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Logarithmische Integration

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Logarithmische Integration
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Logarithmische Integration

Hallo! In diesem Video lernst du, was man unter der Integrationsregel "Logarithmische Integration" versteht und wie man sie herleitet. Anhand eines Beispiels werden wir zusammen sehen, dass die Regel gilt. Dazu benutzen wir die Kettenregel der Differentialrechnung. Danach werden wir die logarithmische Integration allgemein herleiten. Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Logarithmische Integration

Hallo, ich bin Anne. Und ich erkläre dir heute die Integrationsregel logarithmische Integration. Dazu wollen wir an einem Beispiel diese Regel nachrechnen. Dazu wiederholen wir die Kettenregel der Differentialrechnung und dann wollen wir die Regel nochmal allgemein herleiten. Ja, diese logarithmische Integration, dabei geht es darum, wir suchen die Stammfunktion eines Quotienten, der besteht einmal aus der Ableitung einer Funktion durch die Funktion selbst. Und die Stammfunktion davon ist der natürliche Logarithmus des Betrages der Funktion selbst plus c. C ist wieder so eine Integrationskonstante, also irgendeine reelle Zahl. Man muss jetzt noch dazu sagen, dass diese Regel nur gilt, wenn g(x) ungleich null ist, da ja sonst dieser Quotient nicht definiert ist. Und zwar für alle x aus dem Definitionsbereich. Außerdem muss g differenzierbar sein, da sonst diese Ableitung von g nicht existiert. Ja, wir wollen jetzt als erstes ein Beispiel rechnen. Und zwar überlegen wir uns jetzt eine Funktion, die diesen Aufbau hat: Natürlicher Logarithmus vom Betrag einer Funktion. Und diese Funktion nennen wir insgesamt h(x). Und da nehmen wir jetzt mal als Beispiel der natürlichen Logarithmus vom Betrag von x³ plus 2x plus 1. Die leiten wir ab und wir gucken, ob wir auf diese Form kommen. Ja, wie kann man diese Funktion ableiten? Mit Hilfe der Kettenregel, da wir eine äußere Funktion haben und eine innere Funktion. Also, wir brauchen die Kettenregel. Die Funktion oder y hat dann immer den Aufbau f(g(x)): f ist diese äußere Funktion und g ist diese innere Funktion. Was ist jetzt die Ableitung davon? Also y’, das ist f’(g(x)), quasi die äußere Ableitung, multipliziert mit der inneren Ableitung, also mal g’(x). Und das müssen wir jetzt auf unser Beispiel anwenden. Bei uns ist die äußere Funktion der natürliche Logarithmus, also f(x): natürlicher Logarithmus von Betrag von x. Und jetzt müssen wir überlegen, was ist die Ableitung davon? Und das ist 1 durch x. Das heißt, wir bekommen jetzt hier als Ableitung heraus: 1 durch, jetzt müssen wir die Funktion selbst nehmen im Nenner, also x³ plus 2x plus 1, mal der Ableitung der inneren Funktion. Die innere Funktion ist jetzt x³ plus 2x plus 1 und die Ableitung davon ist 3x² plus 2. So, jetzt schreibe ich das nochmal als Bruch richtig auf: 3x² plus 2, durch x³ plus 2x plus 1. So, wenn jetzt dieser Ausdruck die Ableitung ist von dieser Funktion, dann können wir die Überlegung umdrehen. Das bedeutet, die Stammfunktion von diesem Ausdruck ist dann diese Funktion. Also, die Stammfunktion von 3x² plus 2, durch x³ plus 2x plus 1 dx ist der natürliche Logarithmus von x³ plus 2x plus 1, plus c, die Integrationskonstante. So und jetzt sehen wir schon, dass wir diesen allgemeinen Aufbau wieder haben. Also, hier steht der Quotient, hier steht die Funktion g(x) und im Zähler steht ihre Ableitung. So, also für dieses Beispiel klappt es. Und jetzt wollen wir das nochmal allgemein herleiten, was aber auch nicht so schwer ist. Also, die Idee war, ich fange an mit der Funktion, die hier rechts steht. Also, natürlicher Logarithmus vom Betrag von g(x) und das leite ich ab. Jetzt allgemein macht man das natürlich auch wieder mit der Kettenregel. Die äußere Ableitung vom natürlichen Logarithmus ist jetzt wieder 1 durch x, also 1 durch g(x). Dann brauchen wir die innere Ableitung, also die Ableitung von g(x). Die ist jetzt wieder g’(x). Da das hier jetzt allgemein formuliert ist, kann ich das nicht genauer aufschreiben. Und jetzt habe ich quasi schon diesen Quotienten rausbekommen, also g’(x) durch g(x). Und jetzt drehen wir diese Überlegung wieder um. Von dieser Funktion ist das die Ableitung, also ist die Stammfunktion von dem Quotienten g’(x) durch g(x) dx gleich der natürliche Logarithmus vom Betrag von g(x), plus c. Wir haben jetzt also diese Integrationsregel anhand eines Beispiels hergeleitet und allgemein. Und ich fasse jetzt nochmal kurz zusammen, was du heute gelernt hast: also, wir haben uns die Integrationsregel logarithmische Integration allgemein angeguckt. Dann haben wir eine Idee entwickelt, wie wir sie nachweisen können. Das haben wir erst mal anhand eines Beispiels nachgerechnet. Dafür haben wir die Kettenregel der Differentialrechnung benutzt. Und dann haben wir es nochmal allgemein hergeleitet. Ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, deine Anne.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Merry 07: Wie du schon richtig festgestellt hast, liegt der Fehler bei v vor. Hier die partielle Integration zu nutzen ist ungünstig. Du solltest es mal mit der Substitution (u=x³+2x+1) probieren. Dadurch lässt sich hier das Integral deutlich einfacher bestimmen.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 5 Jahren
  2. Hallo liebes Sofatutor-Team,
    bei 6:27 (Integration von h´(x) habe ich es mal mit der partiellen Integration versucht, nur komme ich leider nicht auf das Ergebnis. als u = 3x^2+2 u´= 6x73
    und v´= 1/x^3+2x+1 v= ln (x^3+2x+1)/3x^2+2 und ich glaube bei v liegt mein Problem. Vielen Dank für Eure Hilfe.

    Von Merry 07, vor mehr als 5 Jahren
  3. Super erklärt ! Danke

    Von Abi2016, vor mehr als 6 Jahren

Logarithmische Integration Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmische Integration kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Integrationsregel für die logarithmische Integration wieder.

    Tipps

    Zur Probe leite deine Stammfunktion mit der Kettenregel ab. Das Ergebnis müsste wieder $\frac{g'(x)}{g(x)}$ sein.

    Der Nenner eines Bruches muss verschieden von null sein.

    $g''$ steht für die zweite Ableitung von $g$.

    Lösung

    Wir betrachten ein Integral mit dieser Gestalt $\int \frac{g'(x)}{g(x)}~dx$.

    Die erste Bedingung hierfür ist, dass die Funktion im Nenner differenzierbar ist, da sonst ihre Ableitung im Zähler nicht existieren würde.

    Außerdem darf die Funktion im Nenner selbst nicht $0$ sein, da Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

    Merke:

    • $g(x) \ne 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich.
    • $g(x)$ muss differenzierbar sein.
    Sind diese Kriterien erfüllt, kann man folgende Regel für das Bilden der Stammfunktion verwenden:

    $$\int \frac{g'(x)}{g(x)}~dx=ln |g(x)| + c$$

    Man bildet also den Betrag des Nenners, wendet darauf den natürlichen Logarithmus an und addiert wie üblich die Integrationskonstante $c$.

  • Bestimme die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel und die Stammfunktion mit der logarithmischen Integration.

    Tipps

    Die Quotientenform bildet man mit Hilfe der Kettenregel. Man leitet die gegebene Funktion also zuerst so ab:

    Ein Beispiel für das Ableiten mit Kettenregel.

    Der natürliche Logarithmus wird so abgeleitet:

    Die Stammfunktion zu $\frac{g'(x)}{g(x)}$ lautet $\ln |g(x)|+c$.

    Lösung

    Um den Funktionsterm als Bruch schreiben zu können, müssen wir seine Ableitung bilden. Dies können wir mit der Kettenregel.

    Die äußere Funktion ist dabei der Logarithmus; die innere Funktion ein Polynom dritten Grades.

    Wir leiten ab:

    $h(x)=ln|x^3+2x+1|$

    $h'(x)= \frac{1}{x^3+2x+1} \cdot (3x^2 +2)$

    $h'(x)= \frac{3x^2 + 2}{x^3+2x+1}$

    Jetzt können wir mit Hilfe der Logarithmischen Integrationsregel die Stammfunktion von $h'(x)$ bestimmen. Dazu verwenden wir den Nenner und schreiben ihn als Betrag in einen natürlichen Logarithmus. Vergiss nicht die Integrationskonstante $c$:

    $ln|x^3+2x+1|+c$

    Natürlich hätten wir die Stammfunktion von $h'(x)$ direkt angeben können, denn es gilt:

    $$ \int h'(x)~dx = h(x) +c$$

  • Bilde die Ableitung der verketteten Logarithmusfunktion.

    Tipps

    Man leitet mit Hilfe der Kettenregel ab.

    Ein Beispiel für die Kettenregel:

    Hier hast du die allgemeine Ableitung einer Logarithmusfunktion:

    Für die Ableitung von $f(x)=\ln |g(x)|$ gilt:

    Lösung

    Der gegebene Funktionsterm lautet:

    $f(x)=ln|4x^4-x^2+6|$

    Wir leiten mit Hilfe der Kettenregel ab. Dazu bilden wir zunächst die äußere Ableitung, also die Ableitung des natürlichen Logarithmus. Danach multiplizieren wir das mit der Ableitung des Ausdrucks innerhalb des Logarithmus:

    $f'(x)= \frac{1}{4x^4-x^2+6} \cdot (16x^3-2x)$

    Dieses Produkt können wir noch zu einem Bruch zusammenfassen. Unsere Ableitung sieht dann so aus:

    $f'(x)=\frac{16x^3-2x}{4x^4-x^2+6}$

  • Bestimme die Stammfunktionen dieser Funktion.

    Tipps

    Die allgemeine Ableitung des natürlichen Logarithmus:

    Man bildet die Stammfunktion mit Hilfe des Nenners:

    Beachte, dass zwei Ausdrücke richtig sind.

    Die zweite binomische Formel besagt:

    Lösung

    Die gegebene Funktion lautet

    $f(x)= \frac{2\cdot (2x^2-7x) \cdot (4x-7)}{(2x^2-7x)^2}$

    Wir können eine Stammfunktion bilden, wenn die Funktion in der Form $\frac{g'(x)}{g(x)}$ vorliegt.

    Das ist in der Tat der Fall, denn mit der Kettenregel berechnen wir:

    $$\left( (2x^2-7x)^2 \right) '=2\cdot (2x^2-7x) \cdot (2x^2-7x)' = 2\cdot (2x^2-7x) \cdot (4x-7)$$

    Jetzt verwenden wir den Nenner, um die Stammfunktion zu bilden:

    $F(x)=ln|(2x^2-7x)^2| + c$

    Natürlich kann man die Klammer auch ausmultiplizieren. Dazu benötigt man die zweite binomische Formel:

    $F(x)=ln|4x^4 - 28x^3 + 49x^2| + c$.

    Beide Varianten sind richtige Stammfunktionen für $f$.

  • Nenne die Regel, um die Ableitung von $\ln |g(x)|$ zu bestimmen.

    Tipps

    Hier ein Beispiel, in dem ein Ausdruck in einen Quotienten umgewandelt wird:

    Bei der Ableitungsregel spielen die innere und äußere Funktion eine wichtige Rolle.

    Lösung

    Betrachten wir ein Beispiel, in dem durch Ableiten eine verkettete Logarithmusfunktion zu einem Bruch wird:

    $h(x)=ln|x^3+2x+1|$

    $h'(x)= \frac{1}{x^3+2x+1} \cdot (3x^2 +2)$

    $h'(x)= \frac{3x^2 + 2}{x^3+2x+1}$

    Der Logarithmus selbst ist hier eine äußere Funktion.

    Der Ausdruck innerhalb des Logarithmus ist die innere Funktion.

    Diese Zusammenstellung kennen wir von der Kettenregel.

    Zuerst wird die äußere Funktion abgeleitet und am Wert der inneren Funktion ausgewertet. Im Anschluss wird die Ableitung der inneren Funktion hinzumultipliziert.

  • Berechne das Integral von $f$ im Intervall $[1;3]$.

    Tipps

    Man findet eine Stammfunktion mit Hilfe des Nenners:

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

    Lösung

    Gegeben ist die Funktion

    $f(x)=\frac{\frac{3}{2}x^2-4x+4}{\frac{1}{2}x^3-2x^2+4x-8}$

    in der Form $f(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$.

    Jetzt nehmen wir den Nenner, um aus ihm die Stammfunktion zu bilden:

    $F(x)=ln|\frac{1}{2}x^3-2x^2+4x-8| + c$

    Damit können wir das Integral $\int\limits_1^3 ~|f(x)|~dx$ berechnen. Dazu setzen wir zuerst die obere Grenze in den Stammfunktionsterm ein. Danach ziehen wir davon den Term ab, den wir durch Einsetzen der unteren Grenze erhalten:

    $\begin{align} F(3) - F(1) & = (ln|\frac{1}{2} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2+4 \cdot 3-8|) - (ln|\frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2\cdot 1^2 + 4\cdot 1 -8|) \\ & = ln|-\frac{1}{2}| - ln|-5\frac{1}{2}| \\ & \approx -0,693 - 1,705 \\ & \approx -2,398 \end{align}$

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