Verkettete Funktionen – Definition und Beispiele

Grundlagen zum Thema Verkettete Funktionen – Definition und Beispiele
In diesem Video schauen wir uns an, was verkettete Funktionen sind. Ausgangspunkt sind die beiden Funktionen f(x) = x² und g(x) = 3x + 4. Wir werden diese beiden Funktionen verketten. Hierdurch entsteht die Funktion (f ○ g) (x) = f(g(x)) = (3x + 4)². Bei der Verkettung zweier Funktionen wird also das Ergebnis der einen Funktion für das x in die andere Funktion eingesetzt. Nachdem wir das haben, schauen wir uns noch ein paar Beispiele dazu an.
Verkettete Funktionen – Definition und Beispiele Übung
-
Beschreibe, was eine verkettete Funktion ist.
TippsEs gilt: $~(u\circ v)(x)=u(v(x))$
Sieh dir folgendes Beispiel an:
Verkettet man die Funktionen
- $g(x)=\sqrt{x}$ und
- $h(x)=2x~$,
- $f(x)=g(h(x))=\sqrt{2x}~$.
LösungWerden zwei Funktionen miteinander verkettet, so wird der Funktionsterm der einen Funktion an Stelle der Variablen des Funktionsterms der anderen Funktion eingesetzt:
- $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
Auf der rechten Seite sprechen wir es als: $f$ von $g$ von $x$ aus.
In diesem Fall ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Denn der Funktionsterm von $g$ wird in die Funktion $f$ eingesetzt. Für $g(x)=3x+4$ und $f(x)=x^2$ ergibt sich dann:
- $h(x)=(f\circ g)(x)=(3x+4)^2$
-
Gib die jeweiligen verketteten Funktionen an.
TippsEs gilt: $~(s\circ t)(x)=s(t(x))$
Du setzt also den Funktionsterm der Funktion $t$ an Stelle der Variablen des Funktionsterms der Funktion $s$ ein.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $a(x)=x+1$
- $b(x)=\cos(x)$
- $(a\circ b)(x)=\cos(x)+1$
- $(b\circ a)(x)=\cos(x+1)$
LösungDie Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:
- $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
- $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
Wir erhalten folgende Verkettungen:
- $(f\circ k)(x)=f(k(x))=f(3x+4)=(3x+4)^2$
- $(g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2^2+x^2)=\sqrt{2^2+x^2}$
- $(u\circ v)(x)=u(v(x))=u(2x^2)=3^{2x^2}$
- $(s\circ t)(x)=s(t(x))=s(x^4)=\sin(x^4)$
-
Erschließe die Funktionen, die miteinander verkettet wurden.
TippsVerkettest du die Funktion $h(x)=x-1$ mit $k(x)=\frac 1x$, so erhältst du:
- $(h\circ k)(x)=\frac 1x-1$
LösungDie Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:
- $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
- $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
Wir erhalten hier die folgenden Verkettungen $(t\circ s)(x)$:
Funktion 1: $~f(x)=\sqrt{x^2-1}$
Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\sqrt{x}$ mit $s(x)=x^2-1$ verketten.
Funktion 2: $~g(x)=\dfrac{1}{x-1}$
Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\frac 1x$ mit $s(x)=x-1$ verketten.
Funktion 3: $~h(x)=(x+1)^2$
Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=x^2$ mit $s(x)=x+1$ verketten.
-
Ermittle die verketteten Funktionen.
TippsDie Funktion $f(g(x))=\sqrt{\sin(x)}$ hat die innere Funktion $g(x)=\sin(x)$ und die äußere Funktion $f(x)=\sqrt{x}$.
Beim Sinus gilt: $(\sin(x))^2=\sin^2(x)$. Beides sind äquivalente Schreibweisen.
LösungDie Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:
- $f(g(x))$
- $g(f(x))$
Wir erhalten hier folgende Verkettungen:
- Die Funktion $g(f(x))=\sin^2(x+1)$ hat die innere Funktion $f(x)=\sin(x+1)$ und die äußere Funktion $g(x)=x^2$.
- Die Funktion $k(p(x))=e^x-1$ hat die innere Funktion $p(x)=e^x$ und die äußere Funktion $k(x)=x-1$.
- Die Funktion $t(s(x))=\sin(x+1)$ hat die innere Funktion $s(x)=x+1$ und die äußere Funktion $t(x)=\sin(x)$.
-
Gib die allgemeine mathematische Schreibweise für die Verkettung von Funktionen an.
Tipps$(f\circ g)(x)$ bedeutet, dass der Funktionsterm der Funktion $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt wird.
Wir sagen für $(s\circ t)(x)$ auch: $s$ nach $t$.
LösungDie Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:
- $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
- $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
In der zweiten Variante ist es genau umgekehrt. Für die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$ erhalten wir zum Beispiel die folgenden Verkettungen:
- $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2$
- $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2+1$
-
Bestimme die Funktionen $t$, $u$, $v$ und $w$ so, dass $f(x) =t(u(v(w(x))))$ gilt.
TippsBei der Verkettung $t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.
Überlege, welchen Term du zuerst berechnen würdest, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.
LösungBei der Verkettung $f(x)=t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.
Wir überlegen, welchen Term wir zuerst berechnen würden, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.
Überlege dir, wie du Schritt für Schritt mit dem $x$ vorgehst:
- Zunächst addierst du $1$. So erhalten wir: $f(x) =t(u(v(w(x))))=t(u(v(x+1)))$
- Dann wendest du darauf den Sinus an: $f(x) =t(u(v(x+1)))=t(u(\sin(x+1)))$
- Nun ziehst du die Wurzel: $f(x) =t(u(\sin(x+1)))= t(\sqrt{\sin(x+1)})$
- Im letzten Schritt teilst du $1$ durch den Term: $f(x) =t(\sqrt{\sin(x+1)})=\dfrac{1}{\sqrt{\sin(x+1)}}$
- $w(x)=x+1$
- $v(x)=\sin(x)$
- $u(x)=\sqrt{x}$
- $t(x)=\frac 1x$

Verkettete Funktionen

Kettenregel – Einführung

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Kettenregel – Anschauliche Erklärung

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Kettenregel – Übung
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2 Kommentare
@Flowerbird:
Wenn bei der Übung f(g(x)) gesucht ist, ist wichtig, dass du die komplette Funktion g(x) überall einsetzt, wo in f(x) ein x ist: f(g(x))=3*(x-1)²-(x-1). Da musst du nun noch ausmultiplizieren und vereinfachen, um das gesuchte Ergebnis zu erhalten.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!
Lieber Herr Wabnik,
Das Video war sehr schön aufgebaut und verständlich erklärt. Man könnte Ihnen gut folgen. Die Übung fällt mir dennoch schwer und ich wollte sie darum bitten, mir eventuell den Rechenweg der Übung zu schicken!
Vielen lieben Dank