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Manipulation statistischer Darstellungen

Zahlen und Diagramme sind häufig in den Medien zu sehen und werden verwendet, um Daten visuell zu präsentieren. Oft werden Diagramme manipuliert, um bestimmte Aussagen zu unterstützen. In diesem Text erfährst du, wie Diagramme durch verschiedene Methoden beeinflusst werden können. Neugierig? All das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Mathe-Team
Manipulation statistischer Darstellungen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Manipulation statistischer Darstellungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Manipulation statistischer Darstellungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Manipulation statistischer Darstellungen falsche Eindrücke hervorrufen.

    Tipps

    Zeichne ein übliches Koordinatensystem (im I. Quadranten) und trage dort das Koordinatengitter ein. Welche Form haben die Kästchen im Gitter?

    Ändere nur deine $y$-Achsen-Einteilung, sodass die Einteilung z.B. verdoppelt oder halbiert wird. Welche Form haben die Kästchen im Koordinatengitter nun?

    Wenn man beispielsweise den Fall eines Aktienkurses nicht darstellen will, sondern nur, wie der Kurs danach gestiegen ist, was müsste man dann tun?

    Wenn sich der Wert des Kindergeldes verdoppelt, muss sich die Figur (des Kinderwagens) im Diagramm auch verdoppeln. Wie nennt man solche Zuordnungen?

    Lösung

    Statistische Darstellungen dienen dazu, Aussagen zu stützen und zu veranschaulichen. Durch eine Verzerrung des Koordinatengitters, meist durch eine kleinere Einteilung der y-Achse, kann eine bestimmte Wirkung, wie z. B. ein rasanter Anstieg, hervorgerufen werden.

    Beginnt die vertikale Achse nicht bei Null, so wirkt die Entwicklung der Werte oft stärker.

    Möglicherweise wird nur ein spezieller Ausschnitt der Daten dargestellt, sodass beispielsweise der Fall des Aktienkurses nicht thematisiert wird.

    Bei der Darstellung von Figuren in Diagrammen ist darauf zu achten, dass die Größe der Figuren proportional mit den Werten der vertikalen Achse wächst, ansonsten wird der Betrachter durch die optische Vergrößerung getäuscht.

  • Nenne Gründe, warum die Grafik die Umsatzentwicklung nicht angemessen darstellt.

    Tipps

    Welche Veränderung an diesem Diagramm gilt als Manipulation der statistischen Daten?

    Liniendiagramme sind geeignet, um fortlaufende Daten im Verlauf der Zeit darzustellen.

    Aus welcher Vierecksform besteht ein unverzerrtes Koordinatengitter?

    Lösung

    In dem dargestellten Diagramm ist die Achseneinteilung auf der vertikalen Achse deutlich größer als auf der horizontalen Achse. Das hat zur Folge, dass das Koordinatengitter statt wie üblich aus Quadraten aus Rechtecken besteht und somit verzerrt ist. Die Grafik vermittelt so den Eindruck, dass der Umsatz rasant steigt.

    Hinzu kommt, dass die Darstellung nicht mathematisch korrekt ist, da die vertikale Achse bei 100 und nicht bei Null beginnt.

  • Entscheide, welche Diagramme manipuliert wurden.

    Tipps

    Kreis- und Balkendiagramme werden verwendet, um Prozentanteile am Ganzen darzustellen. Wie vielen Prozent entspricht das Ganze immer?

    Wie kann man eine Entwicklung von Werten, z.B. den Umsatz eines Ladens, in einem Diagramm stärker hervorheben?

    Lösung

    Das erste Diagramm soll dem Betrachter einen rasanten Anstieg des Umsatzes im ersten Quartal (in den ersten drei Monaten) vermitteln. Schaut man sich jedoch die Werte auf der vertikalen Achse genauer an, so erkennt man, dass die Einteilung manipuliert wurde. Die vertikale Achse hat erst eine Einteilung von $4580~€$ und steigt anschließend nur noch um weitere $5~€$.

    Die vertikale Achseneinteilung des zweiten Diagramms wurde nicht manipuliert; jeweils eine Längeneinheit entspricht $1000$ (Mitgliedern des Vereins). Der Betrachter wird also nicht getäuscht.

    Auch das Balkendiagramm wurde nicht manipuliert. Denn die Summe aller Prozentwerte entspricht $100~\%$ und auch die Einteilung der Abschnitte ist dementsprechend gewählt.

    Doch im Gegensatz dazu, wurde das Kreisdiagramm manipuliert. Addierst du alle angegebenen Prozentwerte, so stellst du fest, dass $50~\% + 40~\% + 10~\% + 15~\% = 115~\%$ nicht $100~\%$ entsprechen.

  • Prüfe, welche Diagramme die gegebene Wertetabelle korrekt darstellen.

    Tipps

    Welche Diagramm-Arten eignen sich überhaupt für solche Sachverhalte?

    Achte auf die Einteilung der vertikalen Achse.

    Lösung

    Das Kreisdiagramm eignet sich für die Darstellung von Prozentanteilen. Da man hier jedoch nicht die Werte in Prozent angegeben hat und somit die Anteile nicht berechnet hat, ist dieses Kreisdiagramm nicht zu wählen.

    Der Unterschied zwischen den beiden Liniendiagrammen ist die Einteilung der vertikalen Achse. Im ersten Liniendiagramm entspricht eine Längeneinheit stets 20 Bakterien, was somit eine korrekte Darstellung des Sachverhaltes angibt, im zweiten ändert sich jedoch die Einteilung von 20 zu 40 zu 80 Bakterien pro Längeneinheit. Es suggeriert somit einen linearen Anstieg und ist daher manipuliert.

    Das Säulendiagramm hat eine korrekte Achseneinteilung und eignet sich ebenfalls, um die Anzahl der Bakterien darzustellen. Daher ist dieses Diagramm für diesen Sachverhalt auch zu wählen.

  • Beurteile, welche Aussagen zu statistischen Diagrammen richtig sind.

    Tipps

    Wie muss das Koordinatengitter aussehen, damit keine bzw. damit eine Verzerrung vorliegt?

    Auf der horizontalen Achse können auch beispielsweise Jahreszahlen oder Monatsangaben dargestellt werden.

    Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn der Faktor, um den die Werte einer Achse steigen, dem Divisor entspricht, um den die Werte der anderen Achse fallen.

    Lösung

    In mathematisch korrekten Diagrammen beginnt die vertikale Achse stets bei Null. Lediglich die horizontale Achse muss nicht bei Null beginnen, da man auch beispielsweise Jahreszahlen oder Monatsangaben an der $x$-Achse darstellen kann.

    Wenn die Achseneinteilungen der jeweiligen Achsen gleich groß sind, enthält das Koordinatengitter ausschließlich Quadrate. Wählt man jedoch unterschiedlich große Einteilungen der Achsen, so besteht das Koordinatengitter aus Rechtecken und das Diagramm ist verzerrt.

    Die Größe der Figuren in Diagrammen müssen um denselben Faktor vergrößert werden wie auch die Werte sich vergrößern. Solche Zuordnungen nennt man proportional.

  • Berechne die Größe der Figur im Diagramm.

    Tipps

    Figuren in Diagrammen müssen proportional zu den Werten auf der vertikalen Achse vergrößert bzw. verkleinert werden.

    Verwende beispielsweise den Dreisatz, um die proportional abgenommene Fläche zu berechnen.

    Lösung

    Der Flächeninhalt der Bildschirm-Figur für $600~€$ beträgt $480~mm^2$. Mit Hilfe des Dreisatzes können wir den proportional abgenommenen Flächeninhalt der zweiten Bildschirm-Figur berechnen. Betrachte die Tabelle: Wir berechnen als Erstes, wie viele Quadratmillimeter einem Euro entsprechen und multiplizieren dies mit $250$, um die gesuchte Fläche für $250~€$ zu erhalten.