Potenzieren von Summen – Aufgabe

Potenzieren von Summen – Aufgabe Übung

• Gib an, welche binomische Formel zu Umformung verwendet werden kann.

  Tipps

  Die binomischen Formeln lauten

  $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

  Die erste und die zweite binomische Formel sehen recht ähnlich aus. Wie unterscheiden diese sich?

  Was ist das Besondere an der dritten binomischen Formel?

  Du kannst jede dieser Formeln auch von rechts nach links lesen.

  Lösung

  Bei $x^2-b^2$ werden zwei Quadrate subtrahiert. Da sollte einem die dritte binomische Formel einfallen. Diese lautet

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

  Wenden wir diese Formel mit $a=x$ an, erhalten wir:

  $x^2-b^2=(x+b)\cdot (x-b)$.

• Vereinfache den angegebenen Term soweit wie möglich.

  Tipps

  Die 3. binomische Formel lautet

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

  Du kannst nur Faktoren kürzen.

  Verwende die folgende Regel zum Rechnen mit Potenzen

  $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

  Lösung

  Wir wollen den Term

  $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}$

  vereinfachen. Man könnte sicher alle Potenzen berechnen. Dann würde man jedoch einen etwas komplizierteren Term erhalten.

  Im Zähler steht $x^2-b^2$, also die Differenz zweier Quadrate. Diese taucht auch in der 3. binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ auf.

  Somit ist $(x^2-b^2)^2=((x+b)\cdot (x-b))^2$.

  Da ein Produkt potenziert wird, indem jeder Faktor potenziert wird, kann man wie folgt weiter rechnen

  $(x^2-b^2)^2=((x+b)\cdot (x-b))^2=(x+b)^2\cdot (x-b)^2$.

  Nun kann der obige Term umgeformt werden zu

  $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}=\frac{(x+b)^2\cdot (x-b)^2}{(x+b)^2}$.

  Da sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor $(x+b)^2$ vorkommt, kann dieser gekürzt werden, und es bleibt

  $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}= (x-b)^2$.

  Dies kann mit einer binomischen Formel weiter umgeformt werden zu

  $x^2-2bx+b^2$.

• Ordne dem jeweiligen Term die Vereinfachung zu.

  Tipps

  Bei den Vereinfachungen wird entweder

  • eine binomische Formel angewendet,
  • Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen angewendet
  • oder gekürzt.

  Verwende die folgenden Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen

  • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
  • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Beachte, dass du beide Regeln auch von rechts nach links lesen kannst.

  Die binomischen Formeln lauten

  $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

  Lösung

  Man kann vereinfachen, indem man gemeinsame Faktoren kürzt:

  $\frac{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}{(a-b)^2}=(a+b)^2$.

  Man kann auch zunächst eine binomische Formel anwenden, ggf. ein Potenzgesetz nutzen und dann kürzen:

  • $\frac{a^2+2ab+b^2}{(a+b)^3}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^3}=\frac1{a+b}$
  • $\frac{(a+b)^2}{(a^2-b^2)^2}=\frac{(a+b)^2}{((a+b)\cdot (a-b))^2}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}=\frac1{(a-b)^2}$.
  • $\frac{(a^2-b^2)^2}{(a-b)^2}=\frac{((a+b)\cdot (a-b))^2}{(a-b)^2}=\frac{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}{(a-b)^2}=(a+b)^2$.

• Prüfe, ob die Umformungen richtig sind.

  Tipps

  Verwende die dritte binomische Formel

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

  Auf der rechten Seite steht die Differenz zweier Quadrate.

  Du kannst nur dann kürzen, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner der gleiche Faktor steht.

  Du kannst die folgenden Regeln verwenden:

  • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
  • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Beachte, dass du beide Regeln auch von rechts nach links lesen kannst.

  Lösung

  Es soll der Term

  $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}$

  vereinfacht werden.

  Zunächst kann man sehen, dass im Zähler die Differenz zweier Quadrate steht. Diese kann man mit der dritten binomischen Formel umschreiben zu

  $(a^2-16)^2=((a+4)\cdot (a-4))^2$.

  Die Potenz kann berechnet werden, indem jeder Faktor potenziert wird. Dies führt zu

  $((a+4)\cdot (a-4))^2=(a+4)^2\cdot (a-4)^2$.

  Nun kann dieser Term in dem Ausgangsterm eingesetzt werden:

  $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a+4)^2\cdot (a-4)^2}{(a+4)^4}$.

  Der Faktor $(a+4)^2$ kommt sowohl im Zähler als auch im Nenner vor und kann gekürzt werden zu

  $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a+4)^2\cdot (a-4)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)^2}$.

  Dies kann mit Rechenregeln für Potenzen auch in der folgenden Form geschrieben werden:

  $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)^2}=\left(\frac{a-4}{a+4}\right)^2$.

• Benenne die Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen.

  Tipps

  Beachte, dass die Klammer bei $(2\cdot 3)^2$ wichtig ist, denn

  • $(2\cdot 3)^2=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$, aber
  • $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$. Hier bezieht der Exponent sich nur auf die $3$.

  Eine ähnliche Regel gilt auch für Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Lösung

  Wenn man ein Produkt potenzieren muss, kann jeder Faktor einzeln potenziert werden.

  Das bedeutet:

  $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

  Diese Gleichung kann man auch umgekehrt aufschreiben

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Eine solche Regel gilt auch für Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

• Vereinfache den Term und berechne die resultierende Potenz.

  Tipps

  Verwende die binomischen Formeln

  $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

  Du kannst die 3. binomische Formel daran erkennen, dass auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

  Du kannst nur dann kürzen, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

  Lösung

  Zur Vereinfachung des Terms

  $\frac{(4u^2-9b^2)^2}{(2u+3b)^2}$

  wendet man im Zähler erst einmal die 3. binomische Formel an

  $4u^2-9b^2=(2u+3b)\cdot(2u-3b)$.

  Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird. Somit ist

  $(4u^2-9b^2)^2=((2u+3b)\cdot(2u-3b))^2=(2u+3b)^2\cdot(2u-3b)^2$.

  Der Faktor $(2u+3b)^2$, welcher sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, kann gekürzt werden. Somit ist

  $\frac{(4u^2-9b^4)^2}{(2u+3b)^2}=(2u-3b)^2$.

  Nun kann diese Potenz noch weiter berechnet werden, zum Beispiel mit der 2. binomischen Formel,

  $(2u-3b)^2=4\cdot u^2-12\cdot b\cdot u+9\cdot b^2$.