Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Überblick
  • Ganzrationale Funktionen
• Rechenregeln für unbestimmte Integrale
  • Die Potenzregel der Integration
  • Die Summenregel der Integration
  • Die Faktorregel der Integration
• Bestimmte Integrale
  • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Beispiel

Überblick

Betrachten wir $f(x)$ als eine beliebige integrierbare Funktion. Dann heißt jede Funktion $F(x)$, deren Ableitung $F'(x)=f(x)$ ist, Stammfunktion der Funktion $f(x)$.

Wenn $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann ist auch jede Funktion $F(x)+c$ mit $c \in \mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Konstanten fallen beim Ableiten nämlich weg:

$(F(x)+c)'=F'(x)+0=f(x)$.

Die Konstante $c$ wird als Integrationskonstante bezeichnet.

Die Menge aller Stammfunktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet:

$\int~f(x)~dx = \{ F(x) | F'(x)=f(x) \}$

Ganzrationale Funktionen

In der Schule werden dir häufig ganzrationale Funktionen begegnen. Diese werden auch Polynome genannt und sehen wie folgt aus:

$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_2x^2+a_1x+a_0$.

Es muss $a_n\neq 0$ gelten. Der Grad dieser Funktion ist der höchste Exponent $n$ und die Faktoren vor den Potenzen $a_n$, ..., $a_0$ werden als Koeffizienten der ganzrationalen Funktion bezeichnet.

Beispiele für ganzrationale Funktionen sind $f(x)=2x^4+x^2-2x+1$ oder $f(x)=\frac13 x^2+2x-3$.

Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Wir wollen im Folgenden untersuchen, wie wir Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen können. Die Rechenregeln, die wir dazu benötigen, sind jeweils Umkehrungen von Rechenregeln der Differentiation: Potenzregel, Faktorregel und Summenregel.

Die Potenzregel der Integration

Wenn wir eine Potenzfunktion ableiten wollen, gilt $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Der Exponent wird als Faktor „nach vorne gezogen“ und verringert sich im Exponenten um $1$.

Beim Integrieren wird der Exponent umgekehrt um $1$ vergrößert. Zusätzlich wird durch den um $1$ erhöhten Exponenten dividiert:

$\int~x^n~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$.

Um nicht durch $0$ zu teilen, muss $n\neq -1$ gelten. Die Integrationskonstante $c$ muss nicht unbedingt berücksichtigt werden.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

• $\int~x^3~dx=\frac1{3+1}\cdot x^{3+1}+c=\frac14x^4+c$
• $\int~x^6~dx=\frac17x^7+c$
• $\int~1~dx=\int~x^0~dx=\frac1{0+1}\cdot x^{0+1}+c=x+c$

Die Summenregel der Integration

Wenn wir eine Summe von Funktionen integrieren wollen, können wir jeden Summanden einzeln integrieren und die resultierenden Integrale dann addieren:

$\int~(u(x)+v(x))~dx=\int~u(x)~dx+\int~v(x)~dx$.

Schauen wir uns auch dazu ein paar Beispiele an.

• $\int~(x^3+x^2)~dx=\int~x^3~dx+\int~x^2~dx=\frac14x^4+\frac13x^3+c$
• $\int~(x^6-1)~dx=\int~x^6~dx-\int~1~dx=\frac17x^7-x+c$

Die Faktorregel der Integration

Wenn du das Produkt eines konstanten Faktors und einer Funktion integrieren sollst, integrierst du die Funktion und multiplizierst das resultierende Integral mit dem konstanten Faktor:

$\int~(k\cdot f(x))~dx=k\cdot \int~f(x)~dx$.

Das hört sich komplizierter an, als es in Wirklichkeit ist:

• $\int~(2x^3)~dx=2\cdot\int~x^3~dx=2\cdot \frac14x^4+c=\frac12x^4+c$,
• $\int~\left(\frac13x^6\right)~dx=\frac13\cdot\frac17x^7+c=\frac1{21}x^7+c$,
• $\int~k~dx=\int~(k\cdot 1)~dx= k \cdot \int~1~dx=kx+c$.

Wenn du überprüfen möchtest, ob die von dir ermittelte Stammfunktion korrekt ist, kannst du diese ableiten und das Ergebnis mit $f(x)$ vergleichen. Es gilt bekanntlich immer $F'(x)=f(x)$.

Bestimmte Integrale

Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Integration ist die Flächenberechnung. Hierfür benötigen wir in der Regel das bestimmte Integral. Im Gegensatz zum unbestimmten Integral gibt es beim bestimmten Integral Integrationsgrenzen $a$ und $b$:

$\int\limits_a^b~f(x)~dx$.

Um das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$ zu berechnen, benötigst du zunächst eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$. Dann kannst du das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

$\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

Im Allgemeinen gibt das bestimmte Integral eine Flächenbilanz an. Wenn der Graph einer Funktion auf einem Intervall $I=[a;b]$ oberhalb oder auf der x-Achse liegt, gibt das bestimmte Integral einen Flächeninhalt an.

Beispiel

Schauen wir uns ein Beispiel an: $f(x)=x^3-3x^2+4$. Den zugehörigen Funktionsgraphen kannst du hier sehen:

Wir wollen den Inhalt des Flächenstücks berechnen, welches von der x-Achse und dem Graphen der Funktion über dem Intervall $I=[0;2]$ eingeschlossen wird. Du kannst in dem Bild erkennen, dass der Funktionsgraph auf diesem Intervall komplett oberhalb oder auf der x-Achse liegt.

Die untere Integrationsgrenze ist $a=0$, die obere Integrationsgrenze ist $b=2$. Damit wird der gesuchte Flächeninhalt beschrieben durch:

$A=\int \limits_0^2~(x^3-3x^2+4)~dx$.

Im nächsten Schritt wollen wir die Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ finden. In der Regel wird die Integrationskonstante bei der Ermittlung von Stammfunktionen vernachlässigt. Wir verwenden die uns bekannten Integrationsregeln (**Potenz-, Summen- sowie Faktorregel:

$F(x)=\frac14x^4-x^3+4x$.

Nun können wir endlich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden:

$\begin{array}{rcl} A&=&\int\limits_0^2~(x^3-3x^2+4)~dx\\ &=&\left[\frac14x^4-x^3+4x\right]_0^2\\ &=&\left(\frac142^4-2^3+4\cdot 2\right)-\left(\frac140^4-0^3+4\cdot 0\right)\\ &=&4 \end{array}$

Das Flächenstück hat den Inhalt $4$ [FE].