Verkettete Funktionen – Definition und Beispiele

Verkettete Funktionen – Definition und Beispiele Übung

• Beschreibe, was eine verkettete Funktion ist.

  Tipps

  Es gilt: $~(u\circ v)(x)=u(v(x))$

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  Verkettet man die Funktionen

  • $g(x)=\sqrt{x}$ und
  • $h(x)=2x~$,

  erhält man

  • $f(x)=g(h(x))=\sqrt{2x}~$.

  Lösung

  Werden zwei Funktionen miteinander verkettet, so wird der Funktionsterm der einen Funktion an Stelle der Variablen des Funktionsterms der anderen Funktion eingesetzt:

  • $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

  Beim linken Term sagen wir: $f$ nach $g$, weil wir zunächst $g$ auf $x$ anwenden und dann $f$.

  Auf der rechten Seite sprechen wir es als: $f$ von $g$ von $x$ aus.

  In diesem Fall ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Denn der Funktionsterm von $g$ wird in die Funktion $f$ eingesetzt. Für $g(x)=3x+4$ und $f(x)=x^2$ ergibt sich dann:

  • $h(x)=(f\circ g)(x)=(3x+4)^2$

  Wir setzen also den Funktionsterm $3x+4$ an der Stelle $x$ des anderen Funktionsterms, also $x^2$ ein.

• Gib die jeweiligen verketteten Funktionen an.

  Tipps

  Es gilt: $~(s\circ t)(x)=s(t(x))$

  Du setzt also den Funktionsterm der Funktion $t$ an Stelle der Variablen des Funktionsterms der Funktion $s$ ein.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $a(x)=x+1$
  • $b(x)=\cos(x)$

  • $(a\circ b)(x)=\cos(x)+1$
  • $(b\circ a)(x)=\cos(x+1)$

  Lösung

  Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

  • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
  • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$

  In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

  Wir erhalten folgende Verkettungen:

  • $(f\circ k)(x)=f(k(x))=f(3x+4)=(3x+4)^2$

  • $(g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2^2+x^2)=\sqrt{2^2+x^2}$

  • $(u\circ v)(x)=u(v(x))=u(2x^2)=3^{2x^2}$

  • $(s\circ t)(x)=s(t(x))=s(x^4)=\sin(x^4)$

• Erschließe die Funktionen, die miteinander verkettet wurden.

  Tipps

  Verkettest du die Funktion $h(x)=x-1$ mit $k(x)=\frac 1x$, so erhältst du:

  • $(h\circ k)(x)=\frac 1x-1$

  Lösung

  Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

  • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
  • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$

  In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt. In der zweiten Variante ist es genau umgekehrt.

  Wir erhalten hier die folgenden Verkettungen $(t\circ s)(x)$:

  Funktion 1: $~f(x)=\sqrt{x^2-1}$

  Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\sqrt{x}$ mit $s(x)=x^2-1$ verketten.

  Funktion 2: $~g(x)=\dfrac{1}{x-1}$

  Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\frac 1x$ mit $s(x)=x-1$ verketten.

  Funktion 3: $~h(x)=(x+1)^2$

  Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=x^2$ mit $s(x)=x+1$ verketten.

• Ermittle die verketteten Funktionen.

  Tipps

  Die Funktion $f(g(x))=\sqrt{\sin(x)}$ hat die innere Funktion $g(x)=\sin(x)$ und die äußere Funktion $f(x)=\sqrt{x}$.

  Beim Sinus gilt: $(\sin(x))^2=\sin^2(x)$. Beides sind äquivalente Schreibweisen.

  Lösung

  Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

  • $f(g(x))$
  • $g(f(x))$

  In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

  Wir erhalten hier folgende Verkettungen:

  • Die Funktion $g(f(x))=\sin^2(x+1)$ hat die innere Funktion $f(x)=\sin(x+1)$ und die äußere Funktion $g(x)=x^2$.

  • Die Funktion $k(p(x))=e^x-1$ hat die innere Funktion $p(x)=e^x$ und die äußere Funktion $k(x)=x-1$.

  • Die Funktion $t(s(x))=\sin(x+1)$ hat die innere Funktion $s(x)=x+1$ und die äußere Funktion $t(x)=\sin(x)$.

• Gib die allgemeine mathematische Schreibweise für die Verkettung von Funktionen an.

  Tipps

  $(f\circ g)(x)$ bedeutet, dass der Funktionsterm der Funktion $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt wird.

  Wir sagen für $(s\circ t)(x)$ auch: $s$ nach $t$.

  Lösung

  Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

  • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
  • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$

  In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

  In der zweiten Variante ist es genau umgekehrt. Für die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$ erhalten wir zum Beispiel die folgenden Verkettungen:

  • $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2$
  • $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2+1$

• Bestimme die Funktionen $t$, $u$, $v$ und $w$ so, dass $f(x) =t(u(v(w(x))))$ gilt.

  Tipps

  Bei der Verkettung $t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.

  Überlege, welchen Term du zuerst berechnen würdest, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.

  Lösung

  Bei der Verkettung $f(x)=t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.

  Wir überlegen, welchen Term wir zuerst berechnen würden, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.

  Überlege dir, wie du Schritt für Schritt mit dem $x$ vorgehst:

  1. Zunächst addierst du $1$. So erhalten wir: $f(x) =t(u(v(w(x))))=t(u(v(x+1)))$
  2. Dann wendest du darauf den Sinus an: $f(x) =t(u(v(x+1)))=t(u(\sin(x+1)))$
  3. Nun ziehst du die Wurzel: $f(x) =t(u(\sin(x+1)))= t(\sqrt{\sin(x+1)})$
  4. Im letzten Schritt teilst du $1$ durch den Term: $f(x) =t(\sqrt{\sin(x+1)})=\dfrac{1}{\sqrt{\sin(x+1)}}$

  Damit folgt:

  • $w(x)=x+1$
  • $v(x)=\sin(x)$
  • $u(x)=\sqrt{x}$
  • $t(x)=\frac 1x$