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Verschachtelte Klammern (mit Variablen)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Verschachtelte Klammern (mit Variablen)
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Verschachtelte Klammern (mit Variablen)

Wenn wir Terme (ohne Variablen) mit verschachtelten Klammern ausrechnen, beginnen wir sinnvollerweise mit der innersten Klammer und rechnen dann "nach außen" weiter. Haben wir aber Terme mit Variablen, rechnen wir sie nicht aus (was ja auch nicht geht, da sie Variablen enthalten), sondern formen sie um - meist um sie zu vereinfachen. Dabei kann es egal sein, ob wir innen oder außen beginnen, wenn wir die Regeln "Minus-mal-Minus-ist-Plus" und "Punkt-vor-Strich" beachten. Wenn wir aber die Umformungen mit der innersten Klammer beginnen, kann das auf jeden Fall nicht falsch sein. Im Video siehst du eine Termumformung, bei der die Reihenfolge der Auflösung der Klammern nichts am Rechenaufwand ändert und ein anderes Beispiel, bei dem sehr wohl der Fall ist.

Transkript Verschachtelte Klammern (mit Variablen)

Hi. Wenn wir einen Term mit verschachtelten Klammern vor uns haben, können wir uns daran erinnern, was wir früher über diese Klammern gelernt haben. Wir haben mit der innersten Klammer begonnen und nach außen weiter gerechnet. Das war, als die Termine noch keine Variablen hatten. Das ist jetzt aber leider anders. Wenn wir einen Term ohne Variablen haben, wollen wir meist diesen Wert bestimmen. Und dazu rechnen wir von innen nach außen. Wir fangen mit der innersten Klammer an und rechnen nach außen weiter. Hier rechnen wir also 20 minus 19, das ist eins. Dann haben wir hier minus eins stehen. Eins minus eins ist null. Und sechs mal null ist null. Wenn wir einen Term MIT Variablen haben, können wir das Ergebnis nicht ausrechnen. Weil wir ja bisher nicht wissen, was für x eingesetzt werden soll. Wir können aber den Term vereinfachen. Und dazu kann es egal sein, ob wir mit der innersten Klammer anfangen oder mit der äußersten Klammer. Oder auch irgendwo in der Mitte. Fangen wir mal mit der innersten Klammer an und gucken, was passiert. Wir haben ein Minuszeichen vor der Klammer. Das bedeutet, die Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Wenn hier einfach nur drei x steht bedeutet das, dass es plus drei x ist. Dieses Pluszeichen ändert sich also zu minus, dieses minus ändert sich zu plus. Und die innerste Klammer fällt weg im ersten Schritt. Der Rest wird abgeschrieben. Also haben wir eins minus Klammer auf drei x minus Klammer auf fünf minus drei x plus sechs Klammer zu, Klammer zu. Wir können mit dieser inneren Klammer nun weiter rechnen. Wir haben ein Minuszeichen vor der Klammer. Das bedeutet: Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Hier steht eine fünf, das heißt also: Plus fünf. Das Pluszeichen ändert sich zu minus, das Minus ändert sich zu Plus. Das Plus ändert sich zu Minus. Den Rest schreiben wir ab, also haben wir dann eins minus Klammer auf drei x. Dann minus fünf plus drei x minus sechs Klammer zu. Und jetzt steht vor der letzten verbliebenen Klammer auch wieder ein Minuszeichen. Das bedeutet: Die Vorzeichen ändern sich, also haben wir eins minus drei x plus fünf minus drei x plus sechs. Und hier geht jetzt keine Klammer mehr zu. Dann können wir hier was ausrechnen. Eins plus fünf ist sechs. Plus sechs ist zwölf. Und minus drei x minus drei x sind zusammen minus sechs x. Und damit haben wir den Term umgeformt. Und zwar mit der äußersten Klammer, mit der hier. Wir haben wieder eins minus Klammer auf drei x minus Klammer auf fünf minus Klammer auf drei x minus sechs Klammer zu, Klammer zu, Klammer zu. Und vor der äußersten Klammer steht ein Minuszeichen, das heißt: Die Vorzeichen der Summanden in der Klammer ändern sich. Wir haben hier drei x stehen. Wenn da nichts weiter davor steht, ist immer das Plus gemeint. Dieses plus ändert sich zu minus, also haben wir minus drei x. Wir haben einen weiteren Summanden, das ist diese Klammer hier. Da steht ein Minuszeichen davor und minus mal minus ist plus. Und deshalb haben wir plus diese Klammer. Was in der Klammer ist können wir einfach abschreiben. Und da gehen noch zwei Klammern zu am Ende. Dann machen wir mit der nächst äußersten Klammer weiter, nämlich mit der hier. Ein Pluszeichen steht davor, das heißt: Wir können die Klammer einfach weglassen, wenn wir hier einfach Summanden in der Klammer haben. Der ganze Rest, den wir nicht ändern, schreiben wir einfach ab. Also haben wir dann eins minus drei x plus fünf minus die letzte Klammer. Was in der Klammer ist, schreiben wir einfach ab, weil wir das nicht ändern. Hier steht ein Minuszeichen vor der Klammer. Die Vorzeichen der Summanden in der Klammer ändern sich. Also haben wir eins minus drei x plus fünf minus drei x plus sechs. Und jetzt können wir noch was zusammenfassen beziehungsweise ausrechnen. Eins plus fünf ist sechs plus sechs ist zwölf. Minus drei x minus drei x sind zusammen minus sechs x. Na ja, und wenn wir das jetzt vergleichen können wir wohl sagen, dass der Aufwand ungefähr gleich ist. Es kann aber auch extrem umständlich sein, nicht mit der innersten oder den innersten Klammern anzufangen. Wir haben hier Klammer auf x Quadrat minus Klammer auf minus Klammer auf x minus eins Klammer zu mal Klammer auf x plus ein Klammer zu, Klammer zu zum Quadrat. Fangen wir zunächst mal mit den innersten Klammern an. Und schauen dann, wie das wäre wenn wir nicht mit den innersten Klammern anfangen würden. Hier darf man ruhig erkennen, dass wir hier die dritte binomische Formel haben. Beziehungsweise eine Seite der dritten binomischen Formel. Wenn wir das nicht sehen, können wir auch einfach rechnen x mal x, x mal eins, minus eins mal x und minus eins mal minus eins. Das Ergebnis ist auf jeden Fall x Quadrat minus eins, ja. Minus eins mal eins ist ja minus eins. Hier steht ein Minuszeichen, und zwar vor diesem gesamten Produkt. Aus dem Produkt haben wir jetzt eine Summe gemacht. Und deshalb brauchen wir eine Klammer, damit das Minuszeichen sich auf jeden Summanden dieser Summe bezieht. Und den Rest können wir einfach abschreiben. Und dann ist die erste Umformung erledigt. Jetzt haben wir vor dieser Klammer ein Minuszeichen, das heißt: Die Vorzeichen der Summanden in der Klammer ändern sich. Also haben wir minus x Quadrat plus eins. Und das Ganze jetzt hier zum Quadrat. X Quadrat minus x Quadrat ist null. Das heißt: Wir haben in der Klammer noch eins stehen. Die eins wird quadriert. Eins zum Quadrat ist eins. Na ja, jetzt haben wir umgeformt. Einfacher geht es nicht. Und wir sind fertig. Wir haben hier den gleichen Term nochmal. Und wir können jetzt mal mit der äußeren Klammer anfangen. Wir haben hier ein Quadrat dran stehen und wir können hier erkennen, dass es sich um die zweite binomische Formel handelt. X Quadrat ist der erste Summand. Dann haben wir ein Minuszeichen und der zweite Summand ist das Produkt aus diesen beiden Klammern. Wenn wir also die zweite binomische Formel anwenden, erhalten wir x hoch vier minus zwei mal zwei x Quadrat mal Klammer auf x minus eins Klammer zu mal Klammer auf x plus eins Klammer zu plus Klammer auf, Klammer auf x minus eins Klammer zu mal x plus eins Klammer zu, Klammer zu zum Quadrat. Und ich glaube, auch ohne, dass wir die Termumformung jetzt weiterführen können wir erkennen, dass diese Umformung hier nicht einfacher ist als diese. Es wäre also bei diesem Term schlau, das heißt wenn man Arbeit vermeiden möchte, mit den innersten Klammern anzufangen und dann nach außen weiter zu rechnen. Das ist nicht bei allen Termen mit Klammern so. Es kann aber Vorteile bringen, wenn man eben Aufwand vermeiden möchte, sich vorher zu überlegen: Okay, mit welcher Taktik habe ich denn vielleicht den wenigsten Rechenaufwand? So, dann haben wir gesehen, wie wir verschachtelten Klammern umgehen können, die in Termen mit Variablen auftauchen. Das ist vielleicht nicht die tiefliegendste mathematische Erkenntnis, die wir gewonnen haben. Aber, wie so oft im Leben: Wenn man es kann, macht es Spaß. Ciao.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. gute erklärung

    Von Lauryn, vor 4 Monaten
  2. Sehr gut

    Von ꧁✞☬ ᴹᵃˣᶦ✞☬꧂, vor 6 Monaten
  3. Super erklärt

    Von Isabell , vor 12 Monaten
  4. ich bin zwar in der 9te klasse aber hat mir zu geholfen

    Von Arienp 1, vor mehr als einem Jahr
  5. Kompliziert aber hat mir gut geholfen

    Von Angela Zuraszek, vor mehr als einem Jahr

Verschachtelte Klammern (mit Variablen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verschachtelte Klammern (mit Variablen) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Auflösen von Klammern.

    Tipps

    Steht ein Faktor vor der Klammer, lässt sich die Klammer auflösen. Dies geschieht durch Multiplikation des Faktors vor der Klammer mit jedem Wert innerhalb der Klammer. Sieh dir hierzu das folgende Beispiel an:

    • $ -2 \cdot (x − 2) = -2x + 4 $

    Achte beim Auflösen einer Klammer immer besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer.

    Binomische Formeln mit Anwendungsbeispiel:

    1. binomische Formel: $~(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$
    2. binomische Formel: $~(x\ −\ 2)^2 = (x\ −\ 2)(x\ −\ 2) = x^2 − 4x + 4$
    3. binomische Formel: $~(x + 2)(x − 2) = x^2 − 4$
    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Ein Pluszeichen vor der Klammer lässt die Vorzeichen beim Auflösen umkehren.“

    • Bei einem Pluszeichen vor der Klammer ändern sich die Vorzeichen nicht und bei einem Minuszeichen vor der Klammer kehren sich die Vorzeichen beim Auflösen um.
    „Steht hinter einem Term in Klammern der Exponent $2$, z. B. bei $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$, entspricht dies beim Auflösen der Klammer genau einmal dem Inhalt der Klammer.“

    • Steht hinter einem Term in Klammern die Potenz $2$, zum Beispiel bei $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$, wird der Inhalt der Klammer zweimal hingeschrieben. Das bedeutet, dass der Term $(x^2 - (x - 1)(x + 1))^2$ sich auch wie folgt schreiben lässt:
    $~~(x^2 - (x - 1)(x + 1))(x^2 - (x - 1)(x + 1))$

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    „Ein Minuszeichen vor der Klammer lässt die Vorzeichen beim Auflösen umkehren.“

    • Bei einem Minuszeichen vor der Klammer wird jeder Wert in der Klammer mit $(-1)$ multipliziert. Deshalb ändern sich die Vorzeichen der einzelnen Werte.
    „Das Auflösen der Klammern von „innen nach außen“ und von „außen nach innen“ führt zu demselben Ergebnis.“

    „Das Auflösen der Klammern von „innen nach außen“ ist einfacher und führt bei großen und komplizierten Termen schneller zum Ergebnis als das Auflösen von „außen nach innen“.“

  • Vereinfache den Term $1-(3x-(5-(3x-6))) $, indem du Klammerausdrücke von innen nach außen auflöst.

    Tipps

    Bei Klammerausdrücken mit einem negativen Vorfaktor ändern sich beim Ausmultiplizieren die Vorzeichen der Koeffizienten innerhalb der Klammer.

    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    • $-(2-3x)= -2+3x$
    Lösung

    Wir möchten den Term $1-(3x-(5-(3x-6)))$ vereinfachen, indem wir die Klammerausdrücke von innen nach außen auflösen.

    Da die Klammern von innen nach außen aufgelöst werden, beginnt man im ersten Rechenschritt mit dem Klammerausdruck $-(3x-6)$. Dieser wird aufgelöst, indem man die Koeffizienten jeweils mit dem Faktor $-1$ multipliziert. Das Ergebnis ist $(5 -3x + 6)$.

    Im zweiten Schritt wird der Klammerausdruck $-(5 -3x + 6)$ aufgelöst. Die Multiplikation der Koeffizienten innerhalb der Klammer mit dem Faktor $-1$ ergibt $(-5+3x-6)$.

    Im dritten Schritt wird der Klammerausdruck $-(3x - 5 + 3x - 6)$ aufgelöst, indem man die Werte und Variablen mit dem Faktor $-1$ multipliziert. Das Ergebnis ist $-3x + 5 - 3x + 6$.

    Im letzten Schritt werden die einzelnen Werte und Variablen zusammengefasst und man erhält $12-6x$ als Endergebnis.

  • Erschließe die Schritte der Rechnung.

    Tipps

    Achte auf binomische Formeln!

    Zur Erinnerung ein Anwendungsbeispiel:
    $1.$ binomische Formel: $ (4x+1)^2= 16x^2+8x+1 $
    $2.$ binomische Formel: $(4x-1)^2= 16x^2-8x+1 $
    $3.$ binomische Formel: $(4x+1)(4x-1) = 16x^2-1 $

    Fasse gleichartige Termglieder zusammen.

    Multipliziere richtig mit dem Faktor vor der Klammer aus!

    Vergiss dabei nicht, jeden Wert innerhalb der Klammer mit dem Faktor zu multiplizieren.

    Z. B.: $4(2x-8) = 8x-32$

    Lösung

    Erklärungen:

    In der 2. Zeile wird der Ausdruck $(4x-2)^2$ aufgelöst:

    • $(4x-2)^2 = (4x-2)(4x-2) = 16x^2 -8x -8x +4 = \color{#669900}{16}x^2- \color{#669900}{16}x + 4$
    In der 3. Zeile werden die Terme $4(x-2)$ und $\frac{1}{4}(16x^2-16x + 4)$ und $(2x-4)(2x+4)$ vereinfacht, das ergibt:

    • $4(x-2) = \color{#669900}{4x- 8}$
    • $\frac{1}{4}(16x^2-16x + 4) = \color{#669900}{4x^2 - 4x + 1}$
    • $(2x-4)(2x+4) = \color{#669900}{(4x^2- 16)}$
    In der 4. Zeile wird die letzte innere Klammer aufgelöst und alle gleichartigen Terme werden zusammengefasst:

    • $(4x-8+4x^2-4x+1-(4x^2-16))^2=(4x-8+4x^2-4x+1-4x^2+16)^2=(9)^2$
    Zuletzt wird der berechnete Wert quadriert: $9^2=9\cdot 9= 81$

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $2^3 = 2 \cdot 2\cdot 2 = 8$

    Sieh dir folgende Beispiele an:

    • $2x^2 = 2 \cdot x \cdot x $
    • $2^2 x = 2 \cdot 2 \cdot x = 4 x $
    • $(2x)^2 = 2x \cdot 2x = 4 x^2 $
    Lösung

    Man kommt durch richtiges Auflösen der verschachtelten Terme zum richtigen Ergebnis.

    Vorgehensweise mit Zwischenschritten:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{lll} \\ ((x+3)x-(x+1)(x+2))^2 &=& (x^2+3x-(x^2+x+2x+2))^2 \\ &=& (x^2+3x-x^2-3x-2)^2 \\ &=& (-2)^2 \\ &=& 4\\ \\ \end{array}$

    Beispiel 2

    $\begin{array}{lll} \\ ((x+1)^2-(x-1)^2)^2 &=& (x^2+2x+1-(x^2-2x+1))^2 \\ &=& (x^2+2x+1-x^2+2x-1)^2 \\ &=& (4x)^2\\ &=& 16x^2 \\ \\ \end{array}$

    Beispiel 3

    $\begin{array}{lll} \\ (x^2-(x-2)(x+2))^2 &=& (x^2-(x^2-4))^2 \\ &=& (x^2-x^2+4)^2 \\ &=& 4^2 \\ &=& 16 \\ \\ \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{lll} \\ 4(x+1)^2-(2x+2)^2 &=& 4(x^2+2x+1)-(4x^2+8x+4) \\ &=& 4x^2+8x+4-4x^2-8x-4 \\ &=& 0 \end{array}$

  • Benenne das Vorgehen beim Auflösen von mehreren Klammern.

    Tipps

    Potenzen ausmultiplizieren:

    $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $

    Ausmultiplizieren eines Faktors vor der Klammer.

    Um die 3. binomische Formel zu verstehen, hilft es, sich folgenden Zwischenschritt klar zu machen:

    Lösung

    Variante 1

    Auflösen der Klammern von innen nach außen ergibt:

    $\begin{array}{lll} (x^2-(x-1)(x+1))^2 &=& (x^2-(x^2-1))^2 \\ &=& (x^2-x^2+1)^2 \\ &=& 1^2 \\ &=& 1 \\ \end{array}$

    Variante 2

    Auflösen der Klammern von außen nach innen ergibt:

    $\begin{array}{lll} (x^2-(x-1)(x+1))^2 &=& (x^2-(x-1)(x+1))\cdot (x^2-(x-1)(x+1)) \\ &=& x^4-2x^2(x-1)(x+1)+((x-1)(x+1))^2 \\ &=& x^4-2x^2(x^2-1)+(x^2-1)^2 \\ &=& x^4-2x^4+2x^2+(x^4-2x^2+1) \\ &=& x^4-2x^4+2x^2+x^4-2x^2+1 \\ &=& 1 \\ \end{array}$

    Wir erkennen in der ersten Variante, dass im ersten Schritt die innerste Klammer aufgelöst wird. Daher wird hier von innen nach außen gerechnet. Anders ist es bei der zweiten Variante. Hier wird zunächst der Exponent $2$ der äußersten Klammer betrachtet.

    Beim Vergleichen beider Varianten fällt auf, dass der Rechenaufwand unterschiedlich ist. Die zweite Rechnung ist sehr viel länger und komplizierter als die erste. Die 1. Variante ist die deutlich bessere Wahl, da zusätzlicher Rechenaufwand vermieden wird. Bei Potenzen und sehr verschachtelten Klammerausdrücken ist es ungünstig, die Klammern von außen nach innen aufzulösen.

    In der zweiten Rechnung muss von der 2. zur 3. Zeile die übrige Klammer von innen nach außen aufgelöst werden, da die Rechnung sonst kein Ende finden würde, da immer neue quadratische Terme dazukommen würden.

  • Prüfe die Gleichungen auf Korrektheit.

    Tipps

    Um zu prüfen, ob eine Gleichung korrekt ist, müssen die Terme auf beiden Seiten gleichwertig sein. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    Die Gleichung $(y + 1)(y - 1) + 2 = y^2 + 2$ ist falsch, denn die linke Seite ergibt vereinfacht:

    • $(y + 1)(y - 1) + 2 = y^2 - 1 + 2 = y^2+1$
    Die rechte Seite hingegen ist $ y^2 + 2$.

    Die Gleichung ist nicht korrekt, da beide Seiten nicht übereinstimmen.

    Lösung

    Gleichung 1

    • $(x^2 - (x + 1)(x - 1))^2 = (y^2 - (y + 1)(y - 1))^2$
    Die Gleichung ist korrekt. Um die Gleichung zu prüfen, vereinfacht man die Terme auf beiden Seiten:

    • linke Seite: $~(x^2 - (x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - ( x^2 - 1 ))^2 = (x^2 - x^2 + 1)^2 = (1)^2 = 1$
    • rechte Seite: $~(y^2 - (y + 1)(y - 1))^2 = y^2 - (y^2 - 1))^2 = y^2 - y^2 + 1)^2= (1)^2 = 1$
    Da die Variablen sich auf beiden Seiten aufheben, erhält man auf beiden Seiten den Wert $1$.

    Gleichung 2

    • $(y^2 - (y + 2)(y - 2))^2 = 16$
    Diese Gleichung ist ebenfalls korrekt. Die linke Seite kann wie folgt vereinfacht werden:

    • $(y^2 - (y + 2)(y - 2))^2 = (y^2 - (y^2-4))^2 = (y^2-y^2+4)^2 = (4)^2 = 16$
    Das entspricht der rechten Seite.

    Gleichung 3

    • $(y^2 - (y + 2)(x - 2))^2 = 16$
    Diese Gleichung ist falsch. Die linke Seite lässt sich wie folgt vereinfachen:

    • $(y^2 - (y + 2)(x - 2))^2 = (y^2 - (xy - 2y + 2x - 4))^2 = (y^2 - xy + 2y - 2x + 4)^2 = (y^2 - xy + 2y - 2x + 4)^2$
    Hier könnte man nun die letzte Klammer auflösen, aber man sieht bereits, dass dieser Term nicht gleich $16$ sein kann.

    Gleichung 4

    • $(y^2 - (y + 3)(y - 3))^2 = -81$
    Auch diese Gleichung ist falsch. Die linke Seite liefert:

    • $(y^2 - (y + 3)(y - 3))^2=(y^2 - (y^2-9))^2=(y^2 - y^2 + 9)^2=(9)^2=81$
    Es gilt $81\neq -81$ und damit ist die Gleichung falsch.

    Gleichung 5

    • $((2y + 1)-(2y - 1))^2 = 0 $
    Auch diese Gleichung ist falsch. Es gilt:

    • $((2y + 1)-(2y - 1))^2 = (2y + 1 - 2y + 1)^2 = (1 + 1)^2 = (2)^2 = 4 \neq 0$
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