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Manipulation statistischer Darstellungen

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Mathe-Team
Manipulation statistischer Darstellungen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Manipulation statistischer Darstellungen

Inhalt

Zahlen und Diagramme in Medien

Zahlen und Diagramme begegnen uns täglich in Zeitungen und anderen Medien. Sie dienen dazu, Aussagen zu veranschaulichen, indem Daten bildlich dargestellt werden. Häufig werden Diagramme jedoch auch verzerrt dargestellt, um bestimmte Aussagen zu unterstützen. Solche manipulierten Diagramme werden vielfältig in Zeitungen und im Internet eingesetzt. Um die Beeinflussung von Diagrammen zu erkennen, schauen wir uns die Manipulation der Statistik an verschiedenen Beispielen an.

Manipulation von Diagrammen

Um mit Diagrammen einen falschen Eindruck zu erwecken, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

  • Verzerrung der $x$- und $y$-Achsen
  • Manipulation der $y$-Achse
  • Einschränkung des Auswahlbereichs auf der $x$-Achse
  • Verwendung falscher Größendarstellungen

Beispiele manipulierter Diagramme

Im Folgenden schauen wir uns ein paar Beispiele von irreführenden Diagrammen an.

Verzerrung der $x$- und $y$-Achsen

Werden die Zahlen an der $x$- und der $y$-Achse nicht wie üblich in gleichen Abständen, sondern in unterschiedlichen Abständen aufgetragen, entsteht ein verzerrtes Bild.

Verzerrung der Achsen in Diagrammen

In diesen beiden Diagrammen ist der Umsatz eines Unternehmens dargestellt. Auf der $y$-Achse ist der Umsatz in € und auf der $x$-Achse die Zeit in Monaten aufgetragen. Im linken Diagramm sind die Abstände auf der $y$-Achse größer als auf der $x$-Achse. Dies wird auch daran deutlich, dass das Koordinatengitter aus Rechtecken besteht. Dadurch wird der Eindruck eines stark steigenden Umsatzes erzeugt. Im rechten Diagramm sind die Abstände auf der horizontalen und der vertikalen Achse gleich, das Koordinatengitter besteht daher hier, wie üblich, aus Quadraten. Damit wirkt der Umsatzanstieg nicht mehr so stark.

Manipulation der $y$-Achse

Ein manipuliertes Diagramm kann auch dadurch entstehen, dass die $y$-Achse nicht wie üblich bei $0$, sondern bei einem höheren Wert beginnt.

Manipulation der y-Achse in Diagrammen

In diesem Beispiel sehen wir den Unterschied: Bei dem linken Diagramm fängt die $y$-Achse bei $100$ statt bei $0$ an, dadurch wirkt die Umsatzentwicklung im linken Diagramm anders als im rechten Diagramm.

Einschränkung des Auswahlbereichs der $x$-Achse

Durch eine geschickte Auswahl des Datenbereichs kann ein bestimmter Eindruck hervorgerufen werden. Wir schauen uns dazu das Diagramm eines Aktienkurses an.

Einschränkung des Auswahlbereichs in Diagrammen

Der Ausschnitt im linken Diagramm erweckt den Eindruck eines stark steigenden Kurses. Im rechten Diagramm ist jedoch ein größerer Zeitraum dargestellt. Mit Einbezug des vorangegangenen Abwärtstrends stellt der Aufwärtstrend nur die Erholung des gefallenen Aktienkurses dar.

Verwendung falscher Größendarstellungen

Manche Diagramme verwenden Bilder zur Veranschaulichung von Daten. Verändern sich dabei die Größen der Bilder nicht im gleichen Maße wie die Daten, entsteht ein falscher Eindruck.

Zusammenfassung zu irreführenden Diagrammen

Wir haben ein paar irreführende Diagramme einfach erklärt, indem wir uns die manipulierten Darstellungsformen angesehen haben. Wir haben verschiedene manipulierte Statistiken und Diagramme betrachtet. Wenn du noch mehr Übungen zu manipulierten Diagrammen suchst, wirst du auf dieser Seite fündig. Hier findest du außerdem ein Arbeitsblatt zu manipulierten und irreführenden Diagrammen.

Transkript Manipulation statistischer Darstellungen

Hallo! Zahlen und Diagramme begegnen uns täglich in Zeitungen und anderen Medien. Sie werden dazu verwendet Aussagen zu stützen und zu veranschaulichen. Doch wie verlässlich sind diese Darstellungen? Hier siehst du eine Grafik, die den Umsatz einer Firma veranschaulicht, hier die Darstellung eines Aktienkurses und hier zuletzt die Entwicklung des Kindergeldes im Zeitraum von 1998 bis 2002. Alle drei Grafiken suggerieren eine positive Entwicklung. Der Umsatz der Firma steigt rasant, der Wert der Aktien nimmt enorm zu und die Höhe des Kindergeldes vervielfachte sich in nur wenigen Jahren. Diese Eindrücke täuschen. Warum? Das erkläre ich dir nun im Video. Hier siehst du eine Grafik, die den Umsatz einer Firma veranschaulicht. Die x Achse kennzeichnet die Monate und die y Achse den Umsatz der Firma in Euro. Die Grafik vermittelt den Eindruck, dass der Umsatz rasant steigt. Dieser Eindruck entsteht durch eine Verzerrung der vertikalen und horizontalen Achse. Schau dir einmal das Koordinatengitter an. Es besteht nicht, wie üblich, aus Quadraten, sondern aus Rechtecken. Ohne Verzerrung sieht die Umsatzentwicklung so aus. Aber selbst diese Darstellung ist mathematisch noch nicht korrekt, denn die vertikale Achse beginnt bei 100 und nicht bei 0. Nun sieht die Umsatzentwicklung schon nicht mehr so spektakulär wie zuvor aus. Diese Grafik zeigt den Ausschnitt eines Aktienkurses. Er vermittelt den Eindruck, dass sich der Aktienkurs steil aufwärts entwickelt hat. Als Geldanleger würde man den Eindruck gewinnen, dass eine Investition gewinnversprechend ist. Betrachten wir den Aktienkurs aber über einen längeren Zeitraum. Nun siehst du, dass der Aktienkurs zuvor viel höher war und dann tief gefallen ist. Mit Einbezug des vorangegangenen Abwärtstrends stellt der Aufwärtstrend eigentlich nur die Erholung des gefallenen Aktienkurses dar. Als Geldanleger würde man nun vielleicht zögern, zu investieren. Du siehst, dass der gezeigte Ausschnitt des Aktienkurses zuvor sehr begünstigend gewählt und dadurch falsch interpretiert wurde. Diese Darstellung zeigt die Entwicklung des Kindergeldes in den Jahren 1998 bis 2002. Die Größe des Kinderwagens suggeriert die Höhe des Kindergeldes. Indem sich die Größe des Kinderwagens enorm vervielfacht, gelangt man zur Schlussfolgerung, dass sich ebenso die Höhe des Kindergeldes vervielfacht hat. Stimmt das? Der Kinderwagen von 1998 passt ungefähr 16 mal in den Kinderwagen von 2002. Das bedeutet, dass die Höhe des Kindergeldes von 2002 eigentlich 16 mal so groß wie 1998 sein sollte, das wären ungefähr 1800 Euro. Tatsächlich sind es aber nur 154 Euro. Du siehst, dass der Anstieg der Größe des Kinderwagens sich nicht proportional zur Erhöhung des Kindergeldes verhält. Die gewählte Darstellung täuscht also über die wahren Zahlenverhältnisse hinweg. Wir fassen zusammen: Zahlen und Diagramme begegnen uns täglich in Zeitungen und anderen Medien. Wie du gesehen hast, können statistische Diagramme manchmal auch verzerrt sein, um eine gewisse Aussage zu stützen. Die Mathematik gibt dir die Werkzeuge zur Hand, sodass du diese Grafiken selbst interpretieren kannst und nicht voreilige Schlüsse ziehst. Tschüss!

4 Kommentare
4 Kommentare
  1. それは本当に助かりました

    Von Alissa L., vor mehr als 2 Jahren
  2. Malibu

    Von Ppaulaborges, vor mehr als 4 Jahren
  3. Gut gemacht

    Von Samy S., vor mehr als 4 Jahren
  4. Gut gemacht

    Von Fabian Hausy, vor mehr als 5 Jahren

Manipulation statistischer Darstellungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Manipulation statistischer Darstellungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Manipulation statistischer Darstellungen falsche Eindrücke hervorrufen.

    Tipps

    Zeichne ein übliches Koordinatensystem (im I. Quadranten) und trage dort das Koordinatengitter ein. Welche Form haben die Kästchen im Gitter?

    Ändere nur deine $y$-Achsen-Einteilung, sodass die Einteilung z.B. verdoppelt oder halbiert wird. Welche Form haben die Kästchen im Koordinatengitter nun?

    Wenn man beispielsweise den Fall eines Aktienkurses nicht darstellen will, sondern nur, wie der Kurs danach gestiegen ist, was müsste man dann tun?

    Wenn sich der Wert des Kindergeldes verdoppelt, muss sich die Figur (des Kinderwagens) im Diagramm auch verdoppeln. Wie nennt man solche Zuordnungen?

    Lösung

    Statistische Darstellungen dienen dazu, Aussagen zu stützen und zu veranschaulichen. Durch eine Verzerrung des Koordinatengitters, meist durch eine kleinere Einteilung der y-Achse, kann eine bestimmte Wirkung, wie z. B. ein rasanter Anstieg, hervorgerufen werden.

    Beginnt die vertikale Achse nicht bei Null, so wirkt die Entwicklung der Werte oft stärker.

    Möglicherweise wird nur ein spezieller Ausschnitt der Daten dargestellt, sodass beispielsweise der Fall des Aktienkurses nicht thematisiert wird.

    Bei der Darstellung von Figuren in Diagrammen ist darauf zu achten, dass die Größe der Figuren proportional mit den Werten der vertikalen Achse wächst, ansonsten wird der Betrachter durch die optische Vergrößerung getäuscht.

  • Nenne Gründe, warum die Grafik die Umsatzentwicklung nicht angemessen darstellt.

    Tipps

    Welche Veränderung an diesem Diagramm gilt als Manipulation der statistischen Daten?

    Liniendiagramme sind geeignet, um fortlaufende Daten im Verlauf der Zeit darzustellen.

    Aus welcher Vierecksform besteht ein unverzerrtes Koordinatengitter?

    Lösung

    In dem dargestellten Diagramm ist die Achseneinteilung auf der vertikalen Achse deutlich größer als auf der horizontalen Achse. Das hat zur Folge, dass das Koordinatengitter statt wie üblich aus Quadraten aus Rechtecken besteht und somit verzerrt ist. Die Grafik vermittelt so den Eindruck, dass der Umsatz rasant steigt.

    Hinzu kommt, dass die Darstellung nicht mathematisch korrekt ist, da die vertikale Achse bei 100 und nicht bei Null beginnt.

  • Entscheide, welche Diagramme manipuliert wurden.

    Tipps

    Kreis- und Balkendiagramme werden verwendet, um Prozentanteile am Ganzen darzustellen. Wie vielen Prozent entspricht das Ganze immer?

    Wie kann man eine Entwicklung von Werten, z.B. den Umsatz eines Ladens, in einem Diagramm stärker hervorheben?

    Lösung

    Das erste Diagramm soll dem Betrachter einen rasanten Anstieg des Umsatzes im ersten Quartal (in den ersten drei Monaten) vermitteln. Schaut man sich jedoch die Werte auf der vertikalen Achse genauer an, so erkennt man, dass die Einteilung manipuliert wurde. Die vertikale Achse hat erst eine Einteilung von $4580~€$ und steigt anschließend nur noch um weitere $5~€$.

    Die vertikale Achseneinteilung des zweiten Diagramms wurde nicht manipuliert; jeweils eine Längeneinheit entspricht $1000$ (Mitgliedern des Vereins). Der Betrachter wird also nicht getäuscht.

    Auch das Balkendiagramm wurde nicht manipuliert. Denn die Summe aller Prozentwerte entspricht $100~\%$ und auch die Einteilung der Abschnitte ist dementsprechend gewählt.

    Doch im Gegensatz dazu, wurde das Kreisdiagramm manipuliert. Addierst du alle angegebenen Prozentwerte, so stellst du fest, dass $50~\% + 40~\% + 10~\% + 15~\% = 115~\%$ nicht $100~\%$ entsprechen.

  • Prüfe, welche Diagramme die gegebene Wertetabelle korrekt darstellen.

    Tipps

    Welche Diagramm-Arten eignen sich überhaupt für solche Sachverhalte?

    Achte auf die Einteilung der vertikalen Achse.

    Lösung

    Das Kreisdiagramm eignet sich für die Darstellung von Prozentanteilen. Da man hier jedoch nicht die Werte in Prozent angegeben hat und somit die Anteile nicht berechnet hat, ist dieses Kreisdiagramm nicht zu wählen.

    Der Unterschied zwischen den beiden Liniendiagrammen ist die Einteilung der vertikalen Achse. Im ersten Liniendiagramm entspricht eine Längeneinheit stets 20 Bakterien, was somit eine korrekte Darstellung des Sachverhaltes angibt, im zweiten ändert sich jedoch die Einteilung von 20 zu 40 zu 80 Bakterien pro Längeneinheit. Es suggeriert somit einen linearen Anstieg und ist daher manipuliert.

    Das Säulendiagramm hat eine korrekte Achseneinteilung und eignet sich ebenfalls, um die Anzahl der Bakterien darzustellen. Daher ist dieses Diagramm für diesen Sachverhalt auch zu wählen.

  • Beurteile, welche Aussagen zu statistischen Diagrammen richtig sind.

    Tipps

    Wie muss das Koordinatengitter aussehen, damit keine bzw. damit eine Verzerrung vorliegt?

    Auf der horizontalen Achse können auch beispielsweise Jahreszahlen oder Monatsangaben dargestellt werden.

    Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn der Faktor, um den die Werte einer Achse steigen, dem Divisor entspricht, um den die Werte der anderen Achse fallen.

    Lösung

    In mathematisch korrekten Diagrammen beginnt die vertikale Achse stets bei Null. Lediglich die horizontale Achse muss nicht bei Null beginnen, da man auch beispielsweise Jahreszahlen oder Monatsangaben an der $x$-Achse darstellen kann.

    Wenn die Achseneinteilungen der jeweiligen Achsen gleich groß sind, enthält das Koordinatengitter ausschließlich Quadrate. Wählt man jedoch unterschiedlich große Einteilungen der Achsen, so besteht das Koordinatengitter aus Rechtecken und das Diagramm ist verzerrt.

    Die Größe der Figuren in Diagrammen müssen um denselben Faktor vergrößert werden wie auch die Werte sich vergrößern. Solche Zuordnungen nennt man proportional.

  • Berechne die Größe der Figur im Diagramm.

    Tipps

    Figuren in Diagrammen müssen proportional zu den Werten auf der vertikalen Achse vergrößert bzw. verkleinert werden.

    Verwende beispielsweise den Dreisatz, um die proportional abgenommene Fläche zu berechnen.

    Lösung

    Der Flächeninhalt der Bildschirm-Figur für $600~€$ beträgt $480~mm^2$. Mit Hilfe des Dreisatzes können wir den proportional abgenommenen Flächeninhalt der zweiten Bildschirm-Figur berechnen. Betrachte die Tabelle: Wir berechnen als Erstes, wie viele Quadratmillimeter einem Euro entsprechen und multiplizieren dies mit $250$, um die gesuchte Fläche für $250~€$ zu erhalten.

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