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Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung 05:59 min

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Transkript Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung

Hallo, in diesem Video üben wir die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Zunächst wiederholen wir das Schema dieser Multiplikation. Dann stehen drei Übungsaufgaben auf dem Programm. Eine kurze Auffrischung: Wie multiplizierst du eine Matrix A mit einem Vektor x? gegeben ist also eine m×n Matrix. Das heißt, eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Und ein n×1 Vektor, sprich ein Vektor mit n Zeilen und einer Spalte. Bevor du losrechnest. Die Spaltenzahl der Matrix muss mit der Zeilenzahl des Vektors übereinstimmen, sonst ist die Multiplikation nicht definiert. Du kannst also eine 2×2-Matrix zum Beispiel nicht mit einem dreizeiligen Vektor multiplizieren. Wie lautet nun das Ergebnis einer erlaubten Multiplikation? Das Ergebnis, wir nennen es y, ist ein Vektor mit m Zeilen. Jedes Element dieses Vektors berechnest du, indem du die Elemente der entsprechenden Zeile von A mit den Elementen der Spalte von x multiplizierst und diese Produkte dann summierst. Also y1 = a11×x1 + ...die weiteren Elemente bis hin zu a1n×xn und bis hin zu ym = am1×x1 + ... die weiteren Elemente bis hin zu amn×xn. In Kurzform bedeutet dies: Vektor auf Matrix legen, Paare multiplizieren und alles aufaddieren. Lange Rede, kurzes Sinn: Das müssen wir einfach üben. Erste Aufgabe: Wir multiplizieren diese 2×2-Matrix mit diesem Vektor. Wir legen hierfür den Vektor auf die erste Zeile der Matrix, multiplizieren und summieren auf (2×4+3×(-2)) = (8-6) = 2. Nun das Ganze mit der zweiten Zeile. (2×3+3×5) = (6+15) = 21. Das Ergebnis ist also der Vektor (2 21). Übung zwei: Gesucht ist das Produkt dieser Matrix und dieses Vektors. Wir halten uns an das Schema und erhalten in der ersten Zeile (5×2 + 7×(-2)+(-1)×(-4)) = 10 – 14 + 4 = 0. In der zweiten Zeile: (-3)×2 +5×(-2)+(-4)×(-4) = -6 - 10 + 16 = 0. Und in der dritten Zeile: (2x×2+0×(-2)+1×(-4) = 4 + 0 -4 = 0. Das Ergebnis ist also der Nullvektor. Eine dritte Übung. Wir multiplizieren diese Matrix mit diesem Vektor. Dieses Mal ist die Matrix allerdings nicht symmetrisch. Wir gehen auch hier zeilenweise vor. (3×2+(-1)×3) = 3. 4×2+0×3 = 8. 5×2+3×3 = 19. (-2)×2+7×3= 17. (-1)×2 + 1×3 = 1. Das Ergebnis ist ein fünfzeiliger Vektor. Du hast nun die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor geübt. Du siehst, wenn du A) zunächst prüfst: kann ich die Multiplikation überhaupt ausführen? B) dann sauber und konzentriert jede Matrixzeile mit dem Vektor durchmultiplizierst und aufaddierst. C) und dich am Ende davon überzeugst, dass das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Dann kann nichts schief gehen.

2 Kommentare
  1. Default

    was bedeutet das, wenn Matrix mit einem Vektor multipliziert? Oder warum darf man die beide multiplizieen?

    Von Jinzhijian123, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Toll erklärt =)

    Von Bucco19, vor mehr als 4 Jahren

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, welche Rechnung die richtige Multiplikation der Matrix $A$ mit dem gegebenen Vektor angibt.

    Tipps

    Was muss gelten, damit man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren kann?

    Erhält man eine Matrix oder einen Vektor als Ergebnis?

    Kurzform der Berechnung: Wir multiplizieren die Paare und addieren alles auf.

    Lösung

    Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen, um eine Multiplikation ausführen zu können. Die gegebene Matrix hat zwei Spalten und der Vektor hat zwei Zeilen, also können wir die Berechnung ausführen.

    Wir multiplizieren eine Matrix mit einem Vektor, indem wir die Elemente der entsprechenden Zeile von $A$ mit den Elementen der Spalte von $\vec x$ multiplizieren und anschließend die jeweiligen Produkte summieren. Das allgemeine Schema für die Multiplikation einer $2 \times 2$ Matrix mit einem $2 \times 1$ Vektor ist:

    $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 \\ a_{21}\cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 \end{array}\right)$.

    Bezogen auf unsere gegebenen Werte erhalten wir also den Vektor:

    $\left(\begin{array}{c} 2\cdot 4 + 3 \cdot (-2) \\ 2\cdot 3 + 3\cdot 5 \end{array}\right)$.

  • Gib an, welche Multiplikationen definiert sind.

    Tipps

    Ein Vektor hat immer nur eine Spalte.

    Was muss bei der Matrix und dem Vektor übereinstimmen, damit man deren Produkt bilden kann?

    Probiere, das Produkt zu berechnen. Wenn die Multiplikation nicht definiert ist, wirst du bei der Berechnung nicht zum Ziel gelangen.

    Lösung

    Um eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ausführen zu können, muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen. Wir vergleichen also bei jeder Aufgabe die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors. Sollten die Zahlen nicht übereinstimmen, so ist die Multiplikation nicht definiert.

    Betrachten wir beispielsweise diese Multiplikation:

    $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \\ 5 & 3 \\ -2 & 7 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) $

    So hat die Matrix zwei Spalten und der Vektor zwei Zeilen, also können wir das Produkt dieser Matrix mit dem gegebenen Vektor berechnen.

  • Multipliziere eine Einheitsmatrix mit einem Vektor.

    Tipps

    Denke dir ein Beispiel aus; achte dabei darauf, dass die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmt.

    Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$.

    Was erhältst du als Lösung?

    Lösung

    Eine Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonalen Einsen und sonst Nullen. Multiplizieren wir diese mit einem beliebigen Vektor $\vec x$, welcher dieselbe Zeilenanzahl hat wie die Matrix Spalten enthält, so erhalten wir immer wieder diesen Vektor $\vec x$.

    An Beispielen können wir uns dies deutlich machen:

    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1\cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3\\ 0\cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \\ 0\cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$

    $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1\cdot 4 + 0 \cdot 5 \\ 0\cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)$

    Die Einheitsmatrix ist also in der Multiplikation mit Vektoren (oder Matrizen) das neutrale Element, wie z. B. auch die Eins das neutrale Element in der Multiplikation reeller Zahlen ist: $1 \cdot 3 = 3$.

  • Ergänze die Aussagen zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

    Tipps

    Wie groß ist die Spaltenanzahl eines Vektors stets?

    Die Multiplikation

    $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

    ist nicht definiert.

    Kurzform der Berechnung: Wir multiplizieren die Paare und addieren alles auf.

    Lösung

    Das Schema der Multiplikation einer Matrix $A$ mit einem Vektor $\vec x$ ist allgemein formuliert:

    $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n}\cdot x_n\\ \vdots \\ a_{m1}\cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn}\cdot x_n \end{array}\right)$

    Dabei muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen.

    Beispielsweise kann man eine $3\times 2$ Matrix nur mit einem $2 \times 1$ Vektor (ein Vektor enthält immer nur eine Spalte) multiplizieren.

    Die Multiplikation

    $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

    wäre dagegen nicht definiert. Wie im Schema dargestellt, multiplizieren wir die jeweiligen Paare und summieren anschließend die Produkte.

  • Berechne das Produkt der Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec x$.

    Tipps

    Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor?

    Das Schema der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist allgemein formuliert:

    $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n}\cdot x_n\\ \vdots \\ a_{m1}\cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn}\cdot x_n \end{array}\right)$

    Lösung

    Wir multiplizieren die Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec x$, indem wir die Elemente der entsprechenden Zeile von $A$ mit den Elementen der Spalte von $\vec x$ multiplizieren und anschließend die jeweiligen Produkte summieren. Das allgemeine Schema für die Multiplikation einer $3 \times 3$ Matrix mit einem Vektor mit drei Zeilen ist:

    $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + a_{13} \cdot x_3\\ a_{21}\cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + a_{23} \cdot x_3 \\ a_{31}\cdot x_1 + a_{32} \cdot x_2 + a_{33} \cdot x_3 \end{array}\right)$

    Nun berechnen wir das Produkt der gegebenen Matrix mit dem gegebenen Vektor:

    $\begin{pmatrix} 6 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -4 \\ 7 & 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 6\cdot 1 + -2 \cdot -6 + 1 \cdot 0\\ 0\cdot 1 + 3 \cdot -2 + -4 \cdot 0 \\ 7\cdot 1 + 0 \cdot -2 + 5 \cdot 0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 10 \\ -6 \\ 7 \end{array}\right)$

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Aufgabe.

    Tipps

    Berechne als Erstes das Produkt innerhalb der Klammer.

    Man multipliziert eine Matrix mit einem Vektor, indem man die Elemente der entsprechenden Zeile der Matrix mit den Elementen der Spalte vom Vektor multipliziert und anschließend die jeweiligen Produkte summiert.

    Lösung

    Wir berechnen als Erstes das Produkt innerhalb der Klammer und erhalten einen Vektor als Lösung. Anschließend multiplizieren wir die andere Matrix mit diesem Vektor und erhalten unser Ergebnis:

    $\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} 2,5 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 12 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right) $

    $= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\left(\begin{array}{c} 2,5\cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4\cdot (-1) \\ 3\cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0\cdot (-1) \\ 10\cdot 2 + 4 \cdot 0 + 12\cdot (-1) \end{array} \right)\right) \\ = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 8 \end{array}\right) $

    $= \left(\begin{array}{c} 2\cdot 1 + 4 \cdot 6 + (-1)\cdot 8 \\ 0\cdot 1 + (-3) \cdot 6 + (-6)\cdot 8 \\ 8\cdot 1 + 0 \cdot 6 + 2\cdot 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ -66 \\ 24 \end{array}\right)$