispiel 3

  $\begin{array}{lll} \\ (x^2-(x-2)(x+2))^2 &=& (x^2-(x^2-4))^2 \\ &=& (x^2-x^2+4)^2 \\ &=& 4^2 \\ &=& 16 \\ \\ \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{lll} \\ 4(x+1)^2-(2x+2)^2 &=& 4(x^2+2x+1)-(4x^2+8x+4) \\ &=& 4x^2+8x+4-4x^2-8x-4 \\ &=& 0 \end{array}$

• Benenne das Vorgehen beim Auflösen von mehreren Klammern.

  Tipps

  Potenzen ausmultiplizieren:

  $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $

  Ausmultiplizieren eines Faktors vor der Klammer.

  Um die 3. binomische Formel zu verstehen, hilft es, sich folgenden Zwischenschritt klar zu machen:

  Lösung

  Variante 1

  Auflösen der Klammern von innen nach außen ergibt:

  $\begin{array}{lll} (x^2-(x-1)(x+1))^2 &=& (x^2-(x^2-1))^2 \\ &=& (x^2-x^2+1)^2 \\ &=& 1^2 \\ &=& 1 \\ \end{array}$

  Variante 2

  Auflösen der Klammern von außen nach innen ergibt:

  $\begin{array}{lll} (x^2-(x-1)(x+1))^2 &=& (x^2-(x-1)(x+1))\cdot (x^2-(x-1)(x+1)) \\ &=& x^4-2x^2(x-1)(x+1)+((x-1)(x+1))^2 \\ &=& x^4-2x^2(x^2-1)+(x^2-1)^2 \\ &=& x^4-2x^4+2x^2+(x^4-2x^2+1) \\ &=& x^4-2x^4+2x^2+x^4-2x^2+1 \\ &=& 1 \\ \end{array}$

  Wir erkennen in der ersten Variante, dass im ersten Schritt die innerste Klammer aufgelöst wird. Daher wird hier von innen nach außen gerechnet. Anders ist es bei der zweiten Variante. Hier wird zunächst der Exponent $2$ der äußersten Klammer betrachtet.

  Beim Vergleichen beider Varianten fällt auf, dass der Rechenaufwand unterschiedlich ist. Die zweite Rechnung ist sehr viel länger und komplizierter als die erste. Die 1. Variante ist die deutlich bessere Wahl, da zusätzlicher Rechenaufwand vermieden wird. Bei Potenzen und sehr verschachtelten Klammerausdrücken ist es ungünstig, die Klammern von außen nach innen aufzulösen.

  In der zweiten Rechnung muss von der 2. zur 3. Zeile die übrige Klammer von innen nach außen aufgelöst werden, da die Rechnung sonst kein Ende finden würde, da immer neue quadratische Terme dazukommen würden.

• Prüfe die Gleichungen auf Korrektheit.

  Tipps

  Um zu prüfen, ob eine Gleichung korrekt ist, müssen die Terme auf beiden Seiten gleichwertig sein. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  Die Gleichung $(y + 1)(y - 1) + 2 = y^2 + 2$ ist falsch, denn die linke Seite ergibt vereinfacht:

  • $(y + 1)(y - 1) + 2 = y^2 - 1 + 2 = y^2+1$

  Die rechte Seite hingegen ist $ y^2 + 2$.

  Die Gleichung ist nicht korrekt, da beide Seiten nicht übereinstimmen.

  Lösung

  Gleichung 1

  • $(x^2 - (x + 1)(x - 1))^2 = (y^2 - (y + 1)(y - 1))^2$

  Die Gleichung ist korrekt. Um die Gleichung zu prüfen, vereinfacht man die Terme auf beiden Seiten:

  • linke Seite: $~(x^2 - (x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - ( x^2 - 1 ))^2 = (x^2 - x^2 + 1)^2 = (1)^2 = 1$

  • rechte Seite: $~(y^2 - (y + 1)(y - 1))^2 = y^2 - (y^2 - 1))^2 = y^2 - y^2 + 1)^2= (1)^2 = 1$

  Da die Variablen sich auf beiden Seiten aufheben, erhält man auf beiden Seiten den Wert $1$.

  Gleichung 2

  • $(y^2 - (y + 2)(y - 2))^2 = 16$

  Diese Gleichung ist ebenfalls korrekt. Die linke Seite kann wie folgt vereinfacht werden:

  • $(y^2 - (y + 2)(y - 2))^2 = (y^2 - (y^2-4))^2 = (y^2-y^2+4)^2 = (4)^2 = 16$

  Das entspricht der rechten Seite.

  Gleichung 3

  • $(y^2 - (y + 2)(x - 2))^2 = 16$

  Diese Gleichung ist falsch. Die linke Seite lässt sich wie folgt vereinfachen:

  • $(y^2 - (y + 2)(x - 2))^2 = (y^2 - (xy - 2y + 2x - 4))^2 = (y^2 - xy + 2y - 2x + 4)^2 = (y^2 - xy + 2y - 2x + 4)^2$

  Hier könnte man nun die letzte Klammer auflösen, aber man sieht bereits, dass dieser Term nicht gleich $16$ sein kann.

  Gleichung 4

  • $(y^2 - (y + 3)(y - 3))^2 = -81$

  Auch diese Gleichung ist falsch. Die linke Seite liefert:

  • $(y^2 - (y + 3)(y - 3))^2=(y^2 - (y^2-9))^2=(y^2 - y^2 + 9)^2=(9)^2=81$

  Es gilt $81\neq -81$ und damit ist die Gleichung falsch.

  Gleichung 5

  • $((2y + 1)-(2y - 1))^2 = 0 $

  Auch diese Gleichung ist falsch. Es gilt:

  • $((2y + 1)-(2y - 1))^2 = (2y + 1 - 2y + 1)^2 = (1 + 1)^2 = (2)^2 = 4 \neq 0$