Quadratzahlen und Kubikzahlen

Quadratzahlen und Kubikzahlen Übung

• Bestimme, welche Aussagen zu Quadratzahlen wahr sind.

  Tipps

  Die Potenz $a^n$ ist die abkürzende Schreibweise für die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst:

  • $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$.

  Folgende Menge enthält die ersten zehn Quadratzahlen:

  • $\mathbb{M}=\{0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81\}$.

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  • $\sqrt[2]{49}=7$,
  • $\sqrt[2]{4}=2$ und
  • $\sqrt[2]{225}=15$.

  Lösung

  Die Potenz $a^n$ ist die abkürzende Schreibweise für die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst:

  • $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$.

  Eine Quadratzahl erhältst du, wenn du eine natürliche Zahl mit sich selbst multiplizierst. Du multiplizierst also $zwei$ gleiche Faktoren miteinander. Somit hat die Potenz den Exponenten $n=2$, sodass es sich um die zweite Potenz handelt. Es gilt zum Beispiel:

  • $\underbrace{4\cdot 4}_{2\text{ mal}}=4^2$.

  Demnach lautet die Definition einer Quadratzahl wie folgt:

  • Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die die zweite Potenz einer natürlichen Zahl ist.

  Jede natürliche Zahl ergibt quadriert eine Quadratzahl. Also muss auch die Wurzel jeder Quadratzahl wieder eine natürliche Zahl sein. Es gilt zum Beispiel:

  • $\sqrt{4}=2$.

  Demnach lautet eine weitere Definition einer Quadratzahl wie folgt:

  • Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist.

  Außerdem kann ein Produkt, das aus zwei gleichen Faktoren gebildet wird, nie negativ sein, da beide Faktoren ja dasselbe Vorzeichen haben. Also gilt auch folgende Aussage:

  • Eine Quadratzahl ist immer eine positive Zahl.

• Bestimme die Quadrat- und Kubikzahlen der gegebenen natürlichen Zahlen.

  Tipps

  Eine Kubikzahl ist die dritte Potenz einer natürlichen Zahl.

  Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist. Zum Beispiel gilt:

  • $\sqrt{49}=7$.

  Lösung

  Bevor wir die gesuchten Quadrat- und Kubikzahlen berechnen, schauen wir uns noch einmal die Definitionen dieser Zahlen an:

  • Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die die zweite Potenz einer natürlichen Zahl ist.
  • Eine Kubikzahl ist eine Zahl, die die dritte Potenz einer natürlichen Zahl ist.

  Wir suchen also die zweite und dritte Potenz der gegebenen natürlichen Zahlen. Wir rechnen aus:

  Beispiel 1

  • $2^2=2\cdot 2=4$
  • $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

  Beispiel 2

  • $4^2=4\cdot 4=16$
  • $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$

  Beispiel 3

  • $5^2=5\cdot 5=25$
  • $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$

  Beispiel 4

  • $3^2=3\cdot 3=9$
  • $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$

• Ermittle die Kubikzahlen der gegebenen natürlichen Zahlen.

  Tipps

  Ist der Exponent einer Potenz gleich $3$, so kommt die Basis dreimal als Faktor des Produktes vor.

  Sieh dir folgende Beispiele an.

  • $a^3=a\cdot a\cdot a$
  • $2^3=2\cdot 2\cdot 2$
  • $8^3=8\cdot 8\cdot 8$

  Lösung

  Wird eine natürliche Zahl zur dritten Potenz erhoben, so handelt es sich um eine Kubikzahl. Ist der Exponent einer Potenz gleich $3$, so kommt die Basis dreimal als Faktor des Produktes vor. Wir rechnen also wie folgt:

  • $6^3=6\cdot 6\cdot 6=216$,
  • $8^3=8\cdot 8\cdot 8=512$,
  • $7^3=7\cdot 7\cdot 7=343$ und
  • $9^3=9\cdot 9\cdot 9=729$.

• Bestimme die gegebenen Wurzeln.

  Tipps

  Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine natürliche Zahl.

  Die Kubikwurzel einer Kubikzahl ist eine natürliche Zahl.

  Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ einschließlich der Null lautet wie folgt:

  • $\mathbb{N}_0=\{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ ...\}$.

  Es ist $\sqrt[2]{~}$ die Quadratwurzel und $\sqrt[3]{~}$ die Kubikwurzel.

  Lösung

  Es sind je zwei Quadratwurzeln und zwei Kubikwurzeln gegeben. Unter den Quadratwurzeln steht je eine Quadratzahl und unter den Kubikwurzeln je eine Kubikzahl. Es gilt zudem:

  • Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine natürliche Zahl.
  • Die Kubikwurzel einer Kubikzahl ist eine natürliche Zahl.

  Also ist jede Lösung eine natürliche Zahl. Wir erhalten folgende Lösungen:

  • $\sqrt[2]{144}=\sqrt[2]{12\cdot 12}=12$,
  • $\sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{9\cdot 9\cdot 9}=9$,
  • $\sqrt[3]{1331}=\sqrt[3]{11\cdot 11\cdot 11}=11$ und
  • $\sqrt[2]{225}=\sqrt[2]{15\cdot 15}=15$.

• Gib an, bei welchen der gegebenen Zahlen es sich um Quadratzahlen handelt.

  Tipps

  Ist die Quadratwurzel einer Zahl $a$ eine natürliche Zahl, so handelt es sich bei $a$ um eine Quadratzahl.

  Primzahlen können keine Quadratzahlen sein. Sie sind nämlich nur durch $1$ und sich selbst teilbar.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche der gegebenen Zahlen Quadratzahlen sind, überprüft man, ob man deren Quadratwurzel so ziehen kann, dass eine natürliche Zahl resultiert. Folgende Quadratwurzeln liefern natürliche Zahlen, sodass der Ausdruck unter der Wurzel eine Quadratzahl sein muss:

  • $\sqrt{9}=\sqrt{3\cdot 3}=3$,
  • $\sqrt{1}=\sqrt{1\cdot 1}=1$ und
  • $\sqrt{25}=\sqrt{5\cdot 5}=5$.

• Vergleiche die Mengenangaben, indem du zunächst die zugehörige natürliche Zahl bestimmst.

  Tipps

  Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation des Quadrierens. Es gilt:

  • $\sqrt[2]{a^2}=a$.

  Bei der Quadratwurzel kann der Wurzelexponent $2$ auch weggelassen werden.

  Sieh dir folgende Beispiele an.

  • $3>\sqrt{4}$
  • $25<6^2$
  • $\sqrt{25}>\sqrt[3]{27}$

  Lass dich von großen Zahlen unter Wurzeln nicht abschrecken. Wenn eine dir bekannte Kubikzahl unter der Wurzel steht, an die $3$ Nullen angehängt wurden, dann muss an die bekannte Kubikwurzel lediglich eine Null angefügt werden. Ein Beispiel:

  Wenn wir wissen, dass $\sqrt[3]{125}=5$ ist, dann können wir $\sqrt[3]{125000}$ folgendermaßen ausrechnen:

  $\sqrt[3]{\underbrace{125000}_{\text{drei Nullen}}}=\sqrt[3]{\underbrace{50}_{\text{erste Null}}\cdot \underbrace{50}_{\text{zweite Null}}\cdot \underbrace{50}_{\text{dritte Null}}} = 50$.

  Lösung

  Wir bestimmen im Folgenden die jeweilige natürliche Zahl zu den Angaben. Auf diese Weise kann man die richtige Reihenfolge der Angaben besser nachvollziehen.

  Reihe 1

  Die korrekte Sortierung lautet wie folgt:

  • $6^2;\quad \sqrt[3]{27000}; \quad 23;\quad \sqrt{361};\quad 4^2;\quad 2^3$.

  Diese absteigende Reihenfolge resultiert aus folgenden Rechnungen:

  $\begin{array}{llll} & 6^2 &=& 36 \\ & \sqrt[3]{27000} &=& 30 \\ & 23 &=& 23 \\ & \sqrt{361} &=& 19 \\ & 4^2 &=& 16 \\ & 2^3 &=& 8\\ \\ \end{array}$

  Reihe 2

  Hier erhalten wir folgende Sortierung:

  • $ 3^3;\quad \sqrt{2500};\quad \sqrt[3]{8000};\quad 18;\quad 2^3;\quad \sqrt{4}$.

  Für diese Angaben erhalten wir die folgenden natürlichen Zahlen:

  $\begin{array}{llll} & 4^3 &=& 64 \\ & \sqrt{2500} &=& 50 \\ & \sqrt[3]{8000} &=& 20 \\ & 18 &=& 18 \\ & 2^3 &=& 8 \\ & \sqrt{4} &=& 2 \end{array}$