Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Null als Exponent

Jede Zahl mit Null im Exponenten ergibt eins. Aber warum ist das so? Erfahre mehr über Potenzen mit Exponent Null und Potenzgesetze. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.4 / 54 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Null als Exponent
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Null als Exponent Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Null als Exponent kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie du mit der Potenz von $2$ zeigen kannst, dass $2^0=1$ gilt.

    Tipps

    Zuerst sollte die bekannte $2$er-Potenzreihe mit positiven Exponenten aufgeschrieben werden.

    Betrachte die einzelnen Zusammenhänge zwischen den Werten der $2$er-Potenzreihe sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links. Das Ergebnis kann dann einfach abgelesen werden.

    Lösung

    Die folgende Beweisführung ist korrekt:

    • Zu Beginn schreiben wir die bekannten $2$er-Potenzen, also $2^{1}$, $2^{2}$ und $2^{3}$ in eine Tabelle mit ihren jeweiligen Ergebnissen $2$, $4$ und $8$.
    Im Bild füllen wir also die rechte Seite der Tabelle der $2$er-Potenzen aus.

    • Wenn wir uns jetzt die Potenzwerte von $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ anschauen, erkennen wir, dass das Ergebnis in jedem Schritt nach rechts mit $2$ multipliziert wird. Betrachten wir die Potenzwerte in der Tabelle nun von rechts nach links, so werden die Ergebnisse immer durch $2$ geteilt.
    Im Bild sehen wir, dass sich die Werte der $2$er-Potenz bei einem Schritt nach rechts, das heißt, wenn wir den Exponenten um $1$ erhöhen, verdoppeln. Verringern wir den Exponenten um $1$, gehen also nach links, halbieren sich die Potenzwerte.

    • Nach diesem Muster können wir die Ergebnisse für $2^{0}$, $2^{-1}$ und $2^{-2}$ bestimmen, indem wir nämlich einfach durch $2$ teilen.
    • Wir erhalten also $2^{0}=1$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$ und vervollständigen unsere Tabelle.
    Nun wird der linke Teil der Tabelle nach dem bekannten Muster (durch $2$ teilen) weiter ausgefüllt.

    • Schlussendlich können wir aus der Tabelle ablesen, dass $2^{0}=1$ ergibt, was wir zeigen wollten.
    Aus der Tabelle ist nun einfach unser gesuchtes Ergebnis für $2^{0}$ abzulesen, also $2^{0}=1$.

  • Vervollständige den Beweis für $x^0=1$ mit $x\neq 0$.

    Tipps

    Ausgangspunkt ist das Divisions-Potenzgesetz: $\frac{y^{l}}{y^{p}} = y^{l-p}$.

    Ein Beispiel mit gleichen Exponenten: $\dfrac{6^{4}}{6^{4}} = 6^{4-4} = 6^{0} = 1$.

    Lösung

    Folgende Beweisführung ist korrekt:

    Als Ausgangspunkt dient das Divisions-Potenzgesetz, das $\frac{y^{l}}{y^{p}}$ $ = y^{l-p}$ lautet. In unserer bekannten Schreibweise gilt also:

    • $\frac{x^{m}}{x^{n}}= x^{m-n}$.
    Wir verdeutlichen uns dies mit einem kurzen Zahlenbeispiel:

    • Kurzes Beispiel: $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$
    Die Zahlen können hierbei beliebig gewählt werden. Einzig die Basis muss bei der Division gleich sein. Wählen wir nun die Exponenten ebenfalls gleich, wissen wir, dass $\frac{5^{3}}{5^{3}}=\frac{125}{125}=1$, da eine Zahl dividiert durch sich selbst immer gleich $1$ ist.

    • $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0} = 1$
    Zum Schluss wird das Beispiel noch mit Variablen verallgemeinert:
    • Für $x\neq0$ gilt: $\frac{x^{m}}{x^{m}} = x^{m-m} = x^{0} = 1$.
    Das wollten wir beweisen.

  • Bestimme die Terme, bei denen das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt.

    Tipps

    Wende zuerst mögliche Potenzgesetze an und überprüfe, ob der Exponent $0$ wird.

    Sollte der Exponent $0$ sein, kannst du das Gesetz auch anwenden.

    Lösung

    Bei folgenden Termen kannst du das Gesetz anwenden:

    • $\frac{2^{3}}{2^{3}}$, denn es gilt $2^{3-3}=2^{0}=1$
    • ${(3\cdot x^{4}\cdot y^{3})}^{0}$, denn der Exponent $0$ erlaubt es hierbei.
    • $125^{0}$, auch hier ist der Exponent schon $0$.
    • $\frac{5^{-4}}{5^{-4}}$, auch wenn die Exponenten negativ sind, gilt $-4-(-4)=0$. Da auch die Basen identisch sind, können wir unser Potenzgesetz anwenden.
    Folgende Terme dürfen das Gesetz nicht verwenden:
    • $\frac{3^{2}}{5^{2}}$, denn die Basis ist nicht gleich und das Potenzgesetz der Division darf nicht angewendet werden.
    • $(-1+1)^{3}$, denn der Exponent ist hier $3$, auch wenn die Basis $0$ wird.
    • $\frac{2^{3}}{2^{2}}$, da hier die Basis zwar gleich ist, aber für die Exponenten $3-2=1\neq0$ gilt.

  • Leite das Ergebnis der folgenden Terme her.

    Tipps

    Überprüfe zuerst, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst. Falls ja, ist das Ergebnis $1$.

    Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:

    • Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
    • Multiplikation von Potenzen: als Beispiel $(23 \cdot 2)^4=23^4 \cdot 2^4$
    • Potenzen von Potenzen: als Beispiel $(23^2)^4 = 23^{2 \cdot 4} = 2^12= 4~096$
    Nun überprüfe, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst.

    Lösung

    Folgende Rechenschritte können vollzogen werden:

    • $(y^{3}\cdot x^{2})^{0} = (y^3)^0 \cdot (x^2)^0 = y^{3\cdot 0} \cdot x^{2 \cdot 0} = y^{0} \cdot x^{0} =1\cdot 1 = 1$.
    Angewandt wurde im ersten Schritt das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen, also:

    $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$.

    Danach wird zur Vereinfachung das Gesetz zu Potenzen von Potenzen:

    $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

    genutzt, so dass dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ verwendet werden kann.

    • $\frac{2^{3}}{2^{2}}=2^{3-2}=2^{1}=2$
    Hier kann das Gesetz für die Division von Potenzen:

    $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$

    angewandt werden.

    • $99^{0}=1$
    Das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt hierbei.
    • $(1^{99}\cdot 2^{2})^{1}= (1 \cdot 4)^1 = 1^1 \cdot 4^1= 1 \cdot 4 = 4$
    Hier können die Potenzen $1^{99}$ und $2^{2}$ leicht berechnet werden.
    • $(m^{0})^{99}= 1$
    Das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ kann angewandt werden.
  • Benenne die richtigen Aussagen über das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$.

    Tipps

    Sobald der Exponent $0$ ist, ist es egal, was in der Basis $x$ steht, solange $x\neq0$.

    $(4+5)^0$ ergibt $1$, da auch hier das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ gilt.

    Das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ ist unabhängig von anderen Potenzgesetzen.

    Lösung

    Diese Aufgaben sind richtig:

    • „Egal welche Basis $x$ mit $x\neq0$ eine Potenz $x^n$ hat, es gilt immer: Wenn der Exponent $n$ gleich $0$ ist, so ist das Ergebnis immer $1$.“
    • „Jede Zahl (außer die $0$) hoch $0$ ergibt immer $1$.“
    Diese Aufgaben sind falsch:
    • „Das Gesetz gilt nur bei Zweierpotenzen, also nur bei $2^{0}$.“ Die Basis $x$ kann (außer $x\neq0$) beliebig sein, das Ergebnis ist immer $1$, wenn der Exponent $0$ ist.
    • „Gibt es noch andere Potenzgesetze, die im Term gelten, so gilt das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ nicht.“ Das Gesetz gilt, völlig unabhängig von anderen Gesetzen, immer.
    • „$(2+3)^0$ ergibt $5$.“ Das Ergebnis ist $1$, denn jede Zahl $x$ mit $x\neq0$ hoch $0$ ergibt immer $1$.

  • Ermittle die Ergebnisse der Terme mithilfe aller dir bekannten Potenzgesetze.

    Tipps

    Überprüfe zunächst, ob du zur Vereinfachung bestimmte Potenzen wie $1^{78}=1$ direkt ausrechnen kannst.

    Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:

    • Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
    • Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
    • Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
    • Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$
    Lösung

    Für die Berechnungen der Ausdrücke auf der linken Seite wenden wir die folgenden Potenzgesetze an:

    Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$

    Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$

    Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

    Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$

    • Für den ersten Ausdruck gilt mit dem Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$:
    $5^3 \cdot 5^0+1^0 = 5^3 \cdot 1 +1 = 5^3 + 1 = 125 + 1 =\mathbf{126}$.

    • Im zweiten Fall nutzen wir das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ für den ersten Summanden und das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen für den zweiten:
    $7^{2-2}+(2\cdot 3)^{2+1} + 3^3= 7^0+(2\cdot 3)^3+3^3 = 1+2^3\cdot 3^3+3^3=1+8\cdot 27+27=\mathbf{ 244}$.

    • Beim dritten Ausdruck hilft uns das Gesetz der Division von Potenzen:
    $\dfrac{3^5}{3^3} \cdot \dfrac {5^{-2}}{5^{-4}}= 3^{5-3} \cdot 5^{-2-(-4)}=3^2 \cdot 5^2= 9 \cdot 25 = \mathbf{225}$.

    • Beim letzten Ausdruck berechnen wir beim Minuenden zunächst die einfachen Potenzen $1^3=1$ und $3^2=9$. Beim Subtrahenden werden zunächst die Gesetze zur Multiplikation von Potenzen und zu Potenzen von Potenzen genutzt und dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$. (Wenn du es siehst, kannst du natürlich auch gleich das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden.)
    $(1^3+3^2)^2-(1^3 \cdot 3^4)^0= (1+9)^2-((1^3)^0 \cdot (3^4)^0)=10^2-1^{3\cdot 0} \cdot 3^{4\cdot 0} = 100 -1^0 \cdot 3^0 =100 -1 = \mathbf{99}$