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Matrix-Matrix-Multiplikation

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Die Autor*innen
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Steph Richter
Matrix-Matrix-Multiplikation
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Matrix-Matrix-Multiplikation

Inhalt

Die Matrizenmultiplikation

Matrizen sind ein sehr grundlegendes und nützliches Konzept in der Mathematik. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert. Wir wissen dazu bereits, wie eine Matrix in der Mathematik definiert ist und was die Ordnung einer Matrix ist.

Wie multipliziert man Matrizen?

Wir erinnern uns zunächst an die Definition einer Matrix. Unter einer Matrix versteht man in der Mathematik ein rechteckiges Schema, das mit Zahlen gefüllt ist:

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Die Ordnung einer Matrix wird in der Form $(m \times n)$ angegeben, wobei $m$ die Anzahl der Zeilen beschreibt und $n$ die Anzahl der Spalten. Die Beispielmatrix hat also die Ordnung $(3 \times 3)$.

Nachdem wir die Definition der Matrix wiederholt haben, wollen wir die folgenden Matrizen $A$ mit der Ordnung $(m_A \times n_A)$ und $B$ mit der Ordnung $(m_B \times n_B)$ miteinander multiplizieren:

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Bevor wir mit der Matrix-Matrix-Multiplikation beginnen, müssen wir uns die Frage stellen, ob wir die vorliegenden Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren können. Es können nämlich nicht beliebige Matrizen miteinander multipliziert werden. Damit die Multiplikation zweier Matrizen möglich ist, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

Die Matrix $A$ hat die Ordnung $(2 \times 3)$, also drei Spalten, und die Matrix $B$ hat die Ordnung $(3 \times 2)$, also drei Zeilen. Wir können diese beiden Matrizen also miteinander multiplizieren. Das Ergebnis einer Matrixmultiplikation ist wieder eine Matrix, und zwar mit der neuen Ordnung $(m_A \times n_B)$. Die neue Matrix hat also so viele Zeilen wie der erste Faktor des Matrixprodukts und so viele Spalten wie der zweite Faktor im Matrixprodukt. In unserem Beispiel hat die neue Matrix also die Ordnung $(2 \times 2)$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Die Multiplikation der Matrizen verläuft nach dem Prinzip Zeile mal Spalte und ähnelt dem Vorgehen beim Skalarprodukt zweier Vektoren. Dabei setzt sich die erste Zeile der neuen Matrix $C$ aus der Multiplikation der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den jeweiligen Spalten der Matrix $B$ zusammen.

Den Wert für den Eintrag $a$ in der ersten Zeile und ersten Spalte der Matrix $C$ erhalten wir, indem wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren und die Ergebnisse aufsummieren – ganz analog zum Skalarprodukt zweier Vektoren. Für den zweiten Eintrag in der ersten Zeile, also $b$, multiplizieren wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auch diese auf. So gehen wir Schritt für Schritt vor, bis wir die Matrix $C$ bestimmt haben. Das Vorgehen können wir grafisch folgendermaßen veranschaulichen:

Matrix Matrix Multiplikation anschauliches Schema

Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Wir gehen das Verfahren an unserem Beispiel Schritt für Schritt durch, um es anschaulicher zu machen.

Die erste Zeile der Matrix $A$ ist:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $

Und die erste Spalte der Matrix $B$ ist:

$ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $

Damit berechnet sich $a$ wie folgt:

$a = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 2 + 0 + 6 = 8$

Wir haben also den ersten Eintrag berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Für den Eintrag $b$ müssen wir wieder die erste Zeile der Matrix $A$ nutzen, aber die zweite Spalte der Matrix $B$. Die Berechnung von $b$ sieht also folgendermaßen aus:

$b = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) = 1 + 14 -3 = 12$

Damit haben wir den zweiten Eintrag der Matrix $C$ und damit die gesamte erste Zeile berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Um die Einträge in der zweiten Zeile der Matrix $C$ zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Zeile der Matrix $A$ mit den Spalten der Matrix $B$ nach dem gleichen Muster wie bisher. Wir beginnen mit dem Eintrag $c$. Dafür multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ und bilden die Summe:

$c = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 8 + 0 + 12 = 20$

Und für den Eintrag $d$ multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auf:

$d = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot ( -1 ) = 4 + 0 -6 =-2 $

Damit erhalten wir als endgültiges Ergebnis der Matrixmultiplikation:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 20 & -2 \end{pmatrix} = C $

Dieses Video

In diesem Video wird dir das Multiplizieren von Matrizen einfach erklärt. Du erfährst, wann du zwei Matrizen miteinander multiplizieren kannst und wie du die Multiplikation durchführen musst.

Transkript Matrix-Matrix-Multiplikation

Mein Name ist Stefan Richter und heute zeige ich euch, wie man eine Matrix mit einer anderen multipliziert. Dies ist ähnlich einer Skalar Multiplikation eines Vektors mit einem anderen. Ich nenne das hier abgekürzt Vektormultiplikation. Also nehmen wir zwei Vektoren. Bei der Vektormultiplikation multipliziert man jede einzelne Zahl und addiert das dann. Ein Vektor mal ein anderer Vektor ergibt eine Zahl. Eine Matrix mal eine Matrix ergibt jedoch wieder eine Matrix. Matrix mal Matrix ergibt eine Matrix. Also die Matrix A mal der Matrix B ist gleich die Matrix C. Zuerst müssen wir prüfen, ob wir diese Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren können. Dafür ist wichtig, dass- Dabei ist wichtig, dass die Anzahl der Elemente einer Zeile der linken Matrix gleich der Anzahl an Elementen einer Spalte der rechten Matrix ist. Null ist auch ein Element, wichtig. Wir haben in der linken Zeile drei Elemente und auf der rechten in den Spalten auch. Also kann man diese Matrizen miteinander multiplizieren. Jetzt multiplizieren wir die erste Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte von der rechten Matrix. Und zwar so wie bei der Skalar Multiplikation von Vektoren. Also Element für Element. Wir rechnen also 1 mal 2 plus 2 mal 0 plus 3 mal 2. Anschließend nehmen wir die erste Zeile und die zweite Spalte und machen das Ganze nochmal. 1 mal 1 plus 2 mal 7 plus 3 mal -1. Jetzt mache ich das Spiel mit der nächsten Zeile. Bei der zweiten Zeile rechnen wir also 4 mal 2 plus 0 mal 0 plus 6 mal 2. Und schön alles ausrechnen. Jetzt mussten wir die einzelnen Elemente noch ausrechnen. Und das Ergebnis ist nicht zufällig eine Zahl von zwei Mal. Denn A hatte zwei Zeilen und B zwei Spalten. Dann versuchen wir das Ganze nochmal. Jetzt habe ich einen Tafelwischer. Das nächste Mal geht das schneller. Wo waren wir, weiteres Beispiel. Sieht erstmal ein bisschen wirr aus. Können wir diese Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren? Ja. Der linken Matrix also die Anzahl der Elemente einer Zeile der linken Matrix ist gleich der Anzahl der Elemente einer Spalte der rechten Matrix. Noch einmal zur Erklärung. 1 mal 1, 2 mal 3, 1 mal 0. Bei der zweiten Zeile können wir hier sehen, dass die Sache schon sehr einfach aussieht. Und zwar wäre hier eine 0 da eine 2 und da auch eine 0. Für das erste mache ich euch das nochmal vor. 0 mal 1 plus 2 mal 3 plus 0 mal 0. Da hier und hier eine Null sind und das praktisch zu drehen ist, werden diese Teile immer Null. Die obere und die untere Zeile der rechten Matrix und die mittlere Zeile einfach immer mal 2. Das heißt, wir können ganz einfachen hinschreiben 14 minus 2 und 0. Und das Ergebnis ist eine 2 Kreuz 4 Matrix: zwei Zeilen vier Spalten. Das war es.

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. extrem gut

    Von Lucastibudd, vor mehr als einem Jahr
  2. super video. danke!!!

    Von Janina S., vor mehr als 10 Jahren
  3. ziemlich gut erklärt :)

    Von Deleted User 19778, vor fast 11 Jahren
  4. ja sehr richtig

    Bei A*B muss die Spaltenanzahl von A = Zeilenanzahl von B sein
    oder wie ich es im Video gesagt habe.
    Die Anzahl der Elemente eine Zeile von A = Anzahl der Element einer Zeile von B
    Ist im Prinzip dasgleiche

    Von Steph Richter, vor etwa 12 Jahren
  5. Hi - bei der Multiplikation muss die Spaltenanzahl A gleich der Zeilenanzahl B sein.

    Von Lufthansa, vor etwa 12 Jahren
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