Quadrat- und Kubikzahlen
Eine Quadratzahl ist das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert. Dagegen entstehen Kubikzahlen, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert. Die Texte erklären die Definitionen, Eigenschaften und geben Beispiele. Interessiert? All das und noch mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Quadrat- und Kubikzahlen
Quadratzahlen und Kubikzahlen einfach erklärt
In diesem Text erfährst du alles, was du zu Quadrat- und Kubikzahlen wissen musst.
Was sind Quadratzahlen?
Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch das Quadrieren einer ganzen Zahl, sprich die Multiplikation der Zahl mit sich selbst, entsteht. Das wird an folgendem Beispiel deutlich:
$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$
Wenn wir $5$ quadrieren, also die $5$ mit sich selbst multiplizieren, ist das Ergebnis $25$. Die $25$ ist somit eine Quadratzahl.
Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl $n$ quadrieren – das heißt mit sich selbst multiplizieren.
$n \cdot n = n^{2}$
Eine solche Quadratzahl entspricht auch immer dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der natürlichen Zahl $n$ als Seitenlänge. Um den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $12$ zu bestimmen, müssen wir $12$ zum Quadrat berechnen.
$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal ein Schachbrett gesehen oder darauf gespielt. Es besteht aus $64$ kleinen Quadraten, da jedes Quadrat eine Seitenlänge von $8$ Feldern hat $(8 \cdot 8 = 64)$. Beim Schachspiel begegnest du also direkt einer Quadratzahl. So siehst du, dass Quadrat- und Kubikzahlen nicht nur in der Schule wichtig sind, sondern auch in deinen Hobbys und Spielen.
Die ersten zehn Quadratzahlen sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.
| Zahl $n$ | Quadratzahl $n^2$ |
|---|---|
| $1$ | $1$ |
| $2$ | $4$ |
| $3$ | $9$ |
| $4$ | $16$ |
| $5$ | $25$ |
| $6$ | $36$ |
| $7$ | $49$ |
| $8$ | $64$ |
| $9$ | $81$ |
| $10$ | $100$ |
Quadratzahlen – Eigenschaften
Quadratzahlen haben ein paar besondere Eigenschaften:
- Quadratzahlen von geraden Zahlen sind immer gerade.
- Quadratzahlen von ungeraden Zahlen sind immer ungerade.
- Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
Schauen wir uns den letzten Fakt genauer an. Rechnest du $1+3$ ergibt das $4$. Das ist eine Quadratzahl, denn $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$. Auch $1+3+5+7$ ergibt eine Quadratzahl. Das Ergebnis ist $16$, die Quadratzahl von $4$.
Wichtig ist, dass du immer mit der $1$ anfängst und bei der Addition keine ungeraden Zahlen auslässt.
Vielleicht hilft dir diese letzte Eigenschaft beim Lernen oder Erkennen von Quadratzahlen. Jetzt wissen wir, wie wir Quadratzahlen berechnen und können uns die Kubikzahlen genauer anschauen.
Was sind Kubikzahlen?
Schauen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge von drei Steinen an. Für eine Würfelseite ergibt sich ein Quadrat mit einer Seitenfläche von $3 \cdot 3$ Steinen. Der Würfel besteht insgesamt aus drei solcher Quadrate.
Um die Gesamtanzahl an Steinen zu bestimmen, müssen wir also ein weiteres Mal mit drei multiplizieren. Wir rechnen daher $3 \cdot 3 \cdot 3$. In anderen Worten: drei hoch drei. Das können wir schreiben als:
$3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$
Das ergibt $27$. Die $27$ ist somit eine Kubikzahl.
Kubikzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multiplizieren.
$n \cdot n \cdot n = n^3$
Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$. So können wir auch ganz leicht die Gesamtzahl an Steinen von einem großen Würfel mit einer Kantenlänge von $5$ kleinen Würfeln herausfinden.
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$
Der große Würfel besteht also aus $125$ kleinen Würfeln.
Wusstest du schon?
Die Zahl $64$ hat besondere Bedeutung, weil sie sowohl eine Quadrat- als auch eine Kubikzahl ist:
$8\cdot 8 = 64$ und $4\cdot 4 \cdot 4 = 64$
Das macht sie zu einem wahren Superstar in der Welt der Zahlen!
Ausblick – das lernst du nach Quadrat- und Kubikzahlen
Macht dich bereit für Potenzen und Potenzgesetze, um deine mathematischen Fertigkeiten zu erweitern. Du kannst auch die Null als Exponenten erforschen und so weiter dein Wissen vertiefen und ausbauen.
Zusammenfassung – Quadratzahlen und Kubikzahlen
Quadratzahlen
- Quadratzahlen ergeben sich, wenn man eine beliebige Zahl $n$ mit sich selbst multipliziert.
- $n^{2} = n \cdot n$
- Man spricht von „$n$ zum Quadrat“ oder „$n$ hoch zwei“.
- Eine Quadratzahl entspricht immer dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $n$.
Kubikzahlen
- Kubikzahlen ergeben sich, wenn man eine natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multipliziert.
- $n^{3} = n \cdot n \cdot n$
- Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$.
Häufig gestellte Fragen zu dem Thema Quadratzahlen und Kubikzahlen
Transkript Quadrat- und Kubikzahlen
So ein Zauberwürfel ist schon was Feines.
Den klassischen mit einer Kantenlänge von drei Steinen kann Mike mittlerweile mit links!
Jetzt sucht er eine neue Herausforderung und hat sich einen Würfel mit einer Kantenlänge von fünf Steinen geholt.
Gar nicht so einfach zu lösen.
Während Mike so rumprobiert, fragt er sich, wie viele Steine der Würfel überhaupt insgesamt hat.
Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir unser Wissen über die „Quadrat- und Kubikzahlen“.
Zunächst schauen wir uns eine Seite des Würfels an.
Pro Reihe sind das fünf Steine.
Und auch in jeder Spalte sind fünf.
Es handelt sich eindeutig um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von fünf Steinen.
Um die Anzahl der Steine in diesem Quadrat zu ermitteln, müssen wir die fünf zum Quadrat nehmen, sprich einmal mit sich selbst multiplizieren.
Das Ergebnis ist fünfundzwanzig.
Die Fünfundzwanzig ist somit eine Quadratzahl.
Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl
Quadrat- und Kubikzahlen Übung
-
Gib an, ob es sich um eine Quadratzahl, eine Kubikzahl oder keines von beiden handelt.
TippsEine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird.
Eine Kubikzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird.
Beispiel:
$8$ ist eine Kubikzahl, da $2^3=8$ gilt.
LösungQuadratzahlen
- $25$ ist eine Quadratzahl, da $5^2=5\cdot5=25$.
- $16$ ist eine Quadratzahl, da $4^2=4 \cdot 4=16$.
- $81$ ist eine Quadratzahl, da $9^2=9 \cdot 9=81$.
- $125$ ist eine Kubikzahl, da $5^3=5 \cdot 5 \cdot 5=125$.
- $27$ ist eine Kubikzahl, da $3^3=3 \cdot 3 \cdot 3=27$.
- $3$
- $5$
-
Gib an, ob die Aussagen richtig sind.
TippsSieh dir folgendes Beispiel an:
$5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$
Der Begriff „Kubikzahl“ kommt von dem lateinischen Wort „Kubus“, das Würfel bedeutet.
LösungWahre Aussagen:
- Ist eine Zahl gerade, so ist ihre Quadratzahl auch gerade.
- Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
- Wird eine ganze Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert, so ergibt sich eine Kubikzahl.
Falsche Aussagen:
- Die Quadratzahl $5^2$ entspricht dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $5$.
- Die Quadratzahl einer ungeraden Zahl ist gerade.
-
Entscheide jeweils, ob es sich um eine Quadratzahl handelt.
TippsEine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Beispielsweise ist $16$ eine Quadratzahl, da $4^2=16$ gilt.
LösungFolgende Zahlen sind Quadratzahlen:
- $1=1^2$
- $81=9^2$
- $121=11^2$
- $289=17^2$
- $441 = 21^2$
- $5$ ist keine Quadratzahl, da $2^2=4$ und $3^2=9$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $76$ ist keine Quadratzahl, da $8^2=64$ und $9^2=81$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $239$ ist keine Quadratzahl, da $15^2=225$ und $16^2=256$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
- $11$ ist keine Quadratzahl, da $3^2=9$ und $4^2=16$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
-
Charakterisiere die gegebenen Quadrate und Würfel.
TippsUm das Volumen eines Würfels zu berechnen, wird die Kantenlänge zweimal mit sich selbst multipliziert. Es ergibt sich eine Kubikzahl.
Lösung- Ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ hat das Volumen $4^3=4 \cdot 4 \cdot 4= 64$.
- Ein Quadrat mit der Kantenlänge $6$ hat einen Flächeninhalt von $6^2=6 \cdot 6=36$.
- Ein Würfel mit der Kantenlänge $2$ hat das Volumen $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2= 8$.
- Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $9$ hat eine Seitenlänge von $3$, da $3^2=3\cdot3=9$. Der Würfel mit der Grundfläche $9$ hat also eine Kantenlänge von $3$ und das Volumen von $3^3=3\cdot3\cdot3=27$.
-
Berechne die Quadratzahlen.
Tipps$3^3=3\cdot 3 =9$
LösungEine Quadratzahl erhält man, indem man eine natürliche Zahl quadriert, also einmal mit sich selbst multipliziert. Wir können also die Quadratzahlen durch Multiplikation der Zahlen mit sich selbst berechnen:
$2^2=2 \cdot 2=4$
$4^2=4 \cdot 4=16$
$5^2=5 \cdot 5=25$
$8^2=8 \cdot 8=64$
$10^2=10 \cdot 10=100$
$12^2=12 \cdot 12=144$ -
Vervollständige die Überlegung zur Bestimmung der nächsten Quadratzahl.
TippsDie Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
LösungDie Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
Beginnen wir mit den ersten beiden ungeraden Zahlen, so ergibt sich:
$1+3=4=2^2$
Addieren wir die nächste ungerade Zahl, also $5$, so ergibt sich:
$1+3+5=4+5=9=3^2$
Addieren wir die nächste ungerade Zahl, so ergibt sich die nächstgrößere Quadratzahl, also $16$:
$1+3+5+7=16=4^2$
Das Ergebnis der Addition ist also immer eine Quadratzahl, wobei die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, der Anzahl der Summanden entspricht:
$1+3+5+7+9+11+13=49=7^2$
Hier werden beispielsweise die ersten sieben ungeraden Zahlen addiert, die Anzahl der Summanden ist also $7$, das Ergebnis ist daher $7^2$.
Werden die ersten zehn ungeraden Zahlen summiert, so ist das Ergebnis $10^2$:
$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100=10^2$
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Dass Video hat sehr Geholfen
DANKII🥰🥰
Ich fand das Video richtig cool es hat mir auch super geholfen.(:
Hallo Manuela, wenn du nur zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen addierst, ergibt das nicht unbedingt eine Quadratzahl, da hast du Recht! Aber der Aufgabenstellung nach beginnen wir immer mit der 1. Wenn wir dann die folgenden ungeraden Zahlen addieren, kommt immer eine Quadratzahl raus. Egal wie viele ungerade Zahlen wir addieren. Probiere es gerne mal aus! Liebe Grüße aus der Redaktion
Bei den Aufgaben gibt es einen Fehler:
zwei aufeinander folgende ungerade Zahlen sind nicht zwingend Quadratzahlen. Was im angegebenen Beispiel mit 1+3 =4 (Quadratzahl) stimmt, stimmt schon für
3+5 = 8 (keine Quadratzahl) nicht mehr.