Null als Exponent
Jede Zahl mit Null im Exponenten ergibt eins. Aber warum ist das so? Erfahre mehr über Potenzen mit Exponent Null und Potenzgesetze. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Null als Exponent Übung
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Gib an, wie du mit der Potenz von $2$ zeigen kannst, dass $2^0=1$ gilt.
TippsZuerst sollte die bekannte $2$er-Potenzreihe mit positiven Exponenten aufgeschrieben werden.
Betrachte die einzelnen Zusammenhänge zwischen den Werten der $2$er-Potenzreihe sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links. Das Ergebnis kann dann einfach abgelesen werden.
LösungDie folgende Beweisführung ist korrekt:
- Zu Beginn schreiben wir die bekannten $2$er-Potenzen, also $2^{1}$, $2^{2}$ und $2^{3}$ in eine Tabelle mit ihren jeweiligen Ergebnissen $2$, $4$ und $8$.
- Wenn wir uns jetzt die Potenzwerte von $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ anschauen, erkennen wir, dass das Ergebnis in jedem Schritt nach rechts mit $2$ multipliziert wird. Betrachten wir die Potenzwerte in der Tabelle nun von rechts nach links, so werden die Ergebnisse immer durch $2$ geteilt.
- Nach diesem Muster können wir die Ergebnisse für $2^{0}$, $2^{-1}$ und $2^{-2}$ bestimmen, indem wir nämlich einfach durch $2$ teilen.
- Wir erhalten also $2^{0}=1$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$ und vervollständigen unsere Tabelle.
- Schlussendlich können wir aus der Tabelle ablesen, dass $2^{0}=1$ ergibt, was wir zeigen wollten.
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Vervollständige den Beweis für $x^0=1$ mit $x\neq 0$.
TippsAusgangspunkt ist das Divisions-Potenzgesetz: $\frac{y^{l}}{y^{p}} = y^{l-p}$.
Ein Beispiel mit gleichen Exponenten: $\dfrac{6^{4}}{6^{4}} = 6^{4-4} = 6^{0} = 1$.
LösungFolgende Beweisführung ist korrekt:
Als Ausgangspunkt dient das Divisions-Potenzgesetz, das $\frac{y^{l}}{y^{p}}$ $ = y^{l-p}$ lautet. In unserer bekannten Schreibweise gilt also:
- $\frac{x^{m}}{x^{n}}= x^{m-n}$.
- Kurzes Beispiel: $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$
- $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0} = 1$
- Für $x\neq0$ gilt: $\frac{x^{m}}{x^{m}} = x^{m-m} = x^{0} = 1$.
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Bestimme die Terme, bei denen das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt.
TippsWende zuerst mögliche Potenzgesetze an und überprüfe, ob der Exponent $0$ wird.
Sollte der Exponent $0$ sein, kannst du das Gesetz auch anwenden.
LösungBei folgenden Termen kannst du das Gesetz anwenden:
- $\frac{2^{3}}{2^{3}}$, denn es gilt $2^{3-3}=2^{0}=1$
- ${(3\cdot x^{4}\cdot y^{3})}^{0}$, denn der Exponent $0$ erlaubt es hierbei.
- $125^{0}$, auch hier ist der Exponent schon $0$.
- $\frac{5^{-4}}{5^{-4}}$, auch wenn die Exponenten negativ sind, gilt $-4-(-4)=0$. Da auch die Basen identisch sind, können wir unser Potenzgesetz anwenden.
- $\frac{3^{2}}{5^{2}}$, denn die Basis ist nicht gleich und das Potenzgesetz der Division darf nicht angewendet werden.
- $(-1+1)^{3}$, denn der Exponent ist hier $3$, auch wenn die Basis $0$ wird.
- $\frac{2^{3}}{2^{2}}$, da hier die Basis zwar gleich ist, aber für die Exponenten $3-2=1\neq0$ gilt.
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Leite das Ergebnis der folgenden Terme her.
TippsÜberprüfe zuerst, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst. Falls ja, ist das Ergebnis $1$.
Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:
- Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
- Multiplikation von Potenzen: als Beispiel $(23 \cdot 2)^4=23^4 \cdot 2^4$
- Potenzen von Potenzen: als Beispiel $(23^2)^4 = 23^{2 \cdot 4} = 2^12= 4~096$
LösungFolgende Rechenschritte können vollzogen werden:
- $(y^{3}\cdot x^{2})^{0} = (y^3)^0 \cdot (x^2)^0 = y^{3\cdot 0} \cdot x^{2 \cdot 0} = y^{0} \cdot x^{0} =1\cdot 1 = 1$.
$(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$.
Danach wird zur Vereinfachung das Gesetz zu Potenzen von Potenzen:
$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
genutzt, so dass dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ verwendet werden kann.
- $\frac{2^{3}}{2^{2}}=2^{3-2}=2^{1}=2$
$\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
angewandt werden.
- $99^{0}=1$
- $(1^{99}\cdot 2^{2})^{1}= (1 \cdot 4)^1 = 1^1 \cdot 4^1= 1 \cdot 4 = 4$
- $(m^{0})^{99}= 1$
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Benenne die richtigen Aussagen über das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$.
TippsSobald der Exponent $0$ ist, ist es egal, was in der Basis $x$ steht, solange $x\neq0$.
$(4+5)^0$ ergibt $1$, da auch hier das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ gilt.
Das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ ist unabhängig von anderen Potenzgesetzen.
LösungDiese Aufgaben sind richtig:
- „Egal welche Basis $x$ mit $x\neq0$ eine Potenz $x^n$ hat, es gilt immer: Wenn der Exponent $n$ gleich $0$ ist, so ist das Ergebnis immer $1$.“
- „Jede Zahl (außer die $0$) hoch $0$ ergibt immer $1$.“
- „Das Gesetz gilt nur bei Zweierpotenzen, also nur bei $2^{0}$.“ Die Basis $x$ kann (außer $x\neq0$) beliebig sein, das Ergebnis ist immer $1$, wenn der Exponent $0$ ist.
- „Gibt es noch andere Potenzgesetze, die im Term gelten, so gilt das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ nicht.“ Das Gesetz gilt, völlig unabhängig von anderen Gesetzen, immer.
- „$(2+3)^0$ ergibt $5$.“ Das Ergebnis ist $1$, denn jede Zahl $x$ mit $x\neq0$ hoch $0$ ergibt immer $1$.
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Ermittle die Ergebnisse der Terme mithilfe aller dir bekannten Potenzgesetze.
TippsÜberprüfe zunächst, ob du zur Vereinfachung bestimmte Potenzen wie $1^{78}=1$ direkt ausrechnen kannst.
Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:
- Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
- Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
- Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
- Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$
LösungFür die Berechnungen der Ausdrücke auf der linken Seite wenden wir die folgenden Potenzgesetze an:
Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$
- Für den ersten Ausdruck gilt mit dem Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$:
- Im zweiten Fall nutzen wir das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ für den ersten Summanden und das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen für den zweiten:
- Beim dritten Ausdruck hilft uns das Gesetz der Division von Potenzen:
- Beim letzten Ausdruck berechnen wir beim Minuenden zunächst die einfachen Potenzen $1^3=1$ und $3^2=9$. Beim Subtrahenden werden zunächst die Gesetze zur Multiplikation von Potenzen und zu Potenzen von Potenzen genutzt und dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$. (Wenn du es siehst, kannst du natürlich auch gleich das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden.)
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