Potenzgleichungen – Eigenschaften

Potenzgleichungen – Eigenschaften Übung

• Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

  Tipps

  Bei einer Potenzgleichung wird die Variable $x$ potenziert.

  Eine Potenz hat die Form $a^n=b$. Dabei ist

  • $a$ die Basis, welche mit
  • $n$, dem Exponenten, potenziert wird.
  • $b$ ist das Ergebnis der Potenz, der Potenzwert.

  Eine Gleichung der Form

  $x^2=4$

  besitzt zwei Lösungen $x_1=-2$ sowie $x_2=2$.

  Eine Gleichung der Form

  $x^3=8$

  besitzt eine Lösung $x=2$.

  Lösung

  Was ist eine Potenzgleichung?

  Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form

  $a\cdot x^n=b$.

  Dabei sind

  • $a,~b\in\mathbb{R}$,
  • $n\in \mathbb{N}$ und
  • $x$ unbekannt.

  Man unterscheidet zwischen Potenzgleichungen mit geraden, $f(x)=x^2$, oder ungeraden, $f(x)=x^3$, Exponenten.

• Gib die Lösungen der Potenzgleichungen an.

  Tipps

  Beachte, dass $3^2=(-3)^2=9$ ist.

  Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten und positivem $b$ besitzen zwei Lösungen.

  Falls ein Faktor vor der Potenz steht, musst du zunächst durch diesen teilen.

  Lösung

  Bei der Lösung von Potenzgleichungen gibt es Unterschiede, je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

  gerade Exponenten

  • $x^2=16$ wird durch Ziehen der Quadratwurzel gelöst und man erhält $x_1=4$ sowie $x_2=-4$.
  • Wenn die rechte Seite negativ ist, ist die Gleichung nicht lösbar, wie zum Beispiel bei $x^4=-16$.
  • $5x^2=125$. Durch Division durch $5$ erhält man $x^2=25$. Auch hier wird die Quadratwurzel gezogen und die Lösungen sind $x_1=5$ und $x_2=-5$.

  ungerade Exponenten

  • $x^3=27$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man $x=3$.
  • $3x^3=0,375$ ist nach Division durch $3$ äquivalent zu $x^3=0,125$. Die dritte Wurzel liefert $x=0,5$.
  • Bei Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten sind auch Gleichungen mit negativer rechter Seite lösbar: $2x^3=-16$ ist äquivalent zu $x^3=-8$. Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält als Lösung $x=-2$.

• Ermittle die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Die Umkehrung einer Potenz mit dem Exponenten $n$ ist das Ziehen der $n$-ten Wurzel.

  Bei ungeraden Exponenten gibt es immer eine Lösung.

  Die Lösung von $x^5=32$ ist $2$, da $2^5=32$ ist.

  Lösung

  Um die Gleichung

  $4x^3=500$

  zu lösen, muss man zunächst durch $4$ dividieren:

  $x^3=125$.

  Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält die Lösung

  $x=5$, da $5^3=125$ ist.

• Überprüfe die Gleichungen auf ihre Lösbarkeit.

  Tipps

  Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Normalparabel. Diese ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Jede Potenzfunktion mit geradem Exponenten ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Beim Ziehen einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten erhältst du mit dem Taschenrechner eine Lösung. Das Negative dieser Lösung liefert beim Potenzieren das gleiche Ergebnis.

  Zum Beispiel ist $\sqrt[4]{16}=2$ und es gilt $2^4=(-2)^4=16$.

  Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten sind nur lösbar, wenn $b\ge0$ ist.

  Beachte, dass du gegebenenfalls durch einen Faktor vor der Potenz teilen musst.

  Lösung

  Es gilt, dass Potenzgleichungen $x^n=b$

  • bei ungeradem Exponenten immer lösbar sind und
  • bei geradem Exponenten nur, wenn $b\ge 0$ ist. Für $b>0$ gibt es zwei Lösungen und für $b=0$ nur eine, $x=0$.

  Bei der Gleichung $-3x^2=-0,75$ steht auf der rechten Seite zwar eine negative Zahl, jedoch kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} -3x^2&=-0,75&|&:(-3)\\ x^2&=0,25&|&\sqrt{~}\\ x_1&=0,5\\ x_2&=-0,5. \end{align*}$

  Die Gleichung $-2x^4=32$ ist nicht lösbar, da man nach der Division durch $-2$ den Term $x^4=-16$ erhält. Da eine Potenz mit geradem Exponenten keine negativen Potenzwerte haben kann, kann $x^4=-16$ keine Lösung besitzen.

  Die Gleichung $7x^5=224$ kann man durch Dividieren durch $7$ umformen zu $x^5=32$. Nun kann man die fünfte Wurzel ziehen und erhält $x=2$. Hier ist $-2$ keine Lösung, da $(-2)^5=-32$ ist.

• Fasse die Eigenschaften von Potenzfunktionen zusammen.

  Tipps

  Beachte, dass zum Beispiel $2^2=(-2)^2=4$.

  Zeichne dir die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem.

  Die Definition einer Funktion setzt voraus, dass zu jedem x-Wert höchstens ein y-Wert gehört. Ist dies bei einer Symmetrie zur x-Achse möglich?

  Lösung

  Zu $f(x)=x^2$:

  • Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel, diese ist im Bild oben zu sehen.
  • Diese ist symmetrisch zur y-Achse.
  • Für jeden y-Wert, welcher größer als $0$ ist, gibt es zwei x-Werte mit diesem Funktionswert, da zum Beispiel $(-2)^2=2^2=4$ ist.
  • Die Funktion besitzt ein Extremum. Dies ist ein Tiefpunkt.
  • Links von dem Tiefpunkt fällt und rechts davon steigt die Funktion.
  • $f(x)=x^2$ besitzt keine negativen Funktionswerte. Das bedeutet, dass die Gleichung $x^2=b$ mit negativem $b$ nicht lösbar ist.

  Zu $f(x)=x^3$:

  • Der Graph dieser Funktion ist hier im Bild zu sehen.
  • Er ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • Für jeden y-Wert gibt es einen x-Wert mit diesem Funktionswert.
  • Die Funktion ist monoton steigend.
  • Daraus folgt, dass jede Gleichung der Form $x^3=b$ für beliebiges $b$ genau eine Lösung besitzt.

• Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

  Tipps

  Die Potenz ist gerade. Das heißt, dass es zwei Lösungen gibt.

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass die Potenzen mit der Basis $x$ alle auf der linken Seite und die gegebenen Zahlen auf der rechten Seite stehen, oder umgekehrt.

  So gelangst du zu der Gleichung

  $100x^2=49$.

  Nun musst du noch durch $100$ dividieren und dann die Quadratwurzel ziehen.

  Lösung

  Die Gleichung $65-53x^2=16+47x^2$ sieht schon etwas komplexer aus. Es handelt sich auch hier um eine Potenzgleichung, da $x$ jedes Mal in Form einer Potenz vorkommt. Da der Exponent gerade ist, hat diese Gleichung auch zwei Lösungen. Zunächst formt man die Gleichung so um, dass man eine Gleichung der Form $x^2=b$ hat:

  $\begin{align*} 65-53x^2&=16+47x^2&|&-16\\ 49-53x^2&=47x^2&|&+53x^2\\ 49&=100x^2&|&:100\\ 0,49&=x^2. \end{align*}$

  Nun kann die Quadratwurzel gezogen werden und man erhält die beiden Lösungen $x_1=0,7$ sowie $x_2=-0,7$.